2.1中值定理ppt課件

1、第三章第三章 微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 1 1 微分中值定理微分中值定理 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理 第一節(jié) 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 微分中值定理 費馬費馬(fermat)引理引理 一、羅爾一、羅爾( Rolle )定理定理 ,)( 0 有定義在x 且 )( 0 x f 存在 , )()( 0 xfxf )(或 0)( 0 x f 證證: 設(shè)設(shè), )()(, )( 0000 xfxxfxxx 那么)( 0 x f x xfxxf x )()( lim 00 0 )0( x)( 0 xf

2、)0( x)( 0 xf 0 0 0)( 0 x f x y o 0 x )(xfy 羅爾（羅爾（ Rolle ）定理）定理 )(xfy 滿足: (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù) (2) 在區(qū)間 (a , b) 內(nèi)可導(dǎo) (3) f ( a ) = f ( b ) ,使. 0)(f x y o a b )(xfy 證證:，上連續(xù)在因,)(baxf故在 a , b 上取得最大值 M 和最小值 m . 假設(shè) M = m , 那么 , ,)(baxMxf 因而 .0)(, ),(fba 在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點 假設(shè) M m , 那么 M 和 m 中至少有一個與端點值 不等, 不妨設(shè) ,

3、 )(afM 則至少存在一點, ),(ba 使 ,)(Mf. 0)(f 注意注意: 1) 定理條件條件不全具備, 結(jié)論不一定成立. 例如, 1,0 10, )( x xx xf x1 y o 則由費馬引理得 1 , 1 )( x xxf 1 ,0 )( x xxf x 1 y o1 x 1 y o 使 2) 定理條件只是充分的. 本定理可推廣為 )(xfy 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且 )(limxf ax )(limxf bx 在( a , b ) 內(nèi)至少存在一點,. 0)(f 證明提示證明提示: 設(shè)設(shè) 證 F(x) 在 a , b 上滿足羅爾定理 . )(xF axaf , )(

4、bxaxf, )( bxbf , )( 例例1. 證明方程證明方程015 5 xx , 15)( 5 xxxf . 3) 1 (, 1)0(ff , 0)( 0 xf , ) 1,0( 011 xxx ) 1(5)( 4 xxf),1,0(, 0 x 有且僅有一個小于1 的 正實根 . 證證: 1) 存在性存在性 . 那 么 )(xf在 0 , 1 連續(xù) , 且 由介值定理知存在, ) 1 ,0( 0 x使 即方程有小于 1 的正根. 0 x 2) 唯一性 . 假設(shè)另有 , 0)( 1 xf使 在以)(xf 10 , xx 為端點的區(qū)間滿足羅爾定理條件 , 之間在 10 , xx 至少存在一點

5、, . 0)(f使 但矛盾, 故假設(shè)不真! 設(shè) 二、拉格朗日中值定理二、拉格朗日中值定理 )( (1) 在區(qū)間 a , b 上連續(xù) )(xfy 滿足: (2) 在區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) 至少存在一點, ),(ba使. )()( )( ab afbf f x y o a b )(xfy 思路思路: 利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù)利用逆向思維找出一個滿足羅爾定理條件的函數(shù) 作輔助函數(shù) 顯然 ,)(x在 a , b 上連續(xù) , 在 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo), 且 證證: 問題轉(zhuǎn)化為證 )(x)(xfx ab afbf )()( )(a由羅爾定理知至少存在一點 , ),(ba,

6、0)(使即定理結(jié)論成立 . , )(b ab bfaafb )()( 0 )()( )( ab afbf f 拉格朗日中值定理的有限增量形式: 推論推論: 若函數(shù)在區(qū)間 I 上滿足,0)( x f 那 么 )(xf 在 I 上必為常數(shù). )(xf 證證: 在在 I 上任取兩點上任取兩點, )(, 2121 xxxx上用拉在, 21 xx 日中值公式 , 得 0)()( 12 xfxf)( 12 xxf)( 21 xx )()( 12 xfxf 由 的任意性知, 21 ,xx)(xf在 I 上為常數(shù) . ) 10()( 0 xxxfy , 00 xxbxa令那 么 例例2. 證明等式證明等式 .

7、 1, 1, 2 arccosarcsinxxx 證證: 設(shè)設(shè),arccosarcsin)(xxxf上則在) 1, 1( )(xf 由推論可知 Cxxxfarccosarcsin)( (常數(shù)) 令 x = 0 , 得. 2 C 又 , 2 ) 1( f故所證等式在定義域 上成立. 1, 1 自證自證:),(x, 2 cotarcarctan xx 2 1 1 x 2 1 1 x 0 經(jīng)歷經(jīng)歷: 欲證Ix時 ,)( 0 Cxf只需證在 I 上, 0)( x f , 0 Ix 且.)( 00 Cxf使 例例3. 證明不等式證明不等式 證證: 設(shè)設(shè), )1ln()(ttf上滿足拉格朗日在則,0)(x

8、tf 中值定理條件, 即 因為 故 . )0()1ln( 1 xxx x x )0()(fxf )1ln(xx x 0, 1 1 x x x 1 x )0()1ln( 1 xxx x x xxf0, )0)( 因此應(yīng)有 三、柯西三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理 0)()( )()( )()( fF aFbF afbf )( 分析分析: )(xf及 (1) 在閉區(qū)間 a , b 上連續(xù) (2) 在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi)可導(dǎo) (3)在開區(qū)間 ( a , b ) 內(nèi) 至少存在一點, ),(ba使. )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 滿足 :)(xF 0)(

9、x F )()(aFbF)(abFba0 要證 )()( )()( )()( )(xfxF aFbF afbf x 證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù) )()( )()( )()( )(xfxF aFbF afbf x )( )()( )()()()( )(b aFbF bFafaFbf a ,),(,)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在則babax 且 , ),(ba使, 0)(即由羅爾定理知, 至少存在一點 . )( )( )()( )()( F f aFbF afbf 考慮考慮: 柯西定理的下述證法對嗎柯西定理的下述證法對嗎 ? ),(, )()()(baabfafbf ),(, )()()(baabFaFb

10、F 兩個 不 一定相同 錯錯! !上面兩式相比即得結(jié)論. 柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義: )( )( )()( )()( F f aFbF afbf )(F)(aF )( )( tfy tFx )(af )(bF )(bf )( )( d d tF tf x y 注意: x y o 弦的斜率切線斜率 )0() 1 (ff )0() 1 (FF 例例4. 設(shè)設(shè) ).0() 1 (2)(fff 2 )( 01 )0() 1 (fff x x xf )( )( 2 ,)( 2 xxF ,) 1 ,0(, 1 ,0)(內(nèi)可導(dǎo)在上連續(xù)在xf 至少存在一點 ),1,0( 使 證證: 結(jié)論可變形為結(jié)

11、論可變形為 設(shè)那么)(, )(xFxf在 0, 1 上滿足柯西中值 定理條件, 因此在 ( 0 , 1 ) 內(nèi)至少存在一點 ,使 )( f )( F 012 即)0() 1 (2)(fff 證明 1 1 lncos 1lnln 1lnsinlnsin e e ), 1(, )( )( ) 1 ()( ) 1 ()( e F f FeF fef 例例5. 試證至少存在一點試證至少存在一點), 1(e使.lncos1sin lncos1sin 證證: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 . xxFxxfln)(,lnsin)( 那么 f (x) , F(x) 在 1 , e 上滿足柯西中值定理條 件, 令 因而 1 1 lncos lncos1