專題八 距離空間的列緊性與緊性(投)1

1、距離空間的列緊性與緊性距離空間的列緊性與緊性 實數(shù)集中的列緊性（致密性）實數(shù)集中的列緊性（致密性） 專題七專題七 距離空間的列緊性距離空間的列緊性 全有界性與緊性全有界性與緊性 距離空間的全有界性距離空間的全有界性 實數(shù)的有界性實數(shù)的有界性 距離空間的列緊性與緊性距離空間的列緊性與緊性 實數(shù)集中的有限覆蓋實數(shù)集中的有限覆蓋 已知已知：在實直線上，有波爾查諾：在實直線上，有波爾查諾維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯 “列緊性定理列緊性定理”成立，而且與完備性定理是相互等價成立，而且與完備性定理是相互等價 的。的。 問題問題1：在一般的距離空間中，列緊性定理是否在一般的距離空間中，列緊性定理是否 也成立？也

2、成立？ 一、距離空間的列緊性 21max0)(max0 , 1 ,010 n t n t n ttxx 1 , 0)( 10 , 0 1, 1 limlim Ctx t t ttxtx k k n k n k 引例引例1 1 考察閉區(qū)間考察閉區(qū)間0,10,1上的連續(xù)函數(shù)序列上的連續(xù)函數(shù)序列xn C0,1: xn=xn(t)=tn (n=1,2,) xn C0,1是有界點列是有界點列 。 但是，但是，xn C0,1是沒有收斂子列是沒有收斂子列 。事實上，。事實上， 若若 子列子列xnk xn, 使使xnkx C0,1 函數(shù)子列函數(shù)子列xnk(t) 在在0,1上一致收斂于上一致收斂于x(t) 這與

3、這與x(t)在在0,1上連續(xù)矛盾。上連續(xù)矛盾。 結(jié)論：結(jié)論：在一般的距離空間在一般的距離空間( (即使是完備的即使是完備的) )中，中， 有界點有界點 列不一定存在收斂子列，即列緊性定理不成立。列不一定存在收斂子列，即列緊性定理不成立。 . 11, 0 ,10 ,1 tn ntnt txn x t 1 0 1 n 1 引例引例2 C0,12 C0,1中的點列：中的點列： 顯然是有界點列，但它不可能有收斂的子列。顯然是有界點列，但它不可能有收斂的子列。 1 , 0)( 10 , 0 0, 1 lim Ctx t t txtx k n k 事實上，若事實上，若 子列子列xnk xn, 使使xnkx

4、 C0,1 函數(shù)子列函數(shù)子列xnk(t) 在在0,1上一致收斂于上一致收斂于x(t) 這與這與x(t)在在0,1上連續(xù)矛盾。上連續(xù)矛盾。 定義定義5.1 (列緊集與列緊空間列緊集與列緊空間) 設(shè)設(shè)X是距離空間，是距離空間，A X. (1) 如果如果 xn A, 子列子列xnk xn,使使xnkx X(k), 則稱則稱A是列緊集是列緊集。 (2) 如果如果A是列緊閉集，即是列緊閉集，即 xn A, 子列子列xnk xn, 使使xnkx X(k),則稱則稱A是自列緊集是自列緊集。 (3) 如果如果X本身是本身是(自自)列緊集，即列緊集，即 xn X, 子列子列 xnk xn, 使使xnkx X(k

5、), 則稱則稱X是列緊空間是列緊空間。 注注 1）自列緊集）自列緊集列緊閉集列緊閉集 對全空間對全空間X而言，列緊而言，列緊自列緊自列緊列緊閉列緊閉. 2）維爾斯特拉斯）維爾斯特拉斯“列緊性定理列緊性定理”可以表述為：可以表述為： R中的任何有界集都是列緊集如果中的任何有界集都是列緊集如果A是列緊閉是列緊閉 定理定理5.1 (列緊集的性質(zhì)列緊集的性質(zhì)) 設(shè)設(shè)X是距離空間，則是距離空間，則 (1) X中的任何有限點集都是列緊集中的任何有限點集都是列緊集; (有限點集是常駐點列有限點集是常駐點列) (2) 在在X中，列緊集的子集是列緊集，因而任意多個列緊中，列緊集的子集是列緊集，因而任意多個列緊

6、集的交是列緊集，有限個列緊集的并是列緊集；集的交是列緊集，有限個列緊集的并是列緊集； (3) 若若A X, 則則A列緊集列緊集A是自列緊集是自列緊集 證證 (3) “” 設(shè)設(shè)A X列緊，列緊， xn An, xn A xn A, 或或xn Ayn A, (xn,yn)1/n (n=1,2,) A列緊列緊子列子列ynk yn, ynky A X (k) (ynk,y)0 (k) (xnk,y)(xnk,ynk)+ (ynk,y)0, N, 當(dāng)當(dāng)n,nkN時時, 有有 (xn, xnk)N, k時時,有有 (xnk,x)=lim (xnk,xn) ( (距離函數(shù)連續(xù)性距離函數(shù)連續(xù)性) ) xnx

7、X (n) X完備完備 但反之不然。例如，但反之不然。例如，R是完備距離空間，但序列是完備距離空間，但序列 n R中沒有任何收斂子列，因而中沒有任何收斂子列，因而R不是列緊空間。不是列緊空間。 然而，然而，R中的任何有界集都是列緊集。中的任何有界集都是列緊集。 二、距離空間的全有界性 網(wǎng)與全有界集網(wǎng)與全有界集 定義定義5.2 ( 網(wǎng)網(wǎng)) 設(shè)設(shè)X是距離空間，是距離空間，A X, B X. 如果如果 0, A能被能被B中個點的中個點的 開球開球S(x, )的全體所覆蓋，即的全體所覆蓋，即 Bx xSA ),( 則稱則稱B是是A的一個的一個 網(wǎng)。網(wǎng)。 例例1 R2中一切整數(shù)格點所構(gòu)成的集中一切整數(shù)格

8、點所構(gòu)成的集 A=(m,n)|m,n Z 構(gòu)成了構(gòu)成了R2的一個的一個3/4網(wǎng)。網(wǎng)。 例例2 設(shè)設(shè)A=(x,y)|x,y均為無理數(shù)均為無理數(shù), B=(x,y)|x,y Q, 則則 0, B都構(gòu)成了都構(gòu)成了A的一個的一個 網(wǎng)，從而也構(gòu)成了網(wǎng)，從而也構(gòu)成了 R 的一個的一個 網(wǎng)。網(wǎng)。（由于有理數(shù)在（由于有理數(shù)在R R中的稠密性）中的稠密性） 注注: 1）B是是A的一個的一個 網(wǎng)網(wǎng)y A, x B, 使使 (x,y)0, A的有限的的有限的 網(wǎng)網(wǎng)B=x1,x2,xn, 則稱則稱A為為全有界集全有界集. 例例3 閉區(qū)間閉區(qū)間0,1使使R中的全有界集。中的全有界集。 證證 0, 取取n1/ , 則有則有

9、1/n . 構(gòu)造有限點集構(gòu)造有限點集 B=0, 1/n, 2/n, , (n-1)/n 0,1 x,y B是相鄰兩點，有是相鄰兩點，有 (x,y)=1/n . B 中各點的中各點的 開球的全體覆蓋了開球的全體覆蓋了A B是是0,1區(qū)間一個有限的區(qū)間一個有限的 網(wǎng)網(wǎng) 0,1區(qū)間是全有界集。區(qū)間是全有界集。 注注 1) 對全有界集對全有界集A, 一定能找到它的有限一定能找到它的有限 網(wǎng)網(wǎng)B A. 2) 全有界集全有界集A的有限的的有限的 網(wǎng)的構(gòu)造方法：網(wǎng)的構(gòu)造方法： 首先，構(gòu)造一個首先，構(gòu)造一個 有限點集有限點集 B=x1,x2, xn A； 然后，選取網(wǎng)中個開球的公共半徑然后，選取網(wǎng)中個開球的公

10、共半徑 ， x,y B是相是相 鄰兩點，有鄰兩點，有 (x,y)0, N, 當(dāng)當(dāng)m,nN時時, (xm,xn)N, m=N+1時時, (xN+1,xn)N) B 中各點的任意中各點的任意 開球的全體覆蓋了開球的全體覆蓋了A 0， B都是都是A的一個有限的的一個有限的 網(wǎng)網(wǎng) A是全有界集是全有界集 0 1 000 ,max1,xxxxxxxxXx i ni ii 定理定理5.3 (全有界集的性質(zhì)全有界集的性質(zhì)) 設(shè)設(shè)X是是距離空間，距離空間，A X是全是全 有界集，則（有界集，則（1）A一定是有界集；一定是有界集； （2）A一定是可分的。一定是可分的。 證證 (1) A X是全有界集是全有界集

11、對對 =1, A的一個有限的的一個有限的1網(wǎng)網(wǎng)B =x1,x2,xn A x A, k, 使使x S(xk,1), 即即 (xk,x)0, A沒有有限的沒有有限的 0網(wǎng)網(wǎng)x1 A ,S(x1, 0)不能覆蓋不能覆蓋A AS(x1, 0)非空非空 x2 AS(x1 , 0), S(x2, 0)S(x2, 0)不能覆蓋不能覆蓋A AS(x1, 0) S(x2, 0)非空非空, x3 AS(x1, 0) S(x2, 0), xn,xm xn A, 當(dāng)當(dāng)nm時，有時，有 1 1 0) ,( n i in xSMx 00 ),(),( mnmn xxxSx xn的每一個子列都不可能是基本列，矛盾。的每一

12、個子列都不可能是基本列，矛盾。 因此，因此，A是全有界集。是全有界集。 定理定理5.5 (豪斯道夫定理豪斯道夫定理全有界集與列緊集的關(guān)系全有界集與列緊集的關(guān)系) (1) 設(shè)設(shè)X是是距離空間，距離空間，A X是列緊集是列緊集A是全有界集是全有界集 (2) 設(shè)設(shè)X是完備距離空間是完備距離空間, 則則A X是列緊集是列緊集A是全有界集是全有界集 證證 (1) 設(shè)設(shè)A X是列緊集是列緊集 xn A， 子列子列xn(k), xn(k)x X (k) xn(k)是是xn的基本子列的基本子列 A是是全有界集。全有界集。 (2) “” 在在(1)中已證。中已證。 “” 設(shè)設(shè)A是全有界集，是全有界集， xn A

13、xn有基本子列有基本子列xn(k) X完備完備xn(k) xn A收斂收斂A是列緊集是列緊集 2 全有界集與列緊集的關(guān)系全有界集與列緊集的關(guān)系 注：注：在不完備的距離空間中在不完備的距離空間中, 全有界集不一定是列緊集全有界集不一定是列緊集. 例如，例如，C-1,1按距離按距離 1 1 1 )()(),(dttytxyx 不完備，其中的點列不完備，其中的點列xn: ,.)2 , 1( 1 ,/1 (, 1 /1 ,/1, /1, 1, 1 )( n nt nntnt nt txn 是基本列，因而是基本列，因而A=xn是是(C-1,1, 1)中的全有界集，中的全有界集， 但是它在但是它在C-1,

14、1中沒有收斂子列，故中沒有收斂子列，故A=xn不是列不是列 緊集。緊集。 推論推論5.1 (有界集與列緊集的關(guān)系有界集與列緊集的關(guān)系) 設(shè)設(shè)X是是距離空間，距離空間， A X是列緊集是列緊集A是有界集是有界集 推論推論5.2 (列緊集與可分集的關(guān)系列緊集與可分集的關(guān)系) 設(shè)設(shè)X是距離空間，則是距離空間，則 (1) A X是列緊集是列緊集A是可分集；是可分集； (2) X是列緊是列緊空間空間X是可分的。是可分的。 （即列緊空間中存在一個稠密的可數(shù)子集。）即列緊空間中存在一個稠密的可數(shù)子集。） 證證 (1) A X是列緊集是列緊集A是全有界集是全有界集A是可分集是可分集; (2) X是列緊空間是列

15、緊空間 X是是全有界空間全有界空間X是可分空間是可分空間. 證證 A是列緊集是列緊集 A是是全有界集全有界集A是有界集是有界集 注注 在在R中，有中，有 1) A是列緊集是列緊集A是有界集是有界集 2) A是自列緊集是自列緊集A是列緊閉集是列緊閉集A是有界閉集是有界閉集 3 幾個常用距離空間中列緊集的特征幾個常用距離空間中列緊集的特征 定理定理5.6 (Rn中列緊集的特征中列緊集的特征) 設(shè)設(shè)A Rn, 則則 A是列緊集是列緊集A是有界集是有界集 證證 若若A是列緊集是列緊集A是全有界集是全有界集A是有界集是有界集 若若A是有界集是有界集, xk A Rn, xk=x1(k),x2(k),xn

16、(k) xk 是有界點列是有界點列 對每個對每個i (i=1,2,n), xi(k)是有界數(shù)列是有界數(shù)列 對每個對每個i (i=1,2,), xi(k)存在收斂子列，設(shè)存在收斂子列，設(shè) 時列緊集。是收斂子列 有使 AAxx jxxxxxxxx jxxniikk nikkjxxxx kk n k i k i k k i k i n j ji k i k i k i j n j n j n j j n j j i j )(,.,., )(),.,2 , 1(, ),.,2 , 1,)(, )0()0( 2 )0( 10 )()()( 1 )0( )( )( )0( )( )( )( )()()(

17、)( )1()( 證證 必要性必要性 設(shè)設(shè)A Ca,b是列緊集是列緊集 (1) A是列緊集是列緊集A是有界集是有界集 (在距離意義下）在距離意義下） A是一致有界集是一致有界集 (在函數(shù)意義下在函數(shù)意義下) 定義定義5.4 (一致有界和等度連續(xù)一致有界和等度連續(xù)) 設(shè)設(shè)A Ca,b， 1) 如果如果 K0, x(t) Ca,b ,有有|x(t)| K，則稱，則稱A是是一一 致有界致有界的的； 2) 如果如果0, ( )0, 使對使對 x(t) Ca,b及及 t1,t2 a,b, 當(dāng)當(dāng)|t1 t2| 時時, 有有|x(t1) x(t2)|0, A的有限的有限 /3-網(wǎng)網(wǎng)x1(t), x2(t),

18、xn(t) x(t) A, xi(t)(1 i n), 使得使得 (xi,x) /3 |xi(t) x(t)|0, 使得當(dāng)使得當(dāng)|t1-t2| 時時, 有有 |xi(t1)-xi(t2)| /3 (i=1,2,n) x(t) A, 當(dāng)當(dāng)|t1-t2| 時時, 有有 |x(t1)-x(t2)| |x(t1)-xi(t1)|+|xi(t1)-xi(t2)|+|xi(t2)-x(t2)| 0, 使使|xn(r1)| K (n=1,2,) xn(r1)是有界數(shù)列是有界數(shù)列 子列子列x1n(t) xn(t)在在t=r1處收斂。處收斂。 |x1n(r2) | K 子列子列x2n(t) x1n(t)在在t=

19、r1,r2處收斂處收斂 . 子列子列xkn(t) x(k-1)n(t)在在t=r1,r2,rk處收斂處收斂 (k=1,2,) xnn(t)在在a,b內(nèi)的所有有理數(shù)處收斂；內(nèi)的所有有理數(shù)處收斂； A等度連續(xù)等度連續(xù)0, 0, x(t) A, 當(dāng)當(dāng)|t1-t2| 時時, 有有 |x(t1)-x(t2)|/3 將將a,b區(qū)間區(qū)間k等分等分, 得得k個子區(qū)間個子區(qū)間Ii(i=1,2,k), 使使mIiN時時, |xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|N, t a,b時時, 有有 |xmm(t)-xnn(t)| |xmm(t)-xmm(ri(0)|+|xmm(ri(0)-xnn(ri(0)|+|xnn(ri(0)-xnn(t)| /3+ /3+ /3n. 一方面，一方面，A是緊集是緊集A是列緊閉集是列緊閉集 存在子列存在子列xnk xn, 使得使得xnkx0 A f(xnk)f(x0) (k) (因為因為f(x)f(x)在上連續(xù)在上連續(xù)) 另一方面，另一方面， f(xnk)nkf(xnk) (k) 矛盾。矛盾。 故故f(x)在在A上有界上有界 證證 設(shè)設(shè) =supf(x) (x