第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析(緒論)

1、課程名稱： F數(shù)值分析 F或計(jì)算方法 (考試時(shí)要帶上計(jì)算器(有函數(shù) 的) 第一章第一章 數(shù)值計(jì)算中的誤差分析數(shù)值計(jì)算中的誤差分析 （緒論）（緒論） 內(nèi)容提要內(nèi)容提要 1.1 1.1 計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) 1.2 1.2 誤差與誤差估計(jì)誤差與誤差估計(jì)( (誤差知識(shí)誤差知識(shí)) ) 1.3 1.3 選用算法時(shí)應(yīng)遵循的原則選用算法時(shí)應(yīng)遵循的原則 1.11.1計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn)計(jì)算方法的任務(wù)與特點(diǎn) F科學(xué)與工程計(jì)算過程：科學(xué)與工程計(jì)算過程： F實(shí)際問題實(shí)際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型數(shù)值問題數(shù)值問題算法算法程程 序序調(diào)試調(diào)試結(jié)果結(jié)果 計(jì)算機(jī)用途分類：計(jì)算機(jī)用途分類：科學(xué)計(jì)算、數(shù)據(jù)處理科學(xué)計(jì)

2、算、數(shù)據(jù)處理 計(jì)算方法的特點(diǎn) F嚴(yán)密的科學(xué)性、實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性、高度的嚴(yán)密的科學(xué)性、實(shí)驗(yàn)的技術(shù)性、高度的 抽象性、應(yīng)用的廣泛性、提供算法、算抽象性、應(yīng)用的廣泛性、提供算法、算 法分析、兼顧計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)：有效數(shù)字法分析、兼顧計(jì)算機(jī)的特點(diǎn)：有效數(shù)字 （精度）、運(yùn)算量、存儲(chǔ)量等。（精度）、運(yùn)算量、存儲(chǔ)量等。 第一章第一章 緒論緒論 第二章第二章 線性方程組求解線性方程組求解 第三章第三章 非線性方程求解非線性方程求解 第四章第四章 矩陣特征值問題（不講）矩陣特征值問題（不講） 第五章第五章 函數(shù)的插值函數(shù)的插值 第六章第六章 曲線擬合曲線擬合 第七章第七章 數(shù)值積分和數(shù)值微分?jǐn)?shù)值積分和數(shù)值微分 第八章第

3、八章 常微分方程數(shù)值解法常微分方程數(shù)值解法 本課程主要內(nèi)容本課程主要內(nèi)容 1.2 1.2 誤差知識(shí)誤差知識(shí) （誤差與數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)）（誤差與數(shù)值計(jì)算中的誤差估計(jì)） 內(nèi)容提要：內(nèi)容提要： v誤差的來源及其分類誤差的來源及其分類 v誤差的度量（誤差與有效數(shù)字）誤差的度量（誤差與有效數(shù)字） 1.1.數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì)數(shù)值計(jì)算的誤差估計(jì) 一、誤差來源及其分類一、誤差來源及其分類 1)1)模型誤差（描述誤差）模型誤差（描述誤差） 反映實(shí)際問題有關(guān)量之間的計(jì)算公式（反映實(shí)際問題有關(guān)量之間的計(jì)算公式（ 數(shù)學(xué)模型）通常是近似的。數(shù)學(xué)模型）通常是近似的。 2 2）觀測(cè)誤差）觀測(cè)誤差 3 3）截?cái)嗾`差（方法

4、誤差）截?cái)嗾`差（方法誤差） 數(shù)值方法精確解與待求解模型的理論分?jǐn)?shù)值方法精確解與待求解模型的理論分 析解之間的差異。析解之間的差異。 這是由于我們需要將無窮過程截?cái)酁橛羞@是由于我們需要將無窮過程截?cái)酁橛?限過程，而使得算法必須在有限步內(nèi)執(zhí)行結(jié)限過程，而使得算法必須在有限步內(nèi)執(zhí)行結(jié) 束而導(dǎo)致的。束而導(dǎo)致的。 n eeee, !n 1 !2 1 ! 1 1 1, !2 1 ! 1 1 1 n 例如：例如： 4 4）舍入誤差）舍入誤差 以四舍五入為例（也可以五舍六入等） 最多舍去或添加最后一位的半個(gè)單位。 注意：與截?cái)嗾`差不同！ 二、誤差的度量二、誤差的度量 v絕對(duì)誤差 v相對(duì)誤差 v有效數(shù)字 v度量

5、間的關(guān)系 1. 絕對(duì)誤差 F絕對(duì)誤差定義：準(zhǔn)確值絕對(duì)誤差定義：準(zhǔn)確值 x 減近似值減近似值 x* )( * xExx 絕對(duì)誤差限：絕對(duì)誤差限： 書上有錯(cuò)！改正 2.相對(duì)誤差 絕對(duì)誤差限雖然能夠刻劃對(duì)同一真值不同近似絕對(duì)誤差限雖然能夠刻劃對(duì)同一真值不同近似 的好壞，但它不能刻劃對(duì)不同真值近似程度的好的好壞，但它不能刻劃對(duì)不同真值近似程度的好 壞壞 。 有效數(shù)：當(dāng)有效數(shù)：當(dāng)x*為為四舍五入得到的近似數(shù)，四舍五入得到的近似數(shù)， 則稱則稱x*為有效數(shù)。為有效數(shù)。有效數(shù)的絕對(duì)誤差限、 相對(duì)誤差限，有效數(shù)字位數(shù)舉例： 例若有效數(shù)x*=1.02,則絕對(duì)誤差限： (x*)=0.005相 對(duì)誤差限： (x*)=

6、 (x*)/| x*|= 0.0049， x*具有3位有效數(shù)字. 若有效數(shù)x*= 2500，則絕對(duì)誤差限 (x*)=0.5 ，相對(duì)誤差限 (x*)= (x*)/| x*|= 0.0002 x*具有4位有效數(shù)字. F若有效數(shù)x*= 25102，則 (x*)=50 ， (x*)= (x*)/| x*|= 0.02，x*具有2位有效 數(shù)字. 注意：有效數(shù) 2500=25.00102但與 25102的誤差不同；當(dāng)然與一個(gè)準(zhǔn)確數(shù) 2500也不同。 關(guān)于某一位的半個(gè)單位關(guān)于某一位的半個(gè)單位 3.3.有效數(shù)字（教材第有效數(shù)字（教材第6 6頁中間）：頁中間）： F若近似數(shù)若近似數(shù)x x* *的絕對(duì)誤差限是（不

7、超過）的絕對(duì)誤差限是（不超過） 某一位的半個(gè)單位，則稱其精確到這一某一位的半個(gè)單位，則稱其精確到這一 位，且從該位到位，且從該位到x x* *的第一位非零數(shù)字共的第一位非零數(shù)字共 有有n n位，則稱近似數(shù)位，則稱近似數(shù)x x* *具有具有n n位有效數(shù)字位有效數(shù)字. F（黑板舉例） 分兩種情況：有效數(shù)的有效數(shù)字位數(shù)。 若既知道x*（非有效數(shù)），又知道x時(shí)， 如何求有效數(shù)字位數(shù)？見下例： F舉例：舉例：x=3.1415926,x=3.1415926, F近似數(shù)近似數(shù) x x1 1* *=3.14102, x=3.14102, x2 2* *=3.142=3.142 2* 1 10 2 1 005

8、. 000057. 0 xx 3* 2 10 2 1 0005. 000040. 0 xx 3 3位有效數(shù)字，非有效數(shù)！位有效數(shù)字，非有效數(shù)！ 4 4位有效數(shù)字，有效數(shù)位有效數(shù)字，有效數(shù) 注意：一個(gè)有效數(shù)，若知道對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)確數(shù)，此時(shí)所求 誤差限可能不同。而有效數(shù)字位數(shù)怎樣求都一樣。 數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式 FRemark1Remark1: : 有效數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半，有效數(shù)的誤差限是末位數(shù)單位的一半， 可見有效數(shù)本身就體現(xiàn)了誤差界?？梢娪行?shù)本身就體現(xiàn)了誤差界。 FRemark2Remark2: : 對(duì)真值進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。對(duì)真值進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。 FRemark3Remark3:

9、:準(zhǔn)確數(shù)字有無窮多位有效數(shù)字。準(zhǔn)確數(shù)字有無窮多位有效數(shù)字。 FRemark4Remark4: : 從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的近似數(shù)（最后一為是從實(shí)驗(yàn)儀器所讀的近似數(shù)（最后一為是 估計(jì)位）不是有效數(shù)，估計(jì)最后一位是為了確保對(duì)估計(jì)位）不是有效數(shù)，估計(jì)最后一位是為了確保對(duì) 最后一位進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。最后一位進(jìn)行四舍五入得到有效數(shù)。 例例 從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù)從最小刻度為厘米的標(biāo)尺讀得的數(shù)據(jù) 123.4cm123.4cm是為了得到有效數(shù)是為了得到有效數(shù)123.cm,123.cm,讀得數(shù)據(jù)讀得數(shù)據(jù) 156.7cm156.7cm是為了得到有效數(shù)是為了得到有效數(shù)157.cm157.cm。 4.4.誤

10、差度量間的聯(lián)系誤差度量間的聯(lián)系 F絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差 nm xE 10)( 2 1 * F絕對(duì)誤差與有效數(shù)字（教材第絕對(duì)誤差與有效數(shù)字（教材第7頁頁1.2.2式）式） F相對(duì)誤差與有效數(shù)字（相對(duì)誤差與有效數(shù)字（教材教材第第8頁頁1.2.3式）式） )(/ )( * xExxE r 定理證明 o 1 o 2 證畢 ,10) 1(10 1 1 *1 1 mm x nm xE 10 2 1 )( * Remark F1 1、該定理實(shí)質(zhì)上給出了一種求相對(duì)誤差限的方法。、該定理實(shí)質(zhì)上給出了一種求相對(duì)誤差限的方法。 F2 2、僅從、僅從 并不能保證并不能保證x x* *一定具有一定具有n

11、 n 位有效數(shù)字。如位有效數(shù)字。如 設(shè)其近似值設(shè)其近似值a=0.484a=0.484，其相對(duì)誤差為：，其相對(duì)誤差為： 我們并不能由此斷定我們并不能由此斷定a a有兩位有效數(shù)字，因?yàn)橛袃晌挥行?shù)字，因?yàn)?n r xE 1 1 10 2 1 *）（ 4900. 00229sin A 21 10 42 1 0125.0012397.0 484.0 484.04900.0 20 10 2 1 005.00600.0484.04900.0 aA 例題例題 解：解： 令 01.010 4 1 n1 ， 解得 2.4n . 取 n=3 位有效數(shù)字。 # 三、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì)三、數(shù)值運(yùn)算的誤差估計(jì) F由于自

12、變量的誤差，引起函數(shù)值的誤差。也 稱為誤差傳播。這種函數(shù)值的誤差往往很難 精確描述，只能大體估計(jì)。 F例如一元函數(shù)，二元函數(shù)，等。 y*的絕對(duì)誤差E(y*)= y-y*,相對(duì)誤差Er(y*)=( y-y*)/y*, 復(fù)習(xí)泰勒公式復(fù)習(xí)泰勒公式 )( )( )( )( ! 1 1 )()( * * * 11 1 * * nn n xx x pf xx x pf pfpf 2* *2 * 11 * 1 *2 * 22 2 *2 * 11 * 22 12 *2 * 11 1 *2 2* 11 11 *2 )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( ! 2 1 nn nn n

13、n n nn n nn n xx xx pf xxxx xx pf xxxx xx pf xxxx xx pf xxxx xx pf xx xx pf 泰勒公式分析初值誤差傳播泰勒公式分析初值誤差傳播 相對(duì)誤差（教材第相對(duì)誤差（教材第9頁頁1.2.6式）：式）： 進(jìn)而得到如下絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限傳播關(guān)系：進(jìn)而得到如下絕對(duì)誤差限和相對(duì)誤差限傳播關(guān)系： 例題：參見教材第例題：參見教材第10頁例頁例3 求導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)： 基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)； 四則運(yùn)算的導(dǎo)數(shù)； 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)。 v選用數(shù)值穩(wěn)定性好的算法。 v定義定義：一個(gè)算法：一個(gè)算法, , 如果在運(yùn)算過程中舍入誤差如果在運(yùn)算過程中舍入誤差 在一定條件下

14、能夠得到控制在一定條件下能夠得到控制, , 或者舍入誤差的或者舍入誤差的 增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果增長(zhǎng)不影響產(chǎn)生可靠的結(jié)果, , 則稱該算法是數(shù)則稱該算法是數(shù) 值穩(wěn)定的值穩(wěn)定的, , 否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定否則稱其為數(shù)值不穩(wěn)定. . dx x x I n n 1 0 5 v例：計(jì)算如下積分近似值的兩種方案比較 ),(215 1 1 nI n I nn 方法方法1： 1823. 0 5 6 ln 5 1 1 0 0 dx x I 1.3 選用算法應(yīng)遵循的原則 方法方法1 1計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果 方法一結(jié)果分析方法一結(jié)果分析 n方法一分析：計(jì)算結(jié)果表明方法一分析：計(jì)算結(jié)果表明, , 舍入誤差的傳播近舍入

15、誤差的傳播近 似依似依5 5的冪次進(jìn)行增長(zhǎng)的冪次進(jìn)行增長(zhǎng), , 因而是一種不穩(wěn)定的方因而是一種不穩(wěn)定的方 法。法。 方法二：方法二： 由此分析知，該方法是穩(wěn)定的。關(guān)于初值的由此分析知，該方法是穩(wěn)定的。關(guān)于初值的 近似可由下面式子得到：近似可由下面式子得到： ) 1(5 1 56) 1(6 1 1 0 1 0 n dx x Idx x n n n n 1 5 1 nn I n I * 1 * 5 1 nn I n I 02 2 1 555EEEE n nnn 55 1 1 n n I n I 55 1 * * 1 n n I n I nn EE 5 1 1 方法方法2 2計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果 016

16、70 66 1 55 1 2 1 10 . * I v簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少運(yùn)算次數(shù)。簡(jiǎn)化計(jì)算步驟以減少運(yùn)算次數(shù)。 842 84228448816 3*3*3*3*3 3*3*3*33*3*33*33 例例1 1 例2 秦九韶算法 01 2 2 3 3 4 4 axaxaxaxa 01234 )( ( (axaxaxaxa ) 10(987654321 1000000 1 k k k 例 v盡量避免相近的數(shù)相減盡量避免相近的數(shù)相減 例例 x=52.127 xx=52.127 x* *=52.129 =52.129 五位有效數(shù)字五位有效數(shù)字 y=52.123 yy=52.123 y* *=52.12

17、1 =52.121 五位有效數(shù)字五位有效數(shù)字 A=x-y=0.004 AA=x-y=0.004 A* *=x=x* *-y-y* *=0.008 =0.008 零位有效數(shù)字零位有效數(shù)字 結(jié)論：避免相近數(shù)相減 v合理安排量級(jí)相差很大的數(shù)之間的運(yùn)算合理安排量級(jí)相差很大的數(shù)之間的運(yùn)算 次序次序, , 盡可能避免大數(shù)盡可能避免大數(shù)“吃掉吃掉”小數(shù)。小數(shù)。 )(1 1 1 11 xxxx x x xx 1 lnln) 1ln( 一些避免相近數(shù)相減示例一些避免相近數(shù)相減示例 當(dāng)當(dāng)|x|1|x|1時(shí)時(shí) xx xx 1 1 1 )1ln()1ln( 22 xxxx 當(dāng)當(dāng)|x|1|x|1時(shí)時(shí) 2 2 2 11 11 x x x 53 arctan 53 xx xx !5!3 sin 53 xx xx v盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，防盡可能避免絕對(duì)值很小的數(shù)做分母，防 止出現(xiàn)溢出。止出現(xiàn)溢出。 當(dāng)當(dāng)a,ba,b中有近似值時(shí)，由中有近似值時(shí)，由 )0( )()( )( 2 b b aebbea b a e 若 ，則 可能很大。當(dāng)a,b都是準(zhǔn)確 值時(shí)，由于 很大，會(huì)使其它較小的數(shù)加不到 中而引起嚴(yán)重誤差，或者會(huì)發(fā)生計(jì)算機(jī)“溢 出”，導(dǎo)致計(jì)算無