微分幾何答案(第二章)

1、微分幾何主要習(xí)題解答第二章 曲面論1曲面的概念1.求正螺面= u ,u , bv 的坐標(biāo)曲線.解 u-曲線為=u ,u ,bv =0,0，bvu ,0，為曲線的直母線；v-曲線為=,bv 為圓柱螺線證明雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的坐標(biāo)曲線就是它的直母線。證 u-曲線為= a（u+）, b（u-）,2u= a, b,0+ ua,b,2表示過點 a, b,0以a,b,2為方向向量的直線; v-曲線為=a（+v）, b（-v）,2v=a, b,0+va,-b,2表示過點(a, b,0)以a,-b,2為方向向量的直線。3求球面=上任意點的切平面和法線方程。解 = ，=任意點的切平面

2、方程為即 xcoscos + ycossin + zsin - a = 0 ；法線方程為 。4求橢圓柱面在任意點的切平面方程，并證明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。解 橢圓柱面的參數(shù)方程為x = cos, y = asin, z = t , , 。所以切平面方程為：，即x bcos + y asin a b = 0此方程與t無關(guān)，對于的每一確定的值，確定唯一一個切平面，而的每一數(shù)值對應(yīng)一條直母線，說明沿每一條直母線，此曲面只有一個切平面 。5證明曲面的切平面和三個坐標(biāo)平面所構(gòu)成的四面體的體積是常數(shù)。 證，。切平面方程為：。與三坐標(biāo)軸的交點分別為(3u,0,0),(0,3v,0),(0,

3、0,)。于是，四面體的體積為：是常數(shù)。 曲面的第一基本形式1. 求雙曲拋物面a（u+v）, b（u-v）,2uv的第一基本形式. 解 , I = 2。求正螺面= u ,u , bv 的第一基本形式，并證明坐標(biāo)曲線互相垂直。解，I =，坐標(biāo)曲線互相垂直。在第一基本形式為I =的曲面上，求方程為u = v的曲線的弧長。解 由條件,沿曲線u = v有du=dv ，將其代入得=，ds = coshvdv , 在曲線u = v上，從到的弧長為。4設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求它上面兩條曲線u + v = 0 ,uv = 0的交角。分析 由于曲面上曲線的交角是曲線的內(nèi)蘊(yùn)量，即等距不變量，而求等距不變量

4、只須知道曲面的第一基本形式，不需知道曲線的方程。解 由曲面的第一基本形式知曲面的第一類基本量，曲線u + v = 0與u v = 0的交點為u = 0, v = 0,交點處的第一類基本量為，。曲線u + v = 0的方向為du = -dv , u v = 0的方向為u=v , 設(shè)兩曲線的夾角為，則有cos= 。5求曲面z = axy上坐標(biāo)曲線x = x ,y =的交角.解 曲面的向量表示為=x,y,axy, 坐標(biāo)曲線x = x的向量表示為= x,y,axy ，其切向量=0，1，ax；坐標(biāo)曲線y =的向量表示為=x , ,ax，其切向量=1，0，a，設(shè)兩曲線x = x與y =的夾角為，則有cos

5、 = 6. 求u-曲線和v-曲線的正交軌線的方程.解 對于u-曲線dv = 0,設(shè)其正交軌線的方向為u:v ,則有Eduu + F(duv + dvu)+ G d vv = 0,將dv =0代入并消去du得u-曲線的正交軌線的微分方程為Eu + Fv = 0 .同理可得v-曲線的正交軌線的微分方程為Fu + Gv = 0 .7. 在曲面上一點,含du ,dv的二次方程P+ 2Q dudv + R，確定兩個切方向（du ：dv）和（u ：v），證明這兩個方向垂直的充要條件是ER-2FQ + GP=0.證明因為du,dv不同時為零，假定dv0，則所給二次方程可寫成為P+ 2Q+ R=0 ,設(shè)其二根

6、, 則=，+=又根據(jù)二方向垂直的條件知E + F(+)+ G = 0 將代入則得 ER - 2FQ + GP = 0 .8. 證明曲面的坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.證用分別用、d表示沿u曲線，v曲線及其二等分角線的微分符號，即沿u曲線u，v，沿v曲線u，v沿二等分角軌線方向為du:dv ,根據(jù)題設(shè)條件,又交角公式得，即。uvV=1u=-avu=avo展開并化簡得E(EG-)=G(EG-),而EG-0，消去EG-得坐標(biāo)曲線的二等分角線的微分方程為E=G.9設(shè)曲面的第一基本形式為I = ，求曲面上三條曲線u = v, v =1相交所成的三角形的面積。解 三曲線在平面上的圖形（如圖）所示

7、。曲線圍城的三角形的面積是S= =2=2= 。10求球面=的面積。解 = ，=E =,F= 0 , G = = .球面的面積為：S = . 11.證明螺面=ucosv,usinv,u+v和旋轉(zhuǎn)曲面=tcos,tsin,(t1, 02)之間可建立等距映射 =arctgu + v , t= .分析 根據(jù)等距對應(yīng)的充分條件,要證以上兩曲面可建立等距映射 = arctgu + v , t=,可在一個曲面譬如在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換使兩曲面在對應(yīng)點有相同的參數(shù),然后證明在新的參數(shù)下,兩曲面具有相同的第一基本形式.證明 螺面的第一基本形式為I=2+2 dudv+(+1), 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為I= ,

8、在旋轉(zhuǎn)曲面上作一參數(shù)變換 =arctgu + v , t = , 則其第一基本形式為:=2+2 dudv+(+1)= I .所以螺面和旋轉(zhuǎn)曲面之間可建立等距映射 =arctgu + v , t = .3曲面的第二基本形式1. 計算懸鏈面=coshucosv,coshusinv,u的第一基本形式,第二基本形式.解 =sinhucosv,sinhusinv,1,=-coshusinv,coshucosv,0=coshucosv,coshusinv,0,=-sinhusinv,sinhucosv,0,=-coshucosv,-coshusinv,0,= coshu,=0,=coshu.所以I = c

9、oshu+ coshu .=,L=, M=0, N=1 . 所以II = -+ 。2. 計算拋物面在原點的第一基本形式,第二基本形式.解 曲面的向量表示為, , E = 1, F = 0 , G = 1 ,L = 5 , M = 2 , N =2 , I=, II=.3. 證明對于正螺面=u,u,bv,-u,v處處有EN-2FM+GL=0。解 ，=0,0,0,=-uucosv,cosv,0,=-ucosv,-usinv,0,， L= 0, M = , N = 0 .所以有EN - 2FM + GL= 0 .4. 求出拋物面在(0,0)點沿方向(dx:dy)的法曲率.解 ,E=1,F=0,G=1

10、,L=a,M=0,N=b,沿方向dx:dy的法曲率. 5. 已知平面到單位球面(S)的中心距離為d(0d1),求與(S)交線的曲率與法曲率.解 設(shè)平面與(S) 的交線為(C), 則(C)的半徑為,即(C)的曲率為,又(C)的主法向量與球面的法向量的夾角的余弦等于,所以(C)的法曲率為=1 .6. 利用法曲率公式,證明在球面上對于任何曲紋坐標(biāo)第一、第二類基本量成比例。證明 因為在球面上任一點處，沿任意方向的法截線為球面的大圓，其曲率為球面半徑R的倒數(shù)1/R。即在球面上，對于任何曲紋坐標(biāo)(u,v)，沿任意方向du:dv或-，所以，即第一、第二類基本量成比例。7求證在正螺面上有一族漸近線是直線，另一

11、族是螺旋線。證明對于正螺面=u,u,bv，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0， L=0, N=0 .所以u族曲線和v族曲線都是漸近線。而u族曲線是直線，v族曲線是螺旋線。8. 求曲面的漸近線.解 曲面的向量表示為,.漸近線的微分方程為,即一族為dy=0, 即,為常數(shù). 另一族為2ydx=-xdy, 即.9. 證明每一條曲線在它的主法線曲面上是漸近線.證 在每一條曲線(C)的主法線曲面上,沿(C)的切平面是由(C)的切向量與(C)的主法向量所確定的平面,與曲線(C)的密切平面重合,所以每一條曲線(C)在它的主法線曲面上是漸近線.方法二：任取曲線，它的主法線曲面為，在曲線上，t = 0

12、 , ,曲面的單位法向量，即，所以曲線在它的主法線曲面上是漸近線.10. 證明在曲面z=f(x)+g(y)上曲線族x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng).證 曲面的向量表示為 =x,y, f(x)+g(y),x=常數(shù),y=常數(shù)是兩族坐標(biāo)曲線。,.因為,所以坐標(biāo)曲線構(gòu)成共軛網(wǎng)，即曲線族 x=常數(shù), y=常數(shù)構(gòu)成共軛網(wǎng)。11.確定螺旋面=u,u,bv上的曲率線.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L=0, M= , N=0,曲率線的微分方程為:,即,積分得兩族曲率線方程:. 12.求雙曲面z=axy上的曲率線.解 N=0 . 由=0得,積分得兩族曲率線為.1

13、3.求曲面上的曲率線的方程.解 M=,N=0.代入曲率線的微分方程得所求曲率線的方程是: . 14.給出曲面上一曲率線L,設(shè) L上每一點處的副法線和曲面在該點的法向量成定角,求證L是一平面曲線.證法一：因 L是曲率線,所以沿L有,又沿L 有=常數(shù),求微商得,所以,即-=0,則有=0,或=0 .若=0, 則L是平面曲線；若=0 ，L又是曲面的漸近線，則沿L ，=0 ，這時d=，為常向量，而當(dāng)L是漸近線時，=，所以為常向量，L是一平面曲線.證法二：若 ，則因 ，所以 ，所以d，由伏雷內(nèi)公式知d（）而L是曲率線，所以沿L有d，所以有=0,從而曲線為平面曲線；若不垂直于， 則有=常數(shù),求微商得因為L是

14、曲率線，所以沿L有，所以，所以，即-=0 ，若=0，則問題得證；否則=0 ，則因，有，（-） ，矛盾。15如果一曲面的曲率線的密切平面與切平面成定角，則它是平面曲線。 證 曲線的密切平面與曲面的切平面成定角，即曲線的副法向量和曲面的法向量成定角，由上題結(jié)論知正確。 16求正螺面的主曲率。解 設(shè)正螺面的向量表示為=u,u,bv.解，=0,0,0，=-ucosv,-usinv,0，=-sinv,cosv,0,， L= 0, M = , N = 0,代入主曲率公式（EG-）-（LG-2FM+EN）+ LN-= 0 得=。 所以主曲率為 。17確定拋物面z=a()在（0，0）點的主曲率.解 曲面方程即

15、， 。在（0，0）點,E=1 ,F=0,G=1 ,L=2a ,M=0 ,N=2a .所以-4a+4=0 ，兩主曲率分別為 = 2 a , = 2 a .18. 證明在曲面上的給定點處,沿互相垂直的方向的法曲率之和為常數(shù).證 曲面上的給定點處兩主曲率分別為 、，任給一方向及與其正交的方向+，則這兩方向的法曲率分別為， ，即為常數(shù)。19.證明若曲面兩族漸近線交于定角,則主曲率之比為常數(shù).證 由 得 ,即漸進(jìn)方向為,=-.又-+=2 為常數(shù),所以為為常數(shù),即為常數(shù).20. 求證 正螺面的平均曲率為零.證 由第3題或第16題可知.21. 求雙曲面z=axy在點x=y=0的平均曲率和高斯曲率.證 在點x

16、=y=0 ,E=1, F=0, G=1, L=0, M=a, N=0,H=, K =-.22.證明極小曲面上的點都是雙曲點或平點.證法一： 由H=0有=0或=-0 .若=0,則沿任意方向,=0 ,即對于任意的du:dv , ,所以有L=M=N=0,對應(yīng)的點為平點.若=-0,則K=0 ,即LN-M 0 ,G 0 ,所以LN 0 。若=0，則L = M = N = 0 ，曲面上的點是平點，若 a 0 , b+acos 0,所以LN - 的符號與cos的符號一致,當(dāng)0和 0 ,曲面上的點為橢圓點，即圓環(huán)面外側(cè)的點為橢圓點；當(dāng)-，曲面上的點為雙曲點, 即圓環(huán)面內(nèi)側(cè)的點為雙曲點；當(dāng)=或 時，LN -=0

17、，為拋物點，即圓環(huán)面上、下兩緯圓上的點為拋物點。25若曲面的第一基本形式表示為的形式，則稱這個曲面的坐標(biāo)曲線為等溫網(wǎng)。試證：旋轉(zhuǎn)曲面上存在等溫網(wǎng)。證 旋轉(zhuǎn)曲面的第一基本形式為 ，做參數(shù)變換，v=,則在新參數(shù)下，為等溫網(wǎng)。26兩個曲面、交于一條曲線（C），而且（C）是的一條曲率線，則（C）也是的一條曲率線的充要條件為、沿著（C）相交成固定角。證 兩個曲面、交于曲線（C），、分別為、的法向量，則沿交線（C），與成固定角的充要條件為=常數(shù)，這等價于d()=0,即d+d=0 ,而（C）是的一條曲率線，因此d與（C）的切向量d共線，則與 正交，即d=0，于是d=0，又d，所以 d= d=0的充要條件為d/ d，即（C）是的曲率線。27證明在曲面(S)上的一個雙曲點P處，若兩條漸近線都不是直