2.1.定積分的換元積分法與分部積分法ppt課件

1、第三節(jié) 定積分的計算法 第五章 不定積分不定積分 換元積分法換元積分法 分部積分法分部積分法 定積分定積分 定積分的計算法 第五章 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部積分法 一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法 第28講 一、定積分的換元積分法一、定積分的換元積分法 引例引例求橢圓求橢圓 1 2 2 2 2 b y a x 解解(方法方法1) 1 4SS a xxa a b 0 22 d4 xxad 22 tttadcoscos 2 C t t a 2 2sin 2 2 C a xa a x a xa arcsin 2 222 taxsin 令令 ) 2 , 2 ( t a a b

2、 0 4 a xa a x a xa 222 arcsin 2 ab 圍成平面圖形的面積圍成平面圖形的面積S. 運算繁！運算繁！ 22 xa a b y x o y a 1 S 引例引例求橢圓求橢圓 1 2 2 2 2 b y a x 解解(方法方法2) 1 4SS a xxa a b 0 22 d4 tttdcoscos 2 0 ) 2 2sin ( 2 1 4 t tab taxsin 令令 ab 圍成平面圖形的面積圍成平面圖形的面積S. 問題問題是否有定積分的換元積分法？是否有定積分的換元積分法？有有. 2 0 4 a b 0 2 2 ab 定理定理1 設(shè)設(shè), ,)(baCxf 單值函數(shù)

3、單值函數(shù))(tx 滿足滿足: 1) , ,)( 1 Ct 2) 在在,上上,)(bta 且且 ;)(,)(ba tfxxf b a dd)( )(t)(t 證證(略略) 因函數(shù)連續(xù)因函數(shù)連續(xù),積分存在積分存在 ,.)()(的原函數(shù)的原函數(shù)：設(shè)設(shè)xfxF 是是 的原函數(shù)的原函數(shù) , 故故 那那 么么 b a xxfd)()()(aFbF )(F )(F tf d )(t)(t F)(tf)(t )(t 那么那么 ,或或 換元公式換元公式 注注 1 1) 換元要換限換元要換限 , 變量不代回變量不代回 . 3 換元公式雙向使用換元公式雙向使用 ： 令令( )x t xxf b a d)( 或配元或

4、配元 f)(t)(dt tfxxf b a dd)( )(t)(t ),(tx ,:bax ,:t 配元不換限配元不換限 tf d )(t)(t tf d )(t)(t 下限對應(yīng)下限下限對應(yīng)下限 . 2 例例1 求求 解解 ,xt 令令 ,d2dttx ;0,0 tx時時且且當(dāng)當(dāng) .3,3 tx時時 tt t t Id2 1 2 , 2 tx 則則 0 3 t t t d 1 11 2 3 02 2 3 0 arctan 2tt 3 2 32 x x x Id 1 3 0 注注(定積分與不定積分換元法的異同定積分與不定積分換元法的異同) （1）(相同處相同處) 換元目的：換元目的： （2）(不

5、同處不同處) 換元要換限 換元要換限 , 變量不代回變量不代回 . 改變被積函數(shù)，以簡化計算改變被積函數(shù)，以簡化計算. 例例2 解解 ；）（ 2 0 3 1 dsincos1 xxxI 2 0 3 1 cosdcos1 xxI）（ xtcos 令令 tt d 3 1 0 4 4 1 0 4 t 2 1 2 d ln1 1 2 e x xx I）（ 2 1 2 1 )ln1d()ln1( e xx 2 1 2 d ln1 1 2 e x xx I）（ 2 1 ln1）（x 2 1 2 1 e )13(2 換元要換限換元要換限 下限對應(yīng)下限下限對應(yīng)下限 用配元法用配元法 不換限不換限 例例3 計算

6、計算 .d 12 2 4 0 x x x 解解 令令,12 xt那么那么,dd, 2 1 2 ttx t x ,0時時當(dāng)當(dāng) x,4時時 x.3 t 原式原式 =tt t t d 2 3 1 2 1 2 ttd)3( 2 1 3 1 2 )3 3 1 ( 2 1 3 tt 1 3 3 22 ;1 t 且且 例例4 則上連續(xù)在設(shè)函數(shù),)(aaxf 證證 ,:)()(偶）偶）（若若fxfxf a a xxfd)( xxf a a d)( .:)()(奇）奇）（若若fxfxf ，0 xxf a d)( 0 xxf a d)( 0 ttf a d)( 0 xxf a d)( 0 xxfxf a d )(

7、)( 0 ,d)(2 0 xxf a 時時)()(xfxf 時時)()(xfxf ,0 偶倍奇零偶倍奇零 tx 令令 a xxf 0 ,d)(2 例例5 證證 2 0 1(sin )d fxx 證明證明 2 0 d)(cos xxf 0 2(sin )d fxx 2 0 d)(sin2 xxf 0 3(sin )d xfxx xxf 0 d)(sin 2 2 0 1(sin )d fxx 2 0 d) 2 cos xx f（ xt 2 0 2 )d)(cos ttf 2 0 d)(cos xxf 0 3(sin )d Ixfxx tx 0 d)sin) ttft（ xxf 0 d)(sin x

8、xxf 0 d)(sin tsin xt換換 （*） （*） 2 0 dsin xx n 2 0 dcos xx n 特例特例 證證 0 2(sin )d fxx （） 2 2 0 (sin )d fxx （ 2 sin)d fxx tx 2 0 (sin )( d ) ftt 2 0 (sin )d fxx 2 0 2(sin )d fxx 另另 0 2(sin )d fxx 2 xt （ 2 2 cos )d ftt 2 0 2(cos )d fxx 2 0 2(sin )d fxx 證明：證明： 0 2(sin )d fxx 2 0 2(sin )d fxx xxf 2 d)(sin其中

9、其中 xxf 0 d)(sin故故 偶偶:f 2 2 )d() 2 cos( tt f 例例6 解解 x x x x I d cos1 1 1 sin 1 2 2 8 1 ）（ 1 I 偶偶 0 2 2 d cos1 1 2 x x 2 2 2 2 2 d cos 1 2 x x 2 0 2 tan2 x 2 x x xx I 02 2 d cos1 sin 2 ）（ x x x 02 d cos1 sin 2 x 0 )arctan(cos 2 4 2 型型屬屬 xxxf 0 d)(sin 奇奇 例例7 證證 x ttfx 0 d)()(ut x uuf 0 )d)( 偶偶:f x uuf

10、0 d)(),(x 為連續(xù)的偶函數(shù)，為連續(xù)的偶函數(shù)，若若)(xf .為為連連續(xù)續(xù)的的奇奇函函數(shù)數(shù) x ttfx 0 d)()(證證明明 .)()(的的連連續(xù)續(xù)性性的的連連續(xù)續(xù)性性易易知知由由xxf ),()(xfxf 又又知知),()(xx 下下證證 .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)故故x 解解 例例8 8).(d|baxx b a 計計算算 時時，當(dāng)當(dāng)0 ba b a xxId)();( 2 1 22 ab ,00時時或或當(dāng)當(dāng)baba b a xxxxI 0 0 dd)( 時時，當(dāng)當(dāng)ba 0 );( 2 1 22 ab b a xxId).( 2 1 22 ab 二、定積分的分部積分法二、定積分的分部

11、積分法 定理定理2 )(, )(xvxu設(shè)設(shè)上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，那么上導(dǎo)數(shù)連續(xù)，那么 )()(d)()(xvxuxxvxu b a a b b a xxuxvd)( )( 證證(略略) )()()()( )()(xvxuxvxuxvxu 由由 )()(xvxu a b xxvxuxxvxu b a b a d)()(d)()( b a xxvxud)()(故故)()(xvxu a b b a xxvxud)()( ,ba在在 b a b a b a uvuvvudd即即 分部積分公式分部積分公式 例例9 ;dsin1 0 1 xxxI ）（ 解解 xxI 0 1 cosd1 ）（ xx 0 cos x

12、x dcos 0 ）（ x 0 sin0 ）（ 1 0 2 d2xeI x ）（ , tx 令令 2 tx 1 0 d2tet t d 2 1 0 1 0 tete tt )1(22 ee2 .d2 1 0 2 xeI x ）（ 例例10 求求 解解xxIarcsin 0 2 1 2 1 0 x x x d 1 2 12 )1(d)1( 2 1 2 0 2 2 1 2 1 xx 12 2 1 )1( 2 x 0 2 1 12 2 3 1 uvd xxIdarcsin 2 1 0 2 0 dcos xx n 例例11 證明證明 2 0 dsin xxI n n 證證 2 0 dcos xx n

13、, 22 1 4 3 2 31 n n n n （n ：正偶數(shù)）：正偶數(shù)） , 3 2 5 4 2 31 n n n n （n ：1的奇數(shù)）的奇數(shù)） 2 0 dsin xx n 已得已得 sincos 1 xx n 0 2 2 0 22 dcossin)1( xxxn n 2 0 dsin xxI n n 2 0 1 )cosdsin xx n （ uvd （*） 2 0 22 dcossin)1( xxxnI n n 2 0 22 d)sin1(sin)1( xxxn n 2 )1( n In n In)1( 遞推公式遞推公式 2 1 n n n n II m I2 m m 2 12 12m

14、 I 12 2 m m 其中其中 0 I 2 0 d x, 2 2 0 dsin xxI n n 2 0 1 dsin xxI 1 0 I 1 I 22 m I 22 32 m m 42 m I 2 1 4 3 12 m I 12 22 m m 32 m I 3 2 5 4 ）（* 例例12 4 0 7 d2sin xxI xt2 令令 2 0 7 dsin 2 1 tt ）（1 3 2 5 4 7 6 2 1 35 8 例13 設(shè),1,0)(連續(xù)連續(xù)在在x f ,3)2(,1)0( ff且且 ,5)2( f求求.d)2( 1 0 xxfx 解解 xxfxd)2( 1 0 )2(d 2 1 1 0 xfx 1 0 )2( 2 1 xf x