淺談“規(guī)律探究型問題”

1、淺談“規(guī)律探究型問題”“規(guī)律探究型問題”根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和認(rèn)知特點(diǎn)，分別從直觀形象和抽象符號(hào)上進(jìn)行規(guī)律探索，突出數(shù)學(xué)的生活化，給學(xué)生提供更多機(jī)會(huì)體驗(yàn)學(xué)習(xí)和探索的“過程”與“經(jīng)歷”，使之擁有一定的問題解決、課題研究、社會(huì)調(diào)查的經(jīng)驗(yàn)，使學(xué)生經(jīng)歷探索事物間的數(shù)量關(guān)系并用字母和代數(shù)式表示的過程，建立初步的符號(hào)感，發(fā)展抽象思維，進(jìn)一步使學(xué)生體會(huì)到代數(shù)式是刻畫現(xiàn)實(shí)世界的有效數(shù)學(xué)模型。現(xiàn)就規(guī)律探究的幾個(gè)例子，來探討一下這類專題：一、規(guī)律探索型問題的分類：1、數(shù)式規(guī)律通常給定一些數(shù)字、代數(shù)式、等式或不等式，然后猜想其中蘊(yùn)含的規(guī)律，反映了由特殊到一般的數(shù)學(xué)方法，考查了學(xué)生的分析、歸納、抽象、概括能力。一般

2、解法是先寫出數(shù)式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比（比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系）或縱比（比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系）找出各部分的特征，改寫成要求的格式。如：1、有一串單項(xiàng)式：a，2a2，3a3，4a4，19a19，20a20，那么第n個(gè)單項(xiàng)式是 。2、爭當(dāng)小高斯：高斯在10歲的時(shí)候，曾計(jì)算出1+2+3+4+100=_；還有另外一種解法：設(shè)s= 1+2+3+99+100，那么也可以寫成 s=100+99+98+97+2+1，把這兩個(gè)等式左右兩邊分別相加，可以得到2s= （1+100）+（2+99）+（3+97）+ +（99+2） +（100+1），2s=100101，由此，猜想前n個(gè)自然數(shù)和：

3、1+2+3+4+n=_，前n個(gè)偶數(shù)和：2+4+6+8+2n=_，前n個(gè)奇數(shù)和：1+3+5+7+ 9+ (2n-1) =_.猜想歸納是解決這類問題的有效方法，通過對(duì)已給出的材料和信息對(duì)研究的對(duì)象進(jìn)行觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納和分析綜合，作出符合一定規(guī)律與事實(shí)的推測性想象，從而發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律.它是發(fā)現(xiàn)和認(rèn)識(shí)規(guī)律的重要手段.平時(shí)的教學(xué)不能局限于課本，可以設(shè)計(jì)一些猜想性、類比性的活動(dòng)，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)觀察、試驗(yàn)等活動(dòng)過程，在活動(dòng)中通過對(duì)大量特殊情形的觀察猜想出一般情形的結(jié)論，從而探索事物的內(nèi)在規(guī)律.2、圖形規(guī)律根據(jù)一組相關(guān)圖形的變化規(guī)律，從中總結(jié)圖形變化所反映的規(guī)律。解決這類圖形規(guī)律問題的方法有兩種，一種是數(shù)

4、圖形，將圖形轉(zhuǎn)化成數(shù)字規(guī)律，再用數(shù)字規(guī)律的解決問題，一種是通過圖形的直觀性，從圖形中直接尋找規(guī)律。如：下圖是某同學(xué)在沙灘上用石子擺成的小房子觀察圖形的變化規(guī)律，寫出第n個(gè)小房子用了_塊石子。圖案、圖表具有直觀、形象、簡明，包含的信息量多等特點(diǎn)，解決此類問題需要把“形”轉(zhuǎn)化為“數(shù)”，考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。二、規(guī)律探索型問題常用解法1、抓住條件中的變與不變找數(shù)學(xué)規(guī)律的題目，都會(huì)涉及到一個(gè)或者幾個(gè)變化的量.所謂找規(guī)律，多數(shù)情況下，是指變量的變化規(guī)律.所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關(guān)鍵.而這些變量通常按照一定的順序給出，揭示的規(guī)律，常常包含著事物的序列號(hào).如：一組按規(guī)律排列的式子：，（

5、），其中第7個(gè)式子是 ，第個(gè)式子是 （為正整數(shù)）分子和分母的底數(shù)沒變，變化的是符號(hào)及它們的指數(shù)，再把變量和序列號(hào)放在一起加以比較，就很容易發(fā)現(xiàn)其中的奧秘。2、化繁為簡，形轉(zhuǎn)化為數(shù)有些題目看上去很大、圖形很復(fù)雜，實(shí)際上，關(guān)鍵性的內(nèi)容并不多.對(duì)題目做一番認(rèn)真地分析，去粗取精，取偽存真，把其中主要的、關(guān)鍵的內(nèi)容抽出來，題目的難度就會(huì)大幅度降低，問題也就容易解決了.如：將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放：第1個(gè)圖形有6個(gè)小圓，第2個(gè)圖形有10個(gè)小圓，第3個(gè)圖形有16個(gè)小圓，第4個(gè)圖形有24個(gè)小圓，依次規(guī)律，第6個(gè)圖形有 個(gè)小圓第1個(gè)圖形第2個(gè)圖形第3個(gè)圖形第4個(gè)圖形通過比較，可以發(fā)現(xiàn)事物的相同點(diǎn)

6、和不同點(diǎn)，更容易找到事物的變化規(guī)律.3、尋找事物的循環(huán)節(jié)有些題目包含著事物循環(huán)規(guī)律，找到了事物的循環(huán)規(guī)律，其他問題就可以迎刃而解. 如：把一張紙片剪成4塊，再從所得的紙片中任取若干塊，每塊又剪成4塊，像這樣依次地進(jìn)行下去，到剪完某一次為止。那么2007，2008，2009，2010這四個(gè)數(shù)中_可能是剪出的紙片數(shù)有些題目，雖然形式發(fā)生了變化，但是本質(zhì)并沒有改變.我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質(zhì)規(guī)律.三、規(guī)律探索型問題常見的結(jié)論：1、乘方型：如：一張白紙引發(fā)的規(guī)律：將一張長方形的紙對(duì)折，可得到兩層。繼續(xù)對(duì)折，對(duì)折時(shí)每次折痕與上次的折痕保持平行，1、連續(xù)

7、對(duì)折n次后，可以得到幾層?2、連續(xù)對(duì)折n次后，可以得到幾條折痕?3、若這張白紙的面積為1，連續(xù)對(duì)折n次后單層面積是多少？另如：拉面問題：將一團(tuán)拉面拉一次，再捏合一次，再拉第二次，又捏合一次，如此重復(fù)下去，第n次捏合后，有多少根拉面？這類問題的關(guān)鍵在于觀察數(shù)的特征：將“數(shù)”進(jìn)行比較，一定會(huì)發(fā)現(xiàn)“數(shù)”與“數(shù)”間的聯(lián)系。 2、等比型：這類題型最簡單，通過觀察、比較，學(xué)生能很容易解決。如：觀察下列圖形，則第個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)是_第1個(gè)第2個(gè)第3個(gè)3、等差型：這些題型在數(shù)學(xué)中應(yīng)用最廣，題型最多。例如：火柴棍引發(fā)若干的規(guī)律三角形個(gè)數(shù)12345n火柴棍根數(shù)3當(dāng)數(shù)學(xué)問題所反映的數(shù)列的差值均為整數(shù)k時(shí)，其通式

8、就與整數(shù)k的倍數(shù)有關(guān)，結(jié)果一定是（kn常數(shù)）的形式（n為自然數(shù)），將k代入特例中驗(yàn)證即可輕易得到通式，這種方法簡便易行，熟練后可口頭作出答解。4、差值呈自然數(shù)增長型這類通式往往與前n個(gè)自然數(shù)的和、前n個(gè)奇數(shù)和或前n個(gè)偶數(shù)和有關(guān)。這類習(xí)題有許多實(shí)例：一條直線上有2個(gè)點(diǎn)，則有1條線段；如有3個(gè)點(diǎn)，則有2+1條線段；有4個(gè)點(diǎn)，則有3+2+1條線段；依次類推：有n個(gè)已知點(diǎn)，則有線段（n-1）+（n-2）+3+2+1條線段，即有（n-1+1）(n-1)2=n（n-1）2條線段。 另外還有“幾個(gè)人相互握手總次數(shù)和”、“打籃球進(jìn)行單循環(huán)比賽取總場次”等問題。所反映的是同一個(gè)數(shù)學(xué)問題，只是將其置身于各類不同的生活背景中，但歸根到底是求前（n-1）個(gè)自然數(shù)的和。又如，用大小相同的正方形拼圖，拼第1個(gè)圖形需要3個(gè)正方形，拼第2個(gè)圖形需要6個(gè)正方形，依次類推，拼第4個(gè)圖形需要_個(gè)正方形，拼第n個(gè)圖形需要_個(gè)正方形。數(shù)學(xué)規(guī)律，多數(shù)是函數(shù)的解析式.函數(shù)的解析式里常常包含著數(shù)學(xué)運(yùn)算,所以，要求把變量和序列號(hào)放在一起，做一些計(jì)算，是解答找規(guī)律題的好途徑.規(guī)律探索型問題涉及的基礎(chǔ)知識(shí)非常廣泛，題目沒有固定的形式，因此沒有固定的解題方法。它既能充分地考察學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知