第三章_幾種常見的概率分布律b

1、第三章 幾種常見的概率分布律 回顧一下，在上一章里講了變量及其概率分布的一 般概念。 離散變量用概率函數(shù)來(lái)研究，概率函數(shù)定義了這個(gè)變量 取每個(gè)值的概率； 連續(xù)變量用密度函數(shù)（一條曲線）來(lái)研究，通過這條曲線我們 可以求得變量在某個(gè)特定區(qū)間取值的概率。 在這一章里，我們將介紹一些在實(shí)際研究中應(yīng)用最實(shí)際研究中應(yīng)用最 廣的變量類型及其概率分布廣的變量類型及其概率分布。 離散變量離散變量 連續(xù)變量連續(xù)變量 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布 超幾何分布 負(fù)二項(xiàng)分布 指數(shù)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 第一節(jié)第一節(jié) 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 （Binomial Distribution） 1.貝

2、努利試驗(yàn)和在什么情形下應(yīng)用二項(xiàng)分布 貝努利試驗(yàn)貝努利試驗(yàn)（Bernoulli trial）：試驗(yàn)只有兩種可能的結(jié)果， 并且發(fā)生每種結(jié)果的概率是一定的。 例如：拋一枚硬幣，看得到正面還是 反面；擲一次骰子，看得到6還是沒有 得到6；隨機(jī)抽查一名嬰兒的性別，看 是男是女 在貝努利試驗(yàn)里，兩種結(jié)果可分別稱為“成功成功”和和“失敗失敗”， 或者“事件A發(fā)生”和“事件A沒有發(fā)生”。 什么情形時(shí)應(yīng)用二項(xiàng)分布什么情形時(shí)應(yīng)用二項(xiàng)分布：實(shí)驗(yàn)中進(jìn)行了n次獨(dú)立的貝努利 試驗(yàn)，統(tǒng)計(jì)在這n次試驗(yàn)中總共獲得了多少次“成功”。“成 功”的次數(shù)，記為變量X；X稱為二項(xiàng)分布變量，X的概率分布 稱為二項(xiàng)分布。 （1）連續(xù)拋硬幣1

3、00次，統(tǒng)計(jì)總共出現(xiàn)正面的次數(shù)。次數(shù)X服從二項(xiàng)分布。 X的可能取值為0，1，2，n。所以X是個(gè)離散型變量。 二項(xiàng)分布變量的一些例子：二項(xiàng)分布變量的一些例子： （2）調(diào)查250名新生嬰兒的性別，記男嬰的總數(shù)為X，則X服從二項(xiàng)分布。 （3）調(diào)查n枚種蛋的出雛數(shù)，出雛數(shù)X服從二項(xiàng)分布。 （4）n頭病畜治療后的治愈數(shù)X，X服從二項(xiàng)分布。 （5）n尾魚苗的成活數(shù)X，X服從二項(xiàng)分布。 2. 二項(xiàng)分布的常用記號(hào) ; :貝努利試驗(yàn)的次數(shù)n 成功”的次數(shù)；的取值，即總共獲得“二項(xiàng)分布變量X :x “成功”的概率；一次貝努利試驗(yàn)中獲得 : “失敗”的概率；顯然是一次試驗(yàn)中獲得 :1 次“成功”的概率。總共獲得xx

4、P : )( 3. 二項(xiàng)分布的概率函數(shù)P(x) 怎樣得到P(x)? 種：次成功的方式有次貝努利試驗(yàn)里，獲得在 2 4 24C 以以n n4 4，x x2 2為例，欲求為例，欲求P P（x x2 2）？）？。 ffss fsfs fssf sffs sfsf ssff 6 1212 1234 ! 2 ! 2 ! 4 , )!( ! ! 2 4 2 4 依據(jù)計(jì)算公式 位置的組合方式。是從四個(gè)位置選取兩個(gè)：注意 C xnx n C C x n 每種方式發(fā)生的概率為： 22 )1 ()(1)(1f)P(f)P(s)P(s)P(P(ssff) 乘法法則 其它5種方式發(fā)生的概率也是如此。 2422 4 )

5、1 ()2( 24 CP xn次成功的概率為次試驗(yàn)中取得因此，在 xnxx n CxP x n )1 ()( * 次成功的概率是共獲得 此貝努利試驗(yàn)中，在由此類推到一般情形， 的討論：關(guān)于 xnxx n CxP )1 ()( ”這個(gè)名稱。項(xiàng)，所以有“二項(xiàng)分布的第 展開是二項(xiàng)式）從形式上來(lái)說，（ 1 )1 ()1 (1 x C nxnxx n 011100 )1 ()1 ()1 ()1 ()1 ( nn n xnxx n n n n n n CCCC n x n x nnxnxx n CxP 00 11)1 ()1 ()( 2）（ 例一，純種白豬與純種黑豬雜交，根據(jù)孟德爾遺傳 理論，子二代中白豬

6、與黑豬的比率為3：1。求產(chǎn)仔 10頭，有7頭白豬的概率。 。，視白豬為成功，有 個(gè)二項(xiàng)分布的問題，解：根據(jù)題意，這是一 775. 0 4 3 ,10 xn 71077 10 )75. 01 (75. 0)7()7( CPxP 2503. 0 25. 075. 0 ! 3 ! 7 !10 37 所以，窩產(chǎn)仔10頭，有7頭白豬的概率是0.2503。 例二，有一批玉米種子，出苗率為0.67。現(xiàn)任取6粒 種子種1穴中，問這穴至少有1粒種子出苗的概率是 多少？ 服從二項(xiàng)分布。則設(shè)出苗的種子數(shù)為 。視出苗為成功，有個(gè)二項(xiàng)分布的問題。解：根據(jù)題意，這是一 xx n , 67. 0 , 6 )6()2() 1

7、() 1()1(xPxPxPxPP粒出苗至少有 9987. 0 0905. 00799. 00157. 0 33. 067. 033. 067. 033. 067. 0 066 6 422 6 511 6 CCC 這說明每穴種6粒種子，幾乎肯定出苗。 9987. 00013. 0133. 067. 01 )0(1)(1)1( 600 6 C xPPP沒有出苗粒出苗至少有 另外一種方法： 4 二項(xiàng)分布的概率分布表和概率分布圖 除以P(x)表示，二項(xiàng)分布也可通過表或圖來(lái)直觀顯示。 xP(x) 00.0625 10.250 20.375 30.250 40.0625 例如，拋硬幣4次，獲得的正面數(shù)記

8、為X，則X服從二項(xiàng) 分布。X的概率分布表為 062. 05 . 05 . 0)0( , 5 . 0, 4 400 4 CP n 時(shí)，分布偏斜： 時(shí)，分布對(duì)稱； 5 . 0 5 . 0 X的概率分布圖為 注意： 時(shí)，負(fù)偏 時(shí)，正偏 5 . 0 5 . 0 5 二項(xiàng)分布變量的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差 平均數(shù) n x xxPXE 0 )()( 定義 證明： n x xnx x xnx n 0 )1 ( )!( ! ! n x xnx x xnx n 1 )1 ( )!( ! ! nXE)( 1 0 11 1 )1 ( )!1( ! ! n t tnt xt tnt n 1 0 1 )1 ( )!1( ! )!

9、1( n t tnt tnt n n 1 )1 ( n n n x xnx xnx n 1 )1 ( )!()!1( ! n 方差和標(biāo)準(zhǔn)差 222 )()()(XEXEXVar證明： n x xnx x xnx n 0 2 )1 ( )!( ! ! )1 ()( 2 nXVar )1 (n n x xxPXE 0 22 )()( 定義 n x xnx xxx xnx n 0 2 )()1 ( )!( ! ! n x xnx n x xnx x xnx n xx xnx n 00 2 )1 ( )!( ! ! )()1 ( )!( ! ! nnn nnn xnx n n xnx n nn x x

10、nx n xx xnx n n x xnxxnx n x n x xnx n x xnx 222 2 1 12 2 2 12 2 ) 1( )1 ( )!()!1( )!1( )1 ( )!()!2( )!2( ) 1( )1 ( )!( ! ! )()1 ( )!( ! ! )1 ( )()( 2 22222 nnn nnnnXVar 例三，某樹種幼苗成材率為70，現(xiàn)種植 2000株，問成材幼苗數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差是 多少？ 服從二項(xiàng)分布。則株幼苗的成材數(shù)為解：設(shè)XX,2000 。根據(jù)題意，70. 0 ,2000n 140070. 02000n平均數(shù) 49.203 . 07 . 02000)1

11、 (n標(biāo)準(zhǔn)差 第二節(jié)第二節(jié) 泊松分布泊松分布 （Poisson Distribution） 1. 在什么情形下應(yīng)用泊松分布 泊松分布是一種用來(lái)描述一定的空間或時(shí)間里稀有事件發(fā)生次一定的空間或時(shí)間里稀有事件發(fā)生次 數(shù)數(shù)的概率分布。 服從泊松分布的變量的一些例子： 一定畜群中某中患病率很低的非傳染性疾病患病數(shù)或死亡數(shù)。 畜群中遺傳的畸形怪胎數(shù) 單位空間內(nèi)某些野生動(dòng)物或昆蟲數(shù) 每升飲水中的大腸桿菌數(shù) 2. 泊松分布的概率函數(shù)與特征數(shù) 泊松分布變量X只取零和正整數(shù)：0,1,2，其概率 函數(shù)為 e x xP x ! )( 是自然對(duì)數(shù)底數(shù)。其中7182. 2 , 0e 頁(yè)。證明見情形下的情形來(lái)近似。在這種

12、 布可以用二項(xiàng)分布在怎么得到的呢？泊松分注意： 40, ! )1 ( , 0,)( e x Cn nxP x xnxx n 泊松分布的平均數(shù) )(XE x x e xxPXE xx x 00 ! )()( 證明： 1 1 1 )!1()!1( x x x x x e x e 0 1 ! t t xt t e ee 泰勒級(jí)數(shù) 泊松分布的方差和標(biāo)準(zhǔn)差 )( 2 XVar 222 )()()(XEXEXVar證明： 22 )()()1()() 1(XEXEXXEXEXXXE x xxxP 2 ) 1()( 0 2 ) 1( ! x x xx x e 2 2 2 2 )!2( x x x e 22 e

13、e 例一，顯微鏡下觀察一種懸浮液中的某種顆粒，據(jù)前人報(bào)告， 平均每張樣片可以觀察到3個(gè)微粒，問在一次觀察中看到3個(gè) 微粒的概率是多大？少于3個(gè)微粒的概率是多少？若觀察100 張片子，大約有多少?gòu)埰涌吹降奈⒘?shù)少于3個(gè)？ 。松分布，且有事件數(shù)，所以它服從泊 里的稀有，可以看成是一定空間微粒數(shù)解：一張片子里看到的 3 X 2240. 0 ! 3 3 ! ) 3( 33 e x e XP x 4232. 0 ! 2 3 ! 1 3 ! 0 3 )2() 1()0()3( 323130 eee XPXPXPXP )(32.424232. 0100)3(100張大約有XP 第三節(jié)第三節(jié) 正態(tài)分布正態(tài)分

14、布 （Normal Distribution） 正態(tài)分布是一種最重要的連續(xù)型變量的概率分布。 在生物科學(xué)研究里，有許多變量是服從或近似 服從正態(tài)分布的，如水稻產(chǎn)量、小麥株高、玉 米百粒重等； 許多統(tǒng)計(jì)分析方法是以正態(tài)分布為基礎(chǔ)的。 不少隨機(jī)變量的概率分布在樣本容量增大時(shí)趨于 正態(tài)分布。 因此，在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，正態(tài)分布無(wú)論在理論研究上還是在實(shí)際 應(yīng)用中均占有重要的地位。 1 正態(tài)分布的定義與主要特征 定義：變量X的概率分布的密度函數(shù)為 2 2 2 )( 2 1 )( x exf 。服從正態(tài)分布，記為為方差，則稱變量為平均數(shù)，其中，),( 22 NXX f(x）的曲線為 X的積累分布函數(shù) dxedxx

15、fxXPxF x x x 2 2 2 )( 2 1 )()()( 沒有更簡(jiǎn)化 的形式 正態(tài)分布的主要特征： （1）曲線是單峰、對(duì)稱的“懸鐘”形曲線，對(duì)稱軸是 x= （2）曲線是非負(fù)函數(shù)，以x軸為漸近線，分布從到 （3）曲線在x=處各有一個(gè)拐點(diǎn)，即在-, + 范圍內(nèi)是上凸，其余是下凸。 （4）曲線有兩個(gè)參數(shù)：和。 代表平均數(shù)， 代表標(biāo)準(zhǔn)差， 和一起決定曲線的位置和形狀。 越大，則曲線沿x軸越向右移動(dòng)；反之向左。 是變異度參數(shù)， 愈大則曲線愈“胖”；反之則愈 瘦。 （5）曲線下和x軸所夾的總面積為1 =0.5 =1 =2 2 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 定義：=0，=1時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正 態(tài)分

16、布變量記為U，寫作 UN(0,1)。 2 2 2 1 )( u eu 密度函數(shù)： dxeuUPu x u 2/ 2 2 1 )()( 分布函數(shù)： 的曲線：密度函數(shù))(u 普通正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布普通正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 X Z (Z) (Z) Z Z 2 2 1 ( ), 2 z zez xexf x , 2 1 )( 2 2 2 )( 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布曲線 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布曲線標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累積分布曲線 累積分布函數(shù)累積分布函數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下特性：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有以下特性： 1、在、在u0時(shí)時(shí)(u)達(dá)到最大值。達(dá)到最大值。 2、當(dāng)、當(dāng)u不論向哪個(gè)方向遠(yuǎn)離不論向哪個(gè)方

17、向遠(yuǎn)離0時(shí)，時(shí)，(u)的值都的值都 減小。減小。 3、曲線兩側(cè)對(duì)稱。、曲線兩側(cè)對(duì)稱。 4、曲線在、曲線在u1和和u1處有兩個(gè)拐點(diǎn)。處有兩個(gè)拐點(diǎn)。 5、曲線與橫軸所夾面積等于、曲線與橫軸所夾面積等于1。 6、累積分布曲線圍繞點(diǎn)（、累積分布曲線圍繞點(diǎn)（0，0.5）對(duì)稱。）對(duì)稱。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度曲線在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布概率密度曲線在-1-1+1+1的區(qū)間內(nèi)占的區(qū)間內(nèi)占 總面積的總面積的68.27%68.27%，在，在-1.96-1.96+1.96+1.96的區(qū)間內(nèi)占總的區(qū)間內(nèi)占總 面積的面積的95%95%；在；在-2.58 -2.58 +2.58+2.58的區(qū)間內(nèi)占總面的區(qū)間內(nèi)占總面 積的積的99%

18、99%。 dzebZaP zb a 2 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 ()() 2 zz ZPZzedz 曲線下面積分布規(guī)律曲線下面積分布規(guī)律 0-1 1 -1.96 1.96-2.582.58 68.27% 95.00% 99.00% -+-1.96+1.96-2.58 +2.58 68.27% 95.00% 99.00% 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 正態(tài)分布正態(tài)分布 面積或概率面積或概率 -11 68.27% -1.961.96 1.96 95.00% -2.582.58 2.58 99.00% 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個(gè)常用概率標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的三個(gè)常用概率 99.74% 65.26% 95.

19、46% 3 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計(jì)算 查表法：表2（253頁(yè)）列出了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量的累積分布函數(shù) 值，即U小于某個(gè)值u的概率：P(Uu) 左邊的面積即為表中列出的數(shù)值uu)( 關(guān)系式： )()()()()(abaUPbUPbUaP )()(ccUP )(1)(1)(ddUPdUP )53. 134. 0()4( ),56. 2|(|)3( ),58. 2()2( ),64. 1() 1 (),1 , 0( UPUP UPUPNU試求：例一，已知 05050. 0)64. 1(1 查表 ）解：（UP 00494. 099506. 01)58. 2(1)58. 2()2( 查表 UPUP 01046.

20、 000523. 02)56. 2(2)56. 2|(|) 3(UPUP 30392. 063307. 093699. 0)34. 0()53. 1()53. 134. 0 () 4 (UPUPUP 4 一般正態(tài)分布的概率計(jì)算 通過如下定理，將一般正態(tài)分布變量轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布變 量來(lái)求。 對(duì)于服從對(duì)于服從N（，2）的隨機(jī)變量）的隨機(jī)變量X，首先要進(jìn)，首先要進(jìn) 行標(biāo)準(zhǔn)化變換，使之變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再按行標(biāo)準(zhǔn)化變換，使之變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，再按 上述方法查表。變換的方法是：上述方法查表。變換的方法是： x u 定理： ) 1 , 0(),( 2 N X NX ，則假設(shè)變量 bXa PbXaP)(因

21、此， ba PU 定理 ab cX PcXP)(同理， cc UP dX PdXP)( d UP d d UP 1 1 。 。求下列概率：例二，如果變量 )4026( ) 3( );40( )2( );26( ) 1 ( )5 ,30( 2 XP XPXPNX 21186. 0)8 . 0( 5 3026 5 30 )26() 1 ( 查表 解： UP X PXP 02275. 097725. 01)2(1 5 3040 5 30 1)40(1)40()2( 查表 UP X PXPXP 76539. 021186. 097725. 0)8 . 0()2( )28 . 0( 5 3040 5 3

22、0 5 3026 )4026( )3( 查表 UPUP UP X PXP 關(guān)于一般的正態(tài)分布，以下的一些概率經(jīng)常 用到：變量X落在的不同倍數(shù)區(qū)間的概率。 6826. 0)(XP 9545. 0)22(XP 9973. 0)33(XP 95 . 0 )96 . 1 96. 1(XP 99. 0)58. 258. 2(XP 這些結(jié)論可以用一個(gè)實(shí)例來(lái)印證： 以第一章里的120頭母羊的體重資料為例： 41. 5 , 9 .51sx 由表可見，實(shí)際頻率與理論概率相當(dāng)接近，說明120頭基 礎(chǔ)母羊體重資料的頻率分布接近正態(tài)分布，從而可推斷 基礎(chǔ)母羊體重這一隨機(jī)變量很可能是服從正態(tài)分布的。 5 正態(tài)分布的單側(cè)

23、、雙側(cè)臨界值（分位數(shù)） 附表2列出了概率的數(shù)值，即對(duì)于給定的u，列出了曲線下u左 邊的面積。 ，已知面積為 在以后的統(tǒng)計(jì)推斷中，我們經(jīng)常需要做與上面相反的工作：即 已知曲線下右側(cè)尾區(qū)的一定面積 ，求對(duì)應(yīng)的臨界值u ? u 的值。頁(yè)）給出了（附表 。上側(cè)臨界值的稱為 u u 256 3 ，已知面積為 u u。下側(cè)臨界值的稱為。 ；同時(shí)，我們有因此， u uUPuUP )()( 。雙側(cè)，也可以記為雙側(cè)臨界值的稱為那么 平均分配到兩側(cè)，即如果將面積 下側(cè)。全部放在曲線的上側(cè)或的單側(cè)臨界值是將面積 )( ,)|(| 2/ 2/ uu uUP 的上側(cè)臨界值的雙側(cè)臨界值注意： 2 2/ 2/ 2/ u 界

24、值和雙側(cè)臨界值。的上側(cè)臨界值、下側(cè)臨和例三，求01. 005. 0 ;645. 105. 0) 1 ( 3 05. 0 查表 時(shí)，上側(cè)臨界值 解： u ;645. 1 05. 0 u所以，下側(cè)臨界值 96. 1)( 3 025. 005. 0 查表 雙側(cè)雙側(cè)臨界值uu ;326. 201. 0)2( 3 01. 0 查表 時(shí)，上側(cè)臨界值u ;326. 2 01. 0 u所以，下側(cè)臨界值 576. 2)( 3 005. 001. 0 查表 雙側(cè)雙側(cè)臨界值uu 注意：這些臨界值在第五章假設(shè)檢驗(yàn)時(shí)經(jīng)常用到 雙側(cè)概率或單側(cè)概率雙側(cè)概率或單側(cè)概率 【例例】已知豬血紅蛋白含量已知豬血紅蛋白含量x服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 N (12.86，1.332 )，若，若P(xl1) =0.03,P(xl2)=0.03, 求求l1,l2 。 依題意依題意 2=0.03,=0.06又因?yàn)橛忠驗(yàn)?故故 P(xl1)+ P(xl2) = P(u-u) + P(uu) 03. 0)() 33.