反證法在幾何問題中的應用人教版

1、反證法在幾何問題中的應用反證法是一種非常重要的數(shù)學方法，它在幾何的應用極為廣泛，在平面幾何、立體幾何、解析幾何都有應用，本文選擇幾個有代表性的應用，舉例加以介紹。一、證明幾何量之間的關系例1：已知：四邊形abcd中，e、f分別是ad、bc的中點，。求證：。證明：假設ab不平行于cd。如圖，連結ac，取ac的中點g，連結eg、fg。e、f、g分別是ad、bc、ac的中點，；，。ab不平行于cd，ge和gf不共線，ge、gf、ef組成一個三角形。 但 與矛盾。例2：直線與平面相交于，過點在平面內引直線、，。求證：。證明：假設po不垂直平面。作并與平面相交于h，此時h、o不重合，連結oh。由p作于e

2、，于f，根據(jù)三垂線定理可知，。，po是公共邊，又因此，oh是的平分線。同理可證，oh是的平分線。但是，ob和oc是兩條不重合的直線，oh不可能同時是和的平分線，產(chǎn)生矛盾。例3：已知a、b、c、d是空間的四個點，ab、cd是異面直線。求證：ac和bd是異面直線。證明：假設ac和bd不是異面直線，那么ac和bd在同一平面內。因此，a、c、b、d四點在同一平面內，這樣，ab、cd就分別有兩個點在這個平面內，則ab、cd在這個平面內，即ab和cd不是異面直線。這與已知條件產(chǎn)生矛盾。所以，ac和bd是異面直線上面所舉的例子，用直接證法證明都比較困難，尤其是證兩條直線是異面直線，常采用反證法。二、證明“唯

3、一性”問題在幾何中需要證明符合某種條件的點、線、面只有一個時，稱為“唯一性”問題。例3：過平面上的點a的直線，求證：是唯一的。證明：假設不是唯一的，則過a至少還有一條直線，、是相交直線，、可以確定一個平面。設和相交于過點a的直線。，。這樣在平面內，過點a就有兩條直線垂直于，這與定理產(chǎn)生矛盾。所以，是唯一的。例4：試證明：在平面上所有通過點的直線中，至少通過兩個有理點（有理點指坐標、均為有理數(shù)的點）的直線有一條且只有一條。證明：先證存在性。因為直線，顯然通過點，且直線至少通過兩個有理點，例如它通過和。這說明滿足條件的直線有一條。再證唯一性。假設除了直線外還存在一條直線（或）通過點，且該直線通過有

4、理點a與b，其中、均為有理數(shù)。因為直線通過點，所以，于是，且。又直線通過a與b兩點，所以， ，得。 因為a、b是兩個不同的點，且，所以，由，得，且是不等于零的有理數(shù)。由，得。此式的左邊是無理數(shù)，右邊是有理數(shù)，出現(xiàn)了矛盾。所以，平面上通過點的直線中，至少通過兩個有理點的直線只有一條。綜上所述，滿足上述條件的直線有一條且只有一條。關于唯一性的問題，在幾何中有，在代數(shù)、三角等學科中也有。這類題目用直接證法證明相當困難，因此一般情況下都采用間接證法。即用反證法或同一法證明，用反證法證明有時比同一法更方便。三、證明不可能問題幾何中有一類問題，要證明某個圖形不可能有某種性質或證明具有某種性質的圖形不存在。

5、它們的結論命題都是以否定形式出現(xiàn)的，若用直接證法證明有一定的困難。而它的否定命題則是某個圖形具有某種性質或具有某種性質的圖形存在，因此，這類問題非常適宜用反證法。例5：求證：拋物線沒有漸近線。證明：設拋物線的方程是()。假設拋物有漸近線，漸近線的方程是，易知、都不為0。因為漸近線與拋物線相切于無窮遠點，于是方程組 的兩組解的倒數(shù)都是0。將（2）代入（1），得 （3）設、是（3）的兩個根，由韋達定理，可知，則， （4）， （5）由（4）、（5），可推得，這于假設矛盾。所以，拋物線沒有漸近線。關于不可能問題是幾何中最常見也是非常重要的一種類型。由于它的結論是以否定形式出現(xiàn)，采用直接證法有困難，所以這類問題一般都使用反證法加以證明。四、證明“至少存在”或“不多于”問題在幾何中存在一類很特殊的問題，就是證明具有某種性質的圖形至少有一個或不多于幾個。由于這類問題能找到直接論證的理論根據(jù)很少，用直接證法有一定困難。如果采用反證法，添加了否定結論這個新的假設，就可以推出更多的結論，容易使命題獲證。例6：已知：四邊形abcd中，對角線ac=bd=1。求證：四邊形中至少有一條邊不小于。證明：