131函數(shù)的單調(diào)性和最大小值

1、-函數(shù)的單調(diào)性 一、引入課題一、引入課題 觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相 應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律： y x 1 1 -1 y x 1-1 1 -1 問：隨問：隨x的增大，的增大，y的值有什么變化？的值有什么變化？ x1 -1 1 y -1 -1 畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律：畫出下列函數(shù)的圖象，觀察其變化規(guī)律： 1 1f (x) = x 從左至右圖象上升還是下降從左至右圖象上升還是下降_?_? 在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的的 值隨著值隨著 _ _ 2 2f (x) =

2、 -2x+1 從左至右圖象上升還是下降從左至右圖象上升還是下降 _?_? 在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，隨著上，隨著x的增大，的增大，f (x)的值的值 隨著隨著 _ _ 上升上升 （-，+） 增大增大 下降下降 （-，+） 減小減小 3 3f (x) = x2 在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨 著著x的增大而的增大而 _ _ 在區(qū)間在區(qū)間 _ _ 上，上，f (x)的值隨的值隨 著著x的增大而的增大而 _ _ x -4 -3 -2 -1 01234 f(x) 16 941014916 (-,0 減小減小 （0，+） 增大增大 y 2 4 6 8 10 O - -2 x 841

3、21620 24 621014 1822 D 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ， 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， 有有f(x1)f(x2) 圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升 ？ O x I y 區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大 x1x2 f(x1) f(x2) M N 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ， 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， 有有f(x1)f(x2) xx1x2 ？ I y f(x1) f(x2) O M N 任意任意 區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大 圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升 對(duì)區(qū)間對(duì)區(qū)間D內(nèi)內(nèi) x1，x2 ， 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)， 有有

4、f(x1)f(x2) xx1x2 都都 y f(x1) f(x2) O 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮,區(qū)間區(qū)間D I. 如果對(duì)于如果對(duì)于區(qū)間區(qū)間D上的上的任意任意 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f(x1 ) f(x2 )， 定義定義 M N 任意任意 兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， D 稱為稱為 f (x)的的單調(diào)單調(diào) 增區(qū)間增區(qū)間. 那么就說那么就說 f (x)在區(qū)間在區(qū)間D上上 是單調(diào)是單調(diào)增函數(shù)增函數(shù)， 區(qū)間區(qū)間D內(nèi)內(nèi)隨著隨著x的增大，的增大，y也增大也增大 圖象在圖象在區(qū)間區(qū)間D逐漸上升逐漸上升 D 那么就說在那么就說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單

5、調(diào) 減減函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 減減 區(qū)間區(qū)間. O x y x1x2 f(x1) f(x2) 類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù)類比單調(diào)增函數(shù)的研究方法定義單調(diào)減函數(shù). . x O y x1x2 f(x1) f(x2) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮, 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上 的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镮, 如果對(duì)于屬于定義域如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)內(nèi)某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間D上上 的的任意任意兩個(gè)自變量的值兩個(gè)自變量的值x1,x2， 那么就說在那么就

6、說在f(x)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)這個(gè)區(qū)間上是單調(diào)增增 函數(shù)函數(shù)，D稱為稱為f(x)的的單調(diào)單調(diào) 區(qū)間區(qū)間.增增 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有 f (x1 ) f(x2 )， 當(dāng)當(dāng)x1x2時(shí)，時(shí)，都有都有f(x1 ) f(x2 )， 單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間 注意：注意： 函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)， 是函數(shù)的局部性質(zhì)；是函數(shù)的局部性質(zhì)； 必須是對(duì)于區(qū)間必須是對(duì)于區(qū)間D D內(nèi)的內(nèi)的任意任意兩個(gè)自變量?jī)蓚€(gè)自變量x1，x2； 函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，不能直接函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)某個(gè)區(qū)間而言，不能直接 說某函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)。說某函數(shù)是增函數(shù)或減

7、函數(shù)。 下列說法是否正確？請(qǐng)畫圖說明理由。下列說法是否正確？請(qǐng)畫圖說明理由。 （1 1）如果對(duì)于區(qū)間（）如果對(duì)于區(qū)間（0 0，+）上的任意）上的任意x x有有 f( (x)f(0),(0),則函數(shù)在區(qū)間（則函數(shù)在區(qū)間（0 0，+）上單調(diào)）上單調(diào) 遞增。遞增。 （2）對(duì)于區(qū)間（對(duì)于區(qū)間（a, ,b）上的某）上的某3 3個(gè)自變量的值個(gè)自變量的值 x1 1, ,x2 2, ,x3 3, ,當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 有有 則函數(shù)則函數(shù)f( (x) )在區(qū)間（在區(qū)間（a, ,b）上單調(diào)遞增）上單調(diào)遞增。 123 ( )()()()( )f af xf xf xf b 123 axxxb （二）典型例題 例例1 1

8、 如圖如圖6 6是定義在閉區(qū)間是定義在閉區(qū)間-5-5，55上的函數(shù)上的函數(shù)y=f(x)的圖的圖 象，根據(jù)圖象說出象，根據(jù)圖象說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào) 區(qū)間上，函數(shù)區(qū)間上，函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)還是減函數(shù)是增函數(shù)還是減函數(shù). . O 書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫法。書寫單調(diào)區(qū)間時(shí)，注意區(qū)間端點(diǎn)的寫法。 對(duì)于對(duì)于某一個(gè)點(diǎn)某一個(gè)點(diǎn)而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè)而言，由于它的函數(shù)值是一個(gè) 確定的確定的常數(shù)，無(wú)單調(diào)性可言常數(shù)，無(wú)單調(diào)性可言，因此在寫單調(diào)因此在寫單調(diào) 區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)區(qū)間時(shí)，可以包括端點(diǎn)，也可以不包括端點(diǎn)。 但對(duì)于某些不在

9、定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)，但對(duì)于某些不在定義域內(nèi)的區(qū)間端點(diǎn)， 書寫時(shí)就必須去掉端點(diǎn)。書寫時(shí)就必須去掉端點(diǎn)。 練習(xí)：判斷函數(shù)練習(xí)：判斷函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。 2 ( )2f xxx x xxxf2)( 2 y 2 1 o 單調(diào)遞增區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞增區(qū)間： 單調(diào)遞減區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)遞減區(qū)間： 1 ,( ), 1 ）上上是是增增函函數(shù)數(shù)。，（ 在在區(qū)區(qū)間間證證明明函函數(shù)數(shù) xxf12)( . 例例2 2 內(nèi)內(nèi)任任意意是是區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)),(,x 21 x 1212 12 ( )()(21) (21) 2(x) f xf xxx x 0 x , 2121 xxx0)()( 21 xfxf )()( 21 xfx

10、f 即即 證明：證明： 。兩兩個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，且且 x 21 x ),(12)( 在在區(qū)區(qū)間間則則函函數(shù)數(shù)xxf 是是增增函函數(shù)數(shù)。 （取值）（取值） （作差）（作差） （下結(jié)論）（下結(jié)論） （定號(hào)）（定號(hào)） 補(bǔ)例補(bǔ)例 3 3證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟證明函數(shù)單調(diào)性的方法步驟 利用定義證明函數(shù)利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的單調(diào)性的一上的單調(diào)性的一 般步驟：般步驟： 任取任取x1，x2D，且，且x1x2； 作差作差f(x1)f(x2)； 變形（通常是因式分解和配方）；變形（通常是因式分解和配方）； 定號(hào)（即判斷差定號(hào)（即判斷差f(x1)f(x2)的正負(fù)）；的正負(fù)）； 下結(jié)

11、論（即指出函數(shù)下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間在給定的區(qū)間D D上的單調(diào)性）上的單調(diào)性） .23)( . 2上上是是增增函函數(shù)數(shù)在在證證明明函函數(shù)數(shù)練練習(xí)習(xí)Rxxf f（x1） f（x2）f（x1）f（x2）0 f（x1）f（x2）（）（3x12）（）（ 3x22） 3（x1x2） 由由x1x2，得，得 x1x20 .23)(上是增函數(shù)上是增函數(shù)在在函數(shù)函數(shù)Rxxf 設(shè)設(shè)x1，x2是是R上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且x1x2，則，則 例例2 2 物理學(xué)中的玻意定律物理學(xué)中的玻意定律 ( (k k為正常數(shù)為正常數(shù)) )告訴我們告訴我們, ,對(duì)于一定量的氣體對(duì)于一定量的氣體, ,當(dāng)

12、體積當(dāng)體積V 減減 小時(shí)小時(shí), ,壓強(qiáng)壓強(qiáng) P 將增大將增大. .試用函數(shù)的單調(diào)性證明之試用函數(shù)的單調(diào)性證明之. . k p V = 探究：探究：P30 P30 畫出反比例函數(shù)畫出反比例函數(shù) 的圖象的圖象 這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？ 它在定義域它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論 x y 1 思考思考3 3：反比例函數(shù)反比例函數(shù) 的單調(diào)性，的單調(diào)性， 單調(diào)區(qū)間：?jiǎn)握{(diào)區(qū)間： )0(k x k y . ), 0( 1 )(. 3 減函數(shù)？證明你的結(jié)論減函數(shù)？證明你的結(jié)論 上是增函數(shù)還是上是增函數(shù)還是在在函數(shù)函數(shù)例例 x xf 設(shè)設(shè)x1，x2（0

13、，+），且），且x1x2，則，則 2 2 1 1 1 )(, 1 )( x xf x xf 21 21 11 )()( xx xfxf 21 12 xx xx 0), 0(, 2121 xxxx 0 1221 xxxx 0)()( 21 xfxf)()( 21 xfxf .), 0( 1 )(上是減函數(shù)上是減函數(shù)在在函數(shù)函數(shù) x xf 11 1 Ox y 1 f（x）在定義域）在定義域 上是減函數(shù)嗎？上是減函數(shù)嗎？ 減函數(shù)減函數(shù) 取取x1=-1，x2=1 f（-1）=-1 f（1）=1 -11 f（-1）f（1） 例例3 3 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在(-2,2)(-2,2)內(nèi)的單內(nèi)的單 調(diào)性調(diào)性

14、. . 32 2 axxf(x) 變式變式1 1：若二次函數(shù)：若二次函數(shù) 2 ( )4f xxax 在區(qū)間在區(qū)間(-,1(-,1上單調(diào)遞增，求上單調(diào)遞增，求a a的取值范圍。的取值范圍。 變式變式2 2：若二次函數(shù)：若二次函數(shù) 2 ( )4f xxax 的遞增區(qū)間是（的遞增區(qū)間是（-,1-,1，則，則a a的取值情況是的取值情況是 ( )f x 是定義在是定義在R上的單調(diào)函數(shù)，且上的單調(diào)函數(shù)，且 的圖的圖 象過點(diǎn)象過點(diǎn)A（0，2）和）和B（3，0） （1）解不等式）解不等式 （2）求適合）求適合 的的 的取的取 值范圍值范圍 ( )f x (2 )(1)fxfx ( )2( )0f xf x或

15、x ( )f x 是定義在（是定義在（-1，1）上的單調(diào)增函數(shù)，）上的單調(diào)增函數(shù)， 解不等式解不等式 (2 )(1)fxfx 的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。求函數(shù)求函數(shù)34xxy 2 練習(xí)：練習(xí)： 注意：注意：在原函數(shù)定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性 在原函數(shù)定義域內(nèi)討論函數(shù)的單調(diào)性 思考與討論思考與討論 f(x)f(x)和和g(x)g(x)都是區(qū)間都是區(qū)間D D上的單調(diào)函數(shù)，上的單調(diào)函數(shù)， 那么那么f(x)f(x)和和g(x)g(x)四則運(yùn)算后在該四則運(yùn)算后在該 區(qū)間區(qū)間D D內(nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？?jī)?nèi)還具備單調(diào)性嗎？情況如何？ 你能證明嗎？能舉例嗎？你能證明嗎？能舉例嗎？ 1.1.若若f(x)f(x

16、)為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(x)g(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)， 則則F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)為增函數(shù)。為增函數(shù)。 2.2.若若f(x)f(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(x)g(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)， 則則F(X)=f(x)+g(x)F(X)=f(x)+g(x)為減函數(shù)。為減函數(shù)。 3.3.若若f(x)f(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)，g(x)g(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)， 則則F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)為增函數(shù)。為增函數(shù)。 4.4.若若f(x)f(x)為減函數(shù)，為減函數(shù)，g(x)g(x)為增函數(shù)，為增函數(shù)， 則則F(X)=f(x)-g(x)F(X)=f(x)-g(x)為減函數(shù)。為減函數(shù)。 三、歸納小結(jié)三、歸納小結(jié) 1.1.函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)的單調(diào)性的判定、證明和單調(diào)區(qū)間的確定：函數(shù)函數(shù) 的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明畫 函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要函數(shù)圖象通常借助計(jì)算機(jī)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時(shí)必須要 注意函數(shù)的定義