2.17洛必達法則ppt課件

1、上頁上頁下頁下頁返回返回 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 三、可化為三、可化為 或或 型未定式的極限型未定式的極限 0 0 0 0 一、一、 型未定式的極限型未定式的極限 二、二、 型未定式的極限型未定式的極限 洛必達洛必達 (LHospital) 法國數(shù)學家法國數(shù)學家(1661-1705) 上頁上頁下頁下頁返回返回 0 0 一、一、 型未定式的極限型未定式的極限 那么極限那么極限 定義定義1兩個函數(shù)兩個函數(shù) f (x)與與g(x)都趨于零或趨于無窮大都趨于零或趨于無窮大, （或（或 ） x xx0如果當如果當時，時， xx x f x g x0 () ( ) lim ( ) 可能存在也

2、可能不存在，這種極限可能存在也可能不存在，這種極限 0 0 型未定式型未定式.或或稱為稱為 未定式的極限不能用極限的四則運算法則求未定式的極限不能用極限的四則運算法則求. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 問題問題 怎樣求未定式的極限？怎樣求未定式的極限？ xx x fx g x0 () ( ) lim ( ) xx x f x g x0 () ( ) lim ( ) 洛必達法則的主要思想洛必達法則的主要思想 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 xxxx f xg x 00 (1)lim( )0,lim( )0; xx f x g x0

3、 ( ) lim ( ) xx fx g x0 ( ) lim. ( ) 定理定理1 0 0 （ 型洛必達法則）型洛必達法則） 設(shè)設(shè) )可除外可除外 處處點點的鄰域內(nèi)可導的鄰域內(nèi)可導在點在點x0 x0 xgxf( ,)(),()2( g x( )0; ，且，且 那么那么 xx fx g x0 ( ) (3) lim ( ) 存在或無窮大）；存在或無窮大）； 這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求 極限來確定未定式極限的方法稱為洛必達法則極限來確定未定式極限的方法稱為洛必達法則. . 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 證證補

4、充定義補充定義f xg x 00 ()()0, f g ( ) ( ) xxx f xf g xg 00 ( )( ) limlim ( )( ) xx f xf x 0 0 lim( )(), xx g xg x 0 0 lim( )(), 那那 么么 在以在以 為端點的閉區(qū)間上，為端點的閉區(qū)間上， x x 0, 滿足柯西中值定理的條件，滿足柯西中值定理的條件，f xg x( ), ( ) )(之間之間與與在在xox 當當 時，時，xx0 x 0, xx fx g x0 ( ) lim. ( ) 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 0 0 xgxg xfxf xg xf 上頁上頁下頁下頁返

5、回返回 xxxxxx f xfxfx g xg xgx000 ( )( )( ) limlimlim ( )( )( ) 如果當如果當 時，時，xx0 xx fx g x0 ( ) lim ( ) 仍然是仍然是 型，型， 0 0 使用洛必達法則，即使用洛必達法則，即 且且 滿足定理的條件，滿足定理的條件，fx g x( ),( ) 則可以繼續(xù)則可以繼續(xù) . 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例1求求 x x ex x 0 1sin lim. 1cos 解解 x x ex x 0 1sin lim 1cos x x ex x 0 cos lim sin x x e

6、x x 0 sin lim cos 1. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例2求求 x xx xx 2 0 tan lim. tan 解解 x x x 2 2 0 sec1 lim 3 x x x 2 2 0 tan lim 3 x x x 2 2 0 1 lim. 33 x xx x 3 0 tan lim 原式原式 每用完一次洛必達法則每用完一次洛必達法則,要將式子整理化簡要將式子整理化簡; 將洛必達法則與等價無窮小代換及極限將洛必達法則與等價無窮小代換及極限 的其它性質(zhì)結(jié)合使用的其它性質(zhì)結(jié)合使用. 注注 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁

7、下頁返回返回 xx f xg x(1)lim( )0,lim ( )0; x f x g x ( ) lim ( ) x fx g x ( ) lim. ( ) 定理定理2 0 0 （ 型洛必達法則）型洛必達法則） 設(shè)設(shè) 那么那么 x fx g x ( ) (3) lim ( ) 存在或無窮大）；存在或無窮大）； g x( )0; 且且 (2) 當當 時，時，xN fxg x( ),( ) 都存在，都存在， 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例3 求求 x x x arctan 2 lim 1 ln(1) 解解 x x x arctan 2 lim 1 x x

8、x 2 2 1 1 lim 1 x x x 2 2 lim 1 1. 原式原式 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 二、二、 型未定式的極限型未定式的極限 xxxx f xg x 00 (1)lim( ),lim ( ); xx f x g x0 ( ) lim ( ) xx fx g x0 ( ) lim. ( ) 定理定理3 （ 型洛必達法則）型洛必達法則） 設(shè)設(shè) )可除外可除外 處處點點的鄰域內(nèi)可導的鄰域內(nèi)可導在點在點x0 x0 xgxf( ,)(),()2( g x( )0; ，且，且 那么那么 xx fx g x0 ( ) (3) lim ( ) 存在或無

9、窮大）；存在或無窮大）； 此定理對此定理對x 也成立也成立. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例4求求 x ax bx 0 lnsin lim. lnsin 解解 原式原式 xx aaxbx bbxax 00 cossin limlim cossin a b b a 1 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 bx bxb ax axa x sin cos sin cos lim 0 bxa axb b a x cos cos lim 0 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例5 解解 . 3tan tan lim 2 x x x 求求 xx xx x 3sincos

10、3cossin lim 2 原原式式 x x x sin 3sin3 lim 2 . 3 x x x cos 3cos lim 2 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例6求求 a x x a x ln lim(0). 解解 a x a x x x x ax 1 ln lim 1 lim a x ax 1 lim0. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 三、可化為三、可化為 或或 型未定式的極限型未定式的極限 0 0 其它類型未定式通過適當?shù)拇鷶?shù)變形可化為其它類型未定式通過適當?shù)拇鷶?shù)變形可化為 . 洛必達法則解決的類型洛必達法則解決的類

11、型 或或 0 0 0 1 或或 0 0 0 0 1 0 1. 0型型 或或 型型 00 00 0 1 0 1 0 0 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例8 解解 求求 x x xe 0 11 lim. 1 x x x ex x e 0 1 lim (1) 原式原式 x xx x e exe 0 1 lim 1 x xxx x e eexe 0 lim 1 . 2 例例7求求 x xx 3 0 limln . 解解 原式原式 x x x 3 0 ln lim x x x 1 4 0 lim 3 x x 3 0 lim 3 0. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法

12、則 上頁上頁下頁下頁返回返回 00 2.0 ,1 或或 型型 方法：先通過取對數(shù)把指數(shù)部分化為方法：先通過取對數(shù)把指數(shù)部分化為0 00 0 1 0 0ln0 e 1ln e 例例9 解解 .lim 0 x x x 求求 原式原式 e e 0 e . 1 e e xxln xx x lnlim 0 x x x 1 ln lim 0 0 lim x 0 0 ln0 e x x x 1 2 0 lim . 洛必達法則解決的類型洛必達法則解決的類型 或或 0 0 化為化為從而從而 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 ， 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例10 求求 x x x x 2 1 0 tan l

13、im. 解解 x x x x x x x x e e 1 2 2 tan ln 0 1tan ln 0 lim lim x x x x e 2 0 1tan limln xx xxx xxx 22 00 1tanlntanln limlnlim x x xx x 2 0 sec1 tan lim 2 x xxx xxx 2 0 sin cos lim 2sin cos 而而 原式原式 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 x xxx x 3 0 sincos lim 2 x x x 2 0 1cos2 lim 6 x x x 2 2 0 2sin lim 6 2.7

14、2.7 洛必達法則洛必達法則 2 0 sin lim 3 1 x x x , 3 1 . 3 1 e 故原式故原式 上頁上頁下頁下頁返回返回 例例11 解：錯誤做法解：錯誤做法 x x x 1cos lim 1cos 原原式式 洛必達法則失效洛必達法則失效. x x x x x sin 1 lim sin 1 原原式式 . 1 用洛必達則求極限需特別注意：用洛必達則求極限需特別注意： (1)當導數(shù)比的極限不存在且不趨于當導數(shù)比的極限不存在且不趨于時時,不能用洛不能用洛 必達法則，但此時函數(shù)比的極限有可能存在必達法則，但此時函數(shù)比的極限有可能存在. x xx xx sin lim. sin 求求

15、 極限不存在，極限不存在， x x x sin lim0 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 正確做法正確做法 上頁上頁下頁下頁返回返回 （2使用洛必達法則可能永遠得不到結(jié)果使用洛必達法則可能永遠得不到結(jié)果! 需改用其他方法求極限需改用其他方法求極限. 如如 x x x 2 1 lim 1 12 2 lim 2 x x x 2 1 lim x x x 2 1 1 lim x xx x x x 2 1 lim 事實上事實上: 很少見！很少見！ x x 2 11 lim 1 x x x 2 1 lim 1. 2.7 2.7 洛必達法則洛必達法則 上頁上頁下頁下頁返回返回 型型 00 ,1 ,0 ,型型 型型 0 , 0 0 型型型型 1. 2. 3. 三大類未定式 三大類未定式 綜合運用學過的各種方法求極限綜合運用學過的各種方法求極限: 常用洛必達法則、等價無窮小代換常用洛必達法則、等價無窮小代換. 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié) 2.