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IP屬地：寧夏 上傳時間：2021-07-03 格式：DOC 頁數(shù)：16 大?。?57KB 積分：11 舉報 版權申訴

1、數(shù)學建模烤肉模型摘要：本模型模擬一塊肉從開始加熱到被烤熟的過程，運用的主要科學依據(jù)是傅里葉傳熱定律和牛頓冷卻定律。為了使該過程便于用數(shù)學模型表達，我們在合理的范圍內對過程進行了簡化。運用我們的模型，只要給出肉的厚度，和需要的烤熟程度，就能得到所需要的時間。本模型思路清晰，結構明確，是物理和數(shù)學完美結合的一個典型實例。在模型的建立過程中，我們十分注重數(shù)學思想和方法的運用，盡可能的把一些抽象的概念量化，以便于把問題用數(shù)學語言表達，然后將整個過程分解，逐步求解，然后運用歸納法，總結出整個燒烤過程的規(guī)律。這充分體現(xiàn)了科學來源于實踐、科學指導實踐的思想。一塊肉能否被烤熟，烤熟的程度，烤熟后的質量好壞，受

2、很多因素的影響，比如烤的方式，肉本身的特征，外界環(huán)境，燒烤的時間，是否有人工干預等等。要在一個數(shù)學模型中考慮到如此多的因素，是十分困難的，也是不符合科學規(guī)律的。因此我們應該找出影響肉被烤熟這一過程中的主要因素，然后進行重點分析，最終達到我們想要的結果。本模型注重實際，充分運用數(shù)學方法和物理思想，最終順利求解決題目問題，取得了良好的結果。并且所得到的結論和模型可以推廣到燒烤以及其它領域，用于理論上的指導。具有一定的實際價值。關鍵詞烤肉模型 傅里葉定律 牛頓冷卻定律 歸納法問題重述：為了避免在燒烤時把雞肉烤焦，人們希望精確地估算燒烤時間，希望有一套指導燒烤的規(guī)則。當一塊肉的內部最低溫度達到某一值時

3、, 這塊肉就算烤好了, 這溫度值取決于肉的類型和熟透的程度. 考慮與燒烤時間相關的各因素. 查閱相關資料, 建立數(shù)學模型, 自擬一套合理燒烤的規(guī)則。 問題分析與基本思路： 肉類燒烤是一個涉及到熱物理的過程，對這一過程我們可以簡單的描述為肉從熱源上吸收能量，然后溫度升高，同樣，肉被加熱，溫度高于室溫，能量從肉上流向周圍空氣，使肉的溫度有所降低。由于肉吸收能量的速度比釋放能量的速度快，肉上的能量會不斷積累，最終溫度不斷升高直至被烤熟，達到人們的要求。在本模型中，我們限定肉的外形為長方體，且肉的厚度均小于其長度和寬度，燒烤的方式為單一平面熱源對肉的某一面進行燒烤，人為的每隔一定時間對肉塊進行翻轉，并

4、且忽略翻轉所用的時間。這些限定與假設均來源于生活實際，是非常合理的，經過最終的模型驗證，也是正確的。現(xiàn)在分析對這一過程會有影響的因素。肉的初始溫度和室溫。肉的初始溫度越高，肉被烤熟所需要的能量就越少，所用的時間也就越少。同樣，室溫越高，在燒烤過程中散出的熱量也就會越少，所需要的時間也會減少。肉的體積形態(tài)。根據(jù)傅里葉定律，在導熱現(xiàn)象中，單位時間內通過給定截面的熱量，正比例于垂直于該界面方向上的溫度變化率和截面面積，而熱量傳遞的方向則與溫度升高的方向相反。肉的面積越大，所需要的熱量越多。肉的厚度越厚，熱源的能量越難以傳到中心層，肉也會越難熟。熱源的種類及強度。熱源單位時間釋放的能量越多，燒烤所需要

5、的時間越少。熱源散熱時越均勻燒烤的效果越好，對肉是否熟也就更好判斷。燒烤時所采用的方法。如果我們將肉看成是一個厚度均勻的片體，為了使肉兩面都成熟，我們應該每隔一段時間將肉塊翻轉?；舅悸贰Ｎ覀儼讶鈮K看成是一個厚度均勻的片體，其中的一面放在熱源上烤另一面與空氣接觸，由于肉的溫度高于空氣溫度，這一面會向外界散熱。這就是說肉塊在燒烤過程中不斷的翻轉，肉塊的兩面交替著吸熱與散熱直至被烤熟。我們可以把問題分解成子問題，最終綜合起來求解：.正面被加熱。.反面散熱。.根據(jù)翻轉的特征將以上連個過程聯(lián)系起來得到我們最終的模型。根據(jù)以上劃分情況我們針對各個問題給出了具體的方案。 .正面被加熱過程。根據(jù)傅里葉定律結

6、合我們的模型實際，肉塊作為一個平面物體且平面上每一點被均勻加熱。因此我們只需考慮一個方向上的熱傳導。即取定律中的第一個式子： 式子中矢量 為熱流密度，表示肉塊的傳熱系數(shù)， 表示材料的溫度梯度。此式表征了能量從熱源傳遞到肉塊的整個過程。肉塊中的溫度梯度與熱量的傳播方向互為反方向。另外熱流密度的標量q與熱源傳播出來的能量有以下關系 上式中，q為熱量， t為時間 ，s為截面面積，表示熱流密度大小等于熱源散發(fā)出的熱量與受熱物體的受熱面積和受熱時間的乘積之比。散熱面 加熱面 . 反面散熱過程。根據(jù)牛頓冷卻定律，上表面處于自然冷卻的狀態(tài)，熱量散失的速率和上表面與外界的溫度之差（t t0）成正比。即： 式中

7、k0與散熱面的表面光潔度，表面溫度，外界溫度有關，稱為散熱系數(shù)。此式就是牛頓散熱定律的微分形式。求解上式 兩端積分得 最終得到 由初始條件得 t=0時，室溫為20 ，tf溫度為105 ， 可得 c=tf-t0t=30s時，肉片表面溫度變?yōu)?4，代入數(shù)據(jù)得：k=-0.0046則物體在散熱過程中溫度隨時間變化的關系可表示為：畫成函數(shù)圖像如下圖所示： .考慮人工翻轉對這一過程的影響。假設執(zhí)行燒烤的人每隔一定的時間翻轉一次（30秒），那么肉塊的兩個表面交替地進行著受熱散熱過程。以其中一個面為例： 與熱源靠近，吸熱 2n*30t(2n+1)*30 與熱源背離，散熱 (2n+1)*30t(2n+2)*30

8、 n 非負整數(shù)。模型假設：1. 所考的肉為一塊厚度、組成結構均勻的柱體體模型。2. 肉在燒烤前溫度均勻且與室溫相同，假設為20度3. 在燒烤過程中，熱源與肉的表面平行，即肉被均勻加熱。4. 在燒烤過程中，熱源保持恒定，單位時間釋放的熱量不變；外界溫度也保持不變5. 肉從開始加熱到被烤熟，每隔30秒翻轉一面，翻轉時間忽略不計。6. 由于已經假設外界溫度保持恒定不變，因此不考慮空氣的對流，熱量僅以熱傳導和熱輻射的形式在各個系統(tǒng)間傳遞。7. 在翻轉過后，與熱源接觸的一面溫度迅速升高到熱源溫度，這一過程持續(xù)的時間設為無限小。符號說明： m 肉塊的質量（單位g）d 肉塊內部某一層距離下表面的厚度（單位

9、mm）d 肉塊的整體厚度（單位mm）q 加熱或散熱過程中物體吸收或者散失的能量（單位j）q吸 肉塊加熱過程中吸收的能量（單位j）q散 肉塊散熱過程中散失的能量（單位j）q0 肉塊受熱表層溫度升高到熱源溫度所需要的能量（單位j）t0 肉塊的初始溫度（單位k）tf 熱源的溫度（單位k）tc 肉塊中心層的溫度（單位k）c 肉塊的比熱容（單位j/(kg*)t 時間（單位 s）q 熱流密度（單位w/m2） 加熱時在物體吸收能量為q，所用時間為t的情況下，物體的溫度變化量（單位k） 某特定物體在自身溫度高于外界溫度情況下，進過時間t后，溫度的降低值（單位k） s 肉塊的面積 （單位 m2） 、 表征能量隨

10、時間變化快慢的系數(shù)（單位s） 傳熱系數(shù)（單位w/(m*k) ）模型的建立與求解：根據(jù)題目要求，當肉塊內某一點溫度達到一個具體值時，我們就可以判定該肉塊被烤熟，以及熟的程度。我們取中間層作為判斷標準。經過查找相關資料，給出中心層溫度與肉塊熟的程度的關系如下表。 表1中心層溫度（）858174686356514646絕對溫度（k）355.15351.15344.15338.15333.15326.15321.15316.15 figure1 = figure;annotation1 = annotation(figure1,arrow,0.131 0.131,0.92 0.96);annotati

11、on2 = annotation(figure1,arrow,0.88 0.96,0.108 0.108);t=0:1:500;t=85*exp(-0.0046*t)+20;plot(t,t)%text(pi/2,1,fontsize16leftarrowitsin(t)fontname隸書極大值)box off;hold ontitle(冷卻過程溫度和時間的關系)xlabel(時間)ylabel(溫度)xtick=get(gca,xticklabel);xtick=xtick,repmat(s,size(xtick,1),1);set(gca,xticklabel,xtick);ytick=

12、get(gca,yticklabel);ytick=ytick,repmat(,size(ytick,1),1);set(gca,yticklabel,ytick);修正前模型圖像編程代碼：x=30:800;y=20+16913*0.006*log(x)/1800/0.005-85*exp(-0.0046*x);plot(x,y)box off;hold ontitle(時間與中心溫度)xlabel(時間)ylabel(溫度)xtick=get(gca,xticklabel);xtick=xtick,repmat(s,size(xtick,1),1);set(gca,xticklabel,xt

13、ick);ytick=get(gca,yticklabel);ytick=ytick,repmat(,size(ytick,1),1);set(gca,yticklabel,ytick);修正后模型圖像編程代碼：x=30:800;y=20+16913*0.006*log(x)/1800/0.005-45*exp(-0.0046*x);plot(x,y)box off;hold ontitle(時間與中心溫度)xlabel(時間)ylabel(溫度)xtick=get(gca,xticklabel);xtick=xtick,repmat(s,size(xtick,1),1);set(gca,xt

14、icklabel,xtick);ytick=get(gca,yticklabel);ytick=ytick,repmat(,size(ytick,1),1);set(gca,yticklabel,ytick);模型驗證時繪圖所用的代碼x=30:800;y1=20+16913*0.0049*log(x)/1800/0.004-45*exp(-0.0046*x);subplot(2,2,1);plot(x,y1,g);hold on;title(時間與中心溫度)xlabel(時間)ylabel(溫度)y2=20+16913*0.012*log(x)/1800/0.01-45*exp(-0.0046*x);subplot(2,2,2);plot(x,y2,b);hold on;title(時間與中心溫度)xlabel(時間)ylabel(溫度)y3=20+16913*0.018*log(x)/1800/0.015-45*exp(-0.0046*x);subplot(2,2,3);plot(x,y3,r);hold on;title(時間與中心溫度)ylabel(溫度)xlabel(時間)y4=20+16913*0.024*log(x)/1800/0.021-45*exp(-