152定積分的概念

1、1.5.2 定積分的概念 求由連續(xù)曲線求由連續(xù)曲線y= =f(x)對應(yīng)的對應(yīng)的曲邊梯形曲邊梯形面積的方法面積的方法 (2) 近似代替近似代替:任取任取x xi xi- -1, xi，第，第i個小曲邊梯形的面積用高個小曲邊梯形的面積用高 為為f(x xi)而寬為而寬為D Dx的小矩形面積的小矩形面積 f(x xi)D Dx近似之。近似之。 (4)取極限：取極限：所求曲邊所求曲邊梯形的梯形的 面積面積S為為 （3）求和：求和：取取n個小矩形面積個小矩形面積 的和作為曲邊梯形面積的和作為曲邊梯形面積S的近似值：的近似值： xi y=f(x) x y Oba xi+1xi xD 1 lim( ) n

2、i n i Sfxx = =D 1 ( ) n i i Sfxx = D (1)分割分割:在區(qū)間在區(qū)間0,1上等間隔地插入上等間隔地插入n-1個點個點,將它等分成將它等分成 n個小區(qū)間個小區(qū)間: 每個小區(qū)間寬度每個小區(qū)間寬度x ba n - = 11211 , iin a xx xxxxb - 三、定積分的定義三、定積分的定義 11 ( )( ) nn ii ii ba fxf n xx = - D = 小矩形面積和S= 如果當如果當n時，時，S 的無限接近某個常數(shù)，的無限接近某個常數(shù)， 這個常數(shù)為函數(shù)這個常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a, b上的定積分，記作上的定積分，記作 b a (x)d

3、x，即f (x)dx =f (x i)Dxi。 從求曲邊梯形面積從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出的過程中可以看出,通過通過“四步四步 曲曲”: 分割分割-近似代替近似代替-求和求和-取極限取極限得到解決得到解決. 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 定積分的定義： 定積分的相關(guān)名稱：定積分的相關(guān)名稱： 叫做積分號，叫做積分號， f(x) 叫做被積函數(shù)，叫做被積函數(shù)， f(x)dx 叫做被積表達式，叫做被積表達式， x 叫做積分變量，叫做積分變量， a 叫做積分下限，叫做積分下限， b 叫做積分上限，叫做積分上限， a, b 叫做積分區(qū)

4、間。叫做積分區(qū)間。 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 O ab x y )(xfy = = = = b a Idxxf)( ii n i xfD D = = )(lim 1 0 x x 被積函數(shù)被積函數(shù) 被積表達式被積表達式 積分變量積分變量 積分下限積分下限 積分上限積分上限 S= b a f (x)dx； 按定積分的定義，有按定積分的定義，有 (1) (1) 由連續(xù)曲線由連續(xù)曲線y y= =f f( (x x) () (f f( (x x) ) 0) 0) ，直線，直線x x= =a a、x x= =b b及及 x x軸所圍成的曲

5、邊梯形的面積為軸所圍成的曲邊梯形的面積為 (2) (2) 設(shè)物體運動的速度設(shè)物體運動的速度v v= =v v( (t t) )，則此物體在時間區(qū)間，則此物體在時間區(qū)間 a a, , b b 內(nèi)運動的距離內(nèi)運動的距離s s為為 s= b a v(t)dt。 定積分的定義：定積分的定義： O ab ( )vv t= t v 1 ( )lim( ) n i n i ba f x dxf n x = - = b a 即 b a f(x)dx =f (t)dt =f(u)du。 說明：說明： (1) 定積分是一個數(shù)值定積分是一個數(shù)值, 它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， 而與積

6、分變量的記法無關(guān)，即而與積分變量的記法無關(guān)，即 （2）定定義義中中區(qū)區(qū)間間的的分分法法和和x xi的的取取法法是是任任意意的的. b b a a f f( (x x) )dxdx = = b b a af f ( (x x) )dx dx - - (3)(3) 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： Ox y ab y=f (x) b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 x=a、x=b與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當 f(x)0 時，積分dxxf b a )( 在幾何上表示由 y=f (x)、 特別地，當 a=b 時，有 b a f (x)dx=0。 當當f(x) 0時，由

7、時，由y= =f (x)、x= =a、x= =b 與與 x 軸所圍成的軸所圍成的 曲邊梯形位于曲邊梯形位于 x 軸的下方，軸的下方， x y O dxxfS b a )(-= =- ， dxxf b a )( ab y=f (x) y=-f (x) dxxfS b a )(-= b a f (x)dx =f (x)dxf (x)dx。 =-S 上述曲邊梯形面積的負值。上述曲邊梯形面積的負值。 定積分的幾何意義：定積分的幾何意義： 積分 b b a a f f ( (x x) )dxdx 在幾何上表在幾何上表示示 b b a a f f ( (x x) )d dx x = =f f ( (x x

8、) )d dx x f f ( (x x) )d dx x。 =-=-S S 當函數(shù)當函數(shù) f (x)在在 x a, b 有正有負時有正有負時, 定積分定積分 幾何意義幾何意義 b a dxxf)( 3 32 21 1 b b a a S SS SS Sf f( (x x) )d dx x即即-= 就是圖中幾個曲邊圖形面積的就是圖中幾個曲邊圖形面積的代數(shù)和代數(shù)和,(x 軸上方面積取正號軸上方面積取正號,x軸下方面積取負號軸下方面積取負號) O XS2 S1 y S3 1求下列定積分求下列定積分: (1) - 5 0 4)dx4)dx(2x(2x dxx - - 1 1 2 1)3( 例題分析例

9、題分析: 2 0 s si in nx xd dx x (2) 求定積分，只要求定積分，只要 理解被積函數(shù)和理解被積函數(shù)和 定積分的意義，定積分的意義， 并作出圖形，即并作出圖形，即 可解決可解決。 用定積分表示下列陰影部分面積用定積分表示下列陰影部分面積 S=_;S=_; S=_; y=sinx X O y X O y 5 -1 y=x2-4x-5 X O y 2 - 2 3 y=cosx 0 sindxx - - 5 1 2 )54(dxxx - - 2 3 2 2 2 coscos dxxdxx ab y=f (x) Ox y ( )yg x= 探究探究: 根據(jù)定積分的幾何意義根據(jù)定積分

10、的幾何意義,如何用定積分表示如何用定積分表示 圖中陰影部分的面積圖中陰影部分的面積? a b y=f (x) Ox y 1 () b a Sfx dx= ( )yg x= 12 ( )( ) bb aa S S Sf xdxg xdx= -=- 2 ( ) b a Sg x dx= 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1. 1. dx)x(g)x(f b a = = b a b a dx)x(gdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)2. 2. b a dx)x(kf = = b a dx)x(fk 定積分關(guān)于積分區(qū)間具有定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性可加性 = = b c c a b a dx)x(fdx

11、)x(fdx)x(f 性質(zhì)性質(zhì)3. 3. = = 2 12 1 c c b c c a b a dx)x(fdx)x(fdx)x(fdx)x(f Ox y ab y=f (x) 定積分的基本性質(zhì)定積分的基本性質(zhì) 例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積 積為義，可得陰影部分的面 根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且 ，在）在圖中，被積函數(shù)（ , 0)( 0)(1 2 = xf axxf解：解： dxxA a2 0 = 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 積為義，可得陰影部分的面 根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)

12、，且 ，在）在圖中，被積函數(shù)（ , 0)( 21)(2 2 -= xf xxf解： dxxA 22 1- = 例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 積為義，可得陰影部分的面 根據(jù)定積分的幾何意上連續(xù)，且 ，在）在圖中，被積函數(shù)（ , 0)( 1)(3 = xf baxf解： dxA b a = 例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x

13、-1)2-1 可得陰影部分的面積為根據(jù)定積分的幾何意義 ，上，在上，上連續(xù)，且在 ，在）在圖中，被積函數(shù)（ 0)(20, 0)(01 211) 1()(4 2 - -= xfxf xxf 解： dxxdxxA -= - 1) 1( 1) 1( 22 0 20 1 例2.用定積分表示圖中四個陰影部分面積 0000a y x y x y x y x f(x)=x2 f(x)=x2 -12 f(x)=1 ab-12 f(x)=(x-1)2-1 成立。 說明等式利用定積分的幾何意義0sin 2 2 = - xdx 例3： 解： 所以 并有上，在 上，上連續(xù)，且在，在 在右圖中，被積函數(shù) , , 0sin 2 0, 0sin 0 2 22 sin)( 21 AA xx xxf = - = 0)( 12 2 2 =-= - AAdxxf 2 - 2 2 A 1 A x y f(x)=sinx 1 -1 1、利用定積分的幾何意義，判斷下列定積分值的 正、負號。 2 0 sin xdx - 2 1 2dx x 2、利用定積分的幾何意義，說明下列各式成立： 0sin 2 0 = xdx = 2 00 sin2sin xdxxdx 1）2）. 1）2）. 練習： 3、試用定積分表示下列各圖中影陰部分的面積。 0 y