第6章 非線性有限元法(幾何非線性)

1、第六章第六章 非線性有限元法（幾何非線性）非線性有限元法（幾何非線性） 1、變形體的運(yùn)動(dòng)描述 x3 x1 x2 P0 t0=0 tn+1=tn+tn tn Pn Pn+1 A0 An+1 An 變形體上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變形體上的質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài) 可以隨不同的坐標(biāo)選取以下幾可以隨不同的坐標(biāo)選取以下幾 種描述方法：種描述方法： 1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日列式法（T.LT.L列式列式 法法Total Lagrangian Formulation)Total Lagrangian Formulation)： 選取選取t t0 0=0=0時(shí)刻未變形物體的構(gòu)時(shí)刻未變形物體的構(gòu) 形形A A0 0作為參

2、照構(gòu)形進(jìn)行分析。作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。 2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法列式法Updated Lagrangian FormulationUpdated Lagrangian Formulation）： 選取選取t tn n時(shí)刻的物體構(gòu)形時(shí)刻的物體構(gòu)形A An n作為參照構(gòu)形。由于作為參照構(gòu)形。由于A An n隨計(jì)算而變化，因隨計(jì)算而變化，因 此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與t t有關(guān)。有關(guān)。t tn n為非線性增量求解時(shí)增為非線性增量求解時(shí)增 量步的開(kāi)始時(shí)刻。量步的開(kāi)始時(shí)刻。 3 3、歐拉描述法歐拉描述法(Eulerian Fo

3、rmulation)(Eulerian Formulation)： 獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前時(shí)刻的位置獨(dú)立變量是質(zhì)點(diǎn)當(dāng)前時(shí)刻的位置x xn+1 n+1與時(shí)間 與時(shí)間t tn+1 n+1。 。 幾何非線性的有限元方程一幾何非線性的有限元方程一 般采用般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立！列式法建立！ 、變形梯度張量 x3 x1 x2 PP P P 初始初始/ /未變形未變形 變形后變形后 位移位移u u x x x x 1 1、首先采用、首先采用LagrangianLagrangian方法，方法， 將一個(gè)物體的加載過(guò)程劃分為將一個(gè)物體的加載過(guò)程劃分為 一系列平衡狀態(tài)。一系列平衡狀態(tài)。 iii

4、uxx位移方程位移方程 初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間坐 標(biāo)關(guān)系為：標(biāo)關(guān)系為： 2 2、然后，考慮材料方向矢量，這個(gè)矢量、然后，考慮材料方向矢量，這個(gè)矢量 描述物體內(nèi)一段無(wú)限小的單元。描述物體內(nèi)一段無(wú)限小的單元。 jijj j i i xdFxd x x dx x3 x1 x2 i xP ii dxxP ii xdxQ i xP 式中，式中，F(xiàn) Fij ij稱為變形梯度張量。稱為變形梯度張量。 j i ij x x F 初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量初始狀態(tài)與變形后狀態(tài)之間材料方向矢量 的關(guān)系：的關(guān)系： 、變形梯度張量 j i j i j i ij x u x x x

5、 x F jjiiijij FFFFI 2 1 2 由位移方程，得：由位移方程，得： j i ijij x u F ijijii FFI 1 由二階張量特性，變形梯度張量由二階張量特性，變形梯度張量 的三個(gè)不變量為：的三個(gè)不變量為： VJdVdFdV ij det JFI ij det 3 由于由于F Fij ij表示從初始狀態(tài)到變表示從初始狀態(tài)到變 形后狀態(tài)的一個(gè)映射，其逆映射形后狀態(tài)的一個(gè)映射，其逆映射 Fij-1一定存在，即：一定存在，即： AdFJNdAn ijij 1 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?體積映射體積映射: : 面積映射：面積映射： 變形前面積變形前面積dA dA Ni ( (初始面積

6、法向矢量初始面積法向矢量) ) 變形后面積變形后面積dAdA ni(變形后面積法向矢量變形后面積法向矢量) ) 映射映射F Fij ij 逆映射逆映射F F-1 -1ij ij F Fij ij是一個(gè)二階張量。是一個(gè)二階張量。 j i ij j i ij x u x x F 1 、應(yīng)變與變形測(cè)度 由于變形梯度張量由于變形梯度張量F Fij ij中包含了剛體運(yùn)動(dòng)，因此不能直接用于定中包含了剛體運(yùn)動(dòng)，因此不能直接用于定 義應(yīng)變測(cè)度。而材料方向矢量則不包含剛體運(yùn)動(dòng)，因此它的平方值義應(yīng)變測(cè)度。而材料方向矢量則不包含剛體運(yùn)動(dòng)，因此它的平方值 可以作為衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個(gè)測(cè)度，定義為：可以作為

7、衡量從某一狀態(tài)到變形后狀態(tài)的一個(gè)測(cè)度，定義為： ii xdxdsd 2 初始狀態(tài)初始狀態(tài): : 一個(gè)應(yīng)變測(cè)度應(yīng)該能反映出材料一段一個(gè)應(yīng)變測(cè)度應(yīng)該能反映出材料一段 長(zhǎng)度發(fā)生的改變。因此，應(yīng)變張量可以由長(zhǎng)度發(fā)生的改變。因此，應(yīng)變張量可以由 下式定義：下式定義： iiii xdxddxdxsdds 22 x3 x1 x2 i xP ii dxxP ii xdxQ i xP iidx dxds 2 變形后狀態(tài)：變形后狀態(tài)： 提醒：提醒：由于由于GreenGreen應(yīng)變張量表達(dá)式中的變形梯度張量對(duì)應(yīng)于初始狀應(yīng)變張量表達(dá)式中的變形梯度張量對(duì)應(yīng)于初始狀 態(tài)，因此該應(yīng)變張量也應(yīng)在初始狀態(tài)下計(jì)算。態(tài)，因此該應(yīng)變

8、張量也應(yīng)在初始狀態(tài)下計(jì)算。 、應(yīng)變與變形測(cè)度 、AlmanshiAlmanshi應(yīng)變張量應(yīng)變張量1 1、Green Green 應(yīng)變張量應(yīng)變張量 GreenGreen應(yīng)變張量采用應(yīng)變張量采用LagrangianLagrangian運(yùn)運(yùn) 動(dòng)描述方法，即按初始狀態(tài)下的動(dòng)描述方法，即按初始狀態(tài)下的 構(gòu)形定義應(yīng)變張量。構(gòu)形定義應(yīng)變張量。 iiijiiijkjki iijkjkii iiii xdxdexdxdFF xdxdxdFFxd xdxddxdxsdds 2 22 ijkjkiij FFe 2 1 式中，式中，e eij ij稱為稱為GreenGreen應(yīng)變張量應(yīng)變張量或或 Green-Lagr

9、angianGreen-Lagrangian應(yīng)變張量應(yīng)變張量。 AlmanshiAlmanshi應(yīng)變張量采用應(yīng)變張量采用EularEular運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) 描述方法，即按當(dāng)前狀態(tài)下的構(gòu)描述方法，即按當(dāng)前狀態(tài)下的構(gòu) 形定義應(yīng)變張量。形定義應(yīng)變張量。 iiijiikjkiij jkjkiiii iiii dxdxEdxdxFF dxFFdxdxdx xdxddxdxsdds 2 11 11 22 11 2 1 kjkiijij FFE 式中，式中，E Eij ij稱為稱為AlmanshiAlmanshi應(yīng)變張量應(yīng)變張量 或或Almanshi Almanshi EularEular應(yīng)變張量應(yīng)變張量。 由于

10、大變形問(wèn)題有由于大變形問(wèn)題有 限元方程主要采用限元方程主要采用 T.LT.L列式法列式法或或U.LU.L列式列式 法法建立，因此應(yīng)在初建立，因此應(yīng)在初 始狀態(tài)下定義應(yīng)變張始狀態(tài)下定義應(yīng)變張 量，即采用量，即采用GreenGreen應(yīng)應(yīng) 變張量。變張量。 可以證明可以證明GreenGreen應(yīng)變張量和應(yīng)變張量和AlmanshiAlmanshi應(yīng)變張量都是二階對(duì)稱張量。應(yīng)變張量都是二階對(duì)稱張量。 、應(yīng)變與變形測(cè)度 2 2、Green Green Lagrangian Lagrangian應(yīng)變張量應(yīng)變張量e eij ij與小應(yīng)變張量與小應(yīng)變張量ij ij的關(guān)系的關(guān)系 將變形梯度張量表達(dá)式代入到將變形

11、梯度張量表達(dá)式代入到 GreenGreen應(yīng)變張量公式中，得：應(yīng)變張量公式中，得： ijij j k i k i j j i ij j k i k i j j i ij ij j k kj i k kiij x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u e 2 1 2 1 2 1 2 1 i j j i ij x u x u 2 1 式中：式中： 為小變形應(yīng)變張量；為小變形應(yīng)變張量； kjkiij FFC j k i k ij x u x u 2 1 2 2、GreenGreen變形張量也可寫(xiě)為：變形張量也可寫(xiě)為： 為非線性二次項(xiàng)為非線性二次項(xiàng) 1 1、Gre

12、enGreen應(yīng)變張量應(yīng)變張量 為小應(yīng)變張量與一個(gè)非線性二為小應(yīng)變張量與一個(gè)非線性二 次項(xiàng)之和，這意味所有大變形次項(xiàng)之和，這意味所有大變形 分析都是非線性的。分析都是非線性的。 ijijij Ce 2 1 ijijij e 式中，式中，C Cij ij是是CauchyCauchy變形張量變形張量 由于由于CauchyCauchy變形張量是正定對(duì)稱變形張量是正定對(duì)稱 陣，因此該張量有三個(gè)實(shí)特征值；陣，因此該張量有三個(gè)實(shí)特征值； 這些特征值的平方根記為材料的這些特征值的平方根記為材料的 主軸拉伸。主軸拉伸。 、大變形的應(yīng)力測(cè)度 1 1、柯西應(yīng)力張量、柯西應(yīng)力張量(Cauchys stress (C

13、auchys stress tensor)tensor) 取三維空間笛卡兒坐標(biāo)系，在取三維空間笛卡兒坐標(biāo)系，在t t時(shí)刻時(shí)刻 的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中截取一個(gè)四面體素，斜面的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形中截取一個(gè)四面體素，斜面 的法線為的法線為n n，另外三個(gè)面元與所取坐標(biāo)，另外三個(gè)面元與所取坐標(biāo) 面平行。由四面體素的平衡條件得出其面平行。由四面體素的平衡條件得出其 上的應(yīng)力為：上的應(yīng)力為： jiji nn n i i n 3 x 2 x 1 x 這里這里ij=ji便是便是柯西應(yīng)力張量柯西應(yīng)力張量，它是二階對(duì)稱張量。，它是二階對(duì)稱張量。 、柯西、柯西(Cauchy)(Cauchy)應(yīng)力張量是一種采用歐拉描述法應(yīng)力張量是一種采

14、用歐拉描述法( (是以質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí)是以質(zhì)點(diǎn)的瞬時(shí) 坐標(biāo)坐標(biāo)x xk k和時(shí)間和時(shí)間t t作為自變量描述作為自變量描述) )定義在定義在t t時(shí)刻的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上的應(yīng)力張時(shí)刻的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形上的應(yīng)力張 量量ij ij，又稱，又稱歐拉應(yīng)力張量歐拉應(yīng)力張量。 、在大變形、在大變形( (有限變形有限變形) )情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后情況下，由于變形前的初始構(gòu)形和變形后 的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形差別較大，柯西的現(xiàn)時(shí)構(gòu)形差別較大，柯西(Cauchy)(Cauchy)應(yīng)力張量難于適應(yīng)。應(yīng)力張量難于適應(yīng)。 柯西應(yīng)力是定義在現(xiàn)柯西應(yīng)力是定義在現(xiàn) 時(shí)構(gòu)形（變形后狀態(tài)時(shí)構(gòu)形（變形后狀態(tài) 下）的單位面積上的下）的單位面積上的 力，

15、是與變形相關(guān)的力，是與變形相關(guān)的 真實(shí)應(yīng)力。真實(shí)應(yīng)力。 3、大變形的應(yīng)力測(cè)度 2 2、一階、一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量 一階一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量的定義是建立在總應(yīng)力張量的定義是建立在總 力相等的基礎(chǔ)上。即：在參考狀態(tài)下該應(yīng)力張量力相等的基礎(chǔ)上。即：在參考狀態(tài)下該應(yīng)力張量 能給出與變形后狀態(tài)下柯西應(yīng)力張量相同的力。能給出與變形后狀態(tài)下柯西應(yīng)力張量相同的力。 變形后狀態(tài)下：變形后狀態(tài)下：dAndP jiji 稱為一階稱為一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量或或名

16、義應(yīng)力名義應(yīng)力 參考后狀態(tài)下：參考后狀態(tài)下： AdNTdP jiji 變形前面積變形前面積dA dA Ni ( (參考面積法向矢量參考面積法向矢量) ) 變形后面積變形后面積dAdA ni(變形后面積法向矢量變形后面積法向矢量) ) AdFJNdAn ijij 1 將面積映射關(guān)系：將面積映射關(guān)系： 代入上式，得：代入上式，得： 1 jkikij JFT AdNTdAn jijjij AdNTAdFJN jijkjkij 1 同樣，柯西應(yīng)力張量也可以由一同樣，柯西應(yīng)力張量也可以由一 階階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量表示：應(yīng)力張量表示：ikjkij TFJ 1

17、從該式可以看出，一階從該式可以看出，一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力應(yīng)力 張量張量提供了以參考狀態(tài)表示實(shí)際力的形式。但提供了以參考狀態(tài)表示實(shí)際力的形式。但 是，直接應(yīng)用一階是，直接應(yīng)用一階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量可能可能 存在以下兩個(gè)困難：存在以下兩個(gè)困難： 1 1、從能量角度上，、從能量角度上，T Tij ij不適合與不適合與GreenGreen應(yīng)變張量應(yīng)變張量 共同使用。因?yàn)楣餐褂?。因?yàn)門(mén) Tij ij乘以乘以GreenGreen應(yīng)變張量不會(huì)產(chǎn)應(yīng)變張量不會(huì)產(chǎn) 生與生與CauchyCauchy應(yīng)力張量與小應(yīng)變張

18、量相同的能量應(yīng)力張量與小應(yīng)變張量相同的能量 密度。密度。 2 2、T Tij ij不對(duì)稱，因而較難應(yīng)用到有限元分析中。不對(duì)稱，因而較難應(yīng)用到有限元分析中。 、大變形的應(yīng)力測(cè)度 3 3、二階、二階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量 如不采用變形后狀態(tài)如不采用變形后狀態(tài)dPdP推導(dǎo)應(yīng)力張量，而推導(dǎo)應(yīng)力張量，而 是將作用在變形后狀態(tài)下的是將作用在變形后狀態(tài)下的dPdP映射到未變形映射到未變形 狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即：狀態(tài)上（映射是采用逆變形梯度張量），即： jiji dPFPd 1 AdNSPd jiji 這樣可以定義另一個(gè)應(yīng)力張量這樣可以定義另

19、一個(gè)應(yīng)力張量S S，它給出了，它給出了 未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力：未變形狀態(tài)下作用在未變形面積上的總力： 現(xiàn)在，變換柯西應(yīng)力張量，使：現(xiàn)在，變換柯西應(yīng)力張量，使： dAnFdPFPd kjkijjiji 11 AdNJFFPd rrkjkiji 11 AdFJNdAn ijij 1 將面積映射關(guān)系將面積映射關(guān)系 代入上式：代入上式： ( 1 )( 1 ) ( 2 )( 2 ) ( 3 )( 3 ) ( 4 )( 4 ) 對(duì)比對(duì)比(2)(2)、(4)(4)式可得：式可得： 11 rkjkijij JFFS rkijijjk FJSF 1 S Sij ij稱為稱為二階二階Piola-K

20、irchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量 或或偽應(yīng)力偽應(yīng)力 同樣，由上式可得：同樣，由上式可得： 二階二階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量S Sij ij 的性質(zhì)：的性質(zhì)： S Sij ij是對(duì)稱陣；是對(duì)稱陣； S Sij ij在能量角度下與在能量角度下與GreenGreen應(yīng)變張應(yīng)變張 量協(xié)調(diào)，即：量協(xié)調(diào)，即： 該表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)在于等式右邊是該表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)在于等式右邊是 在參考狀態(tài)下計(jì)算的。在參考狀態(tài)下計(jì)算的。 1. 1. S Sij ij與與T Tij ij有以下關(guān)系：有以下關(guān)系： ijijijij eS rjijri TSF 二階二

21、階Piola-KirchoffPiola-Kirchoff應(yīng)力張量應(yīng)力張量 的物理意義是明確的：真實(shí)的物理意義是明確的：真實(shí) 的力元可以看成是由的力元可以看成是由S Sij ij定義定義 的力元經(jīng)與變形相同的方式的力元經(jīng)與變形相同的方式 被被“拉長(zhǎng)和轉(zhuǎn)動(dòng)拉長(zhǎng)和轉(zhuǎn)動(dòng)”后得到的。后得到的。 、大變形的應(yīng)力測(cè)度 4 4、三個(gè)應(yīng)力張量的比較、三個(gè)應(yīng)力張量的比較 張量張量 作用力作用力 作用面積作用面積 柯西應(yīng)力張量柯西應(yīng)力張量ij ij 變形后狀態(tài)下的力 變形后狀態(tài)下的力 變形后狀態(tài)下的面積變形后狀態(tài)下的面積 一階一階P-KP-K應(yīng)力張量變形后狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積應(yīng)力張量變形后狀態(tài)下的力未變形

22、狀態(tài)下的面積 二階二階P-KP-K應(yīng)力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積應(yīng)力張量未變形狀態(tài)下的力未變形狀態(tài)下的面積 因此，雖然二階因此，雖然二階P-KP-K應(yīng)力張量有其應(yīng)用上的優(yōu)點(diǎn)，但其本身的物理應(yīng)力張量有其應(yīng)用上的優(yōu)點(diǎn)，但其本身的物理 意義很難理解。它主要是起到求解大變形問(wèn)題的橋梁作用，通過(guò)意義很難理解。它主要是起到求解大變形問(wèn)題的橋梁作用，通過(guò) 它計(jì)算出柯西應(yīng)力張量。它計(jì)算出柯西應(yīng)力張量。 、幾何非線性有限元方程的建立 如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用如前所述，幾何非線性的有限元方程一般采用T.LT.L或或U.LU.L列式法建立：列式法建立： 1 1、全拉格朗日列式法全拉格朗日

23、列式法（T.LT.L列式法列式法) )： 選取選取t t0 0=0=0時(shí)刻未變形物體的構(gòu)形時(shí)刻未變形物體的構(gòu)形A A0 0作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。作為參照構(gòu)形進(jìn)行分析。 2 2、修正拉格朗日列式法修正拉格朗日列式法（U.LU.L列式法）列式法）： 選取選取t tn n時(shí)刻的物體構(gòu)形時(shí)刻的物體構(gòu)形A An n作為參照構(gòu)形。由于作為參照構(gòu)形。由于A An n隨計(jì)算而變化，因隨計(jì)算而變化，因 此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與此其構(gòu)形和坐標(biāo)值也是變化的，即與t t有關(guān)。有關(guān)。t tn n為非線性增量求解時(shí)增為非線性增量求解時(shí)增 量步的開(kāi)始時(shí)刻。即增量分析。量步的開(kāi)始時(shí)刻。即增量分析。 x3 x1 x2

24、P0 t0=0 tn+1=tn+tn tn Pn Pn+1 A0 An+1 An 圖示物體同時(shí)作用有體積力圖示物體同時(shí)作用有體積力fib和和 面力面力fiS，在時(shí)刻，在時(shí)刻t tn+1 n+1=t =tn n+ +t tn n的平的平 衡方程可以按虛功原理建立：衡方程可以按虛功原理建立： S * i S i V * i b i V ijij dSufdVufdV * 提醒：提醒：該方程此時(shí)不可解，因?yàn)閼?yīng)力該方程此時(shí)不可解，因?yàn)閼?yīng)力 和應(yīng)變?cè)谧冃魏鬆顟B(tài)下表示未知。和應(yīng)變?cè)谧冃魏鬆顟B(tài)下表示未知。 、幾何非線性有限元方程的建立 2 2、在外力作用點(diǎn)和方向都不改、在外力作用點(diǎn)和方向都不改 變的條件下，

25、也可以將體積力變的條件下，也可以將體積力fib 和面力和面力fiS定義到初始狀態(tài)下：定義到初始狀態(tài)下： dSfSdfdSfSdf b i b i S i S i S * i S i V * i b i V ijij dSufdVufdV * S * i S i V * i b i V ijij SdufVdufVdeS * 提醒：提醒：上式給出的虛功方程是從上式給出的虛功方程是從變形后狀態(tài)下變形后狀態(tài)下的虛功方程轉(zhuǎn)換的虛功方程轉(zhuǎn)換 而來(lái)，因此是準(zhǔn)確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。而來(lái)，因此是準(zhǔn)確的，但是已經(jīng)完全定義在初始狀態(tài)下了。 為了求解，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到為了求解

26、，需將以上變形后狀態(tài)下表示的虛功方程轉(zhuǎn)換到 初始狀態(tài)下表達(dá)。初始狀態(tài)下表達(dá)。 V ijij V ijij VdeSdV * 1 1、采用二階、采用二階PiolaPiola應(yīng)力張量和應(yīng)力張量和 GreenGreen應(yīng)變張量將虛應(yīng)變能轉(zhuǎn)換應(yīng)變張量將虛應(yīng)變能轉(zhuǎn)換 到初始狀態(tài)下表示：到初始狀態(tài)下表示： 將以上關(guān)系代入到虛功方程中：將以上關(guān)系代入到虛功方程中： 得：得： ( a )( a ) 、幾何非線性有限元方程的建立 ij R 2 1 表示該張量對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：表示該張量對(duì)應(yīng)的時(shí)刻：1 1代表初始代表初始 狀態(tài)時(shí)刻，狀態(tài)時(shí)刻，2 2為變形后狀態(tài)時(shí)刻；為變形后狀態(tài)時(shí)刻； 如該標(biāo)識(shí)缺省，則表示從初始狀態(tài)如該

27、標(biāo)識(shí)缺省，則表示從初始狀態(tài) 變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。變化到變形后狀態(tài)該張量的增量。 代表定義該張量所對(duì)應(yīng)的構(gòu)形：代表定義該張量所對(duì)應(yīng)的構(gòu)形： 1 1為初始狀態(tài)構(gòu)形，為初始狀態(tài)構(gòu)形，2 2為變形后為變形后 狀態(tài)構(gòu)形；如該標(biāo)識(shí)缺省，則狀態(tài)構(gòu)形；如該標(biāo)識(shí)缺省，則 為初始狀態(tài)構(gòu)形。為初始狀態(tài)構(gòu)形。 在利用增量法（在利用增量法（修正拉格朗日列式法）修正拉格朗日列式法）求解時(shí)，為了分析的方求解時(shí)，為了分析的方 便，在張量符號(hào)的左側(cè)引入上下標(biāo)，分別該張量對(duì)應(yīng)時(shí)刻以及定義便，在張量符號(hào)的左側(cè)引入上下標(biāo)，分別該張量對(duì)應(yīng)時(shí)刻以及定義 該張量的構(gòu)形：該張量的構(gòu)形： S * i S i V * i b i V

28、ijij SdufVdufVdeS 2 1 2 1 *2 1 2 1 當(dāng)引入以上表示后，當(dāng)引入以上表示后， 按按t t1 1+ +t t時(shí)刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫(xiě)為：時(shí)刻構(gòu)形建立的虛功方程可以寫(xiě)為： 或?qū)憺椋夯驅(qū)憺椋?QVdeS V ijij 2 1 *2 1 2 1 式中，式中， 表示外力所做的虛功。表示外力所做的虛功。 S * i S i V * i b i SdufVdufQ 2 1 2 1 2 1 、幾何非線性有限元方程的建立 引入此前引入此前GreenGreen應(yīng)變張量表達(dá)式，可得：應(yīng)變張量表達(dá)式，可得： ijijijijijij ee i j j i ij x u x u 2 1

29、 線線性性項(xiàng)項(xiàng)為為： ijijij SSS 1 1 1 2 1 j k i k j k i k ij x u x u x u x u 2 1 非線性項(xiàng)為：非線性項(xiàng)為： 再將變形后狀態(tài)下再將變形后狀態(tài)下KirchoffKirchoff應(yīng)力張量表示為未變應(yīng)力張量表示為未變 形狀態(tài)的形狀態(tài)的KirchoffKirchoff應(yīng)力張量加上一個(gè)應(yīng)力增量：應(yīng)力張量加上一個(gè)應(yīng)力增量： ( a )( a ) ( b )( b ) ij S 1 1 ijij S 11 1 注意，式注意，式 ( b )( b )中中 為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示為作用在未變形構(gòu)形上并以未變形狀態(tài)下表示 的的Kircho

30、ffKirchoff應(yīng)力張量，實(shí)際上就是柯西應(yīng)力張量：應(yīng)力張量，實(shí)際上就是柯西應(yīng)力張量： 。 虛功方程：虛功方程： QVdeS V ijij 2 1 *2 1 2 1 ijijij SS 1 12 1 ( c )( c ) 、幾何非線性有限元方程的建立 S * i S i V * i b i SdufVduf 1 1 1 1 VdQ V * ijij 1 11 1 為為t tn n時(shí)刻初始構(gòu)形上時(shí)刻初始構(gòu)形上 外力所做虛功。外力所做虛功。 QVdeSVdQ VdSVdSVdVdVdeS V ijij V ijij V ijij V ijij V ijij V ijij V ijijijij 2

31、 1 * 11 * 1 11 1 * 11 * 11 * 1 1* 1 1* 1 * 11 1 將以上將以上 ( a )( a )、( c )( c )兩式代入到虛功方程中，可得：兩式代入到虛功方程中，可得： QQVdVdeS V ijij V ijij 1 1 2 1 * 1 1* 11 即變形后狀態(tài)下的虛功方程為：即變形后狀態(tài)下的虛功方程為： 式中：式中： 為為t tn n+ +t t時(shí)刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。時(shí)刻初始構(gòu)形上外力所做的虛功。 S * i S i V * i b i SdufVdufQ 2 1 2 1 2 1 這里，虛功方程中由于包含了非線性二這里，虛功方程中由于包含了非線性二 次項(xiàng)，因此方程是非線性方程。這個(gè)方次項(xiàng)，因此方程是非線性方程。這個(gè)方 程還不能直接求解。為了求解這個(gè)方程，程還不能直接求解。為了求解這個(gè)方程， 需要將方程線性化。需要將方程線性化。 6、非線性平衡增量方