SPSS統(tǒng)計軟件應用基礎數(shù)學建模-方差分析第七章方差分析

1、 二、幾個術語 1、試驗指標衡量試驗結果的量 (定量、定性) （必須是數(shù)量）。 2、因素 影響試驗指標的條件， (不)可控 記作A,B,C 3、水平因素所處等級、狀態(tài)，A 的r個水平記作 4、單(多)因素試驗考察一(多)個 因素的試驗。 12 , r A AA 2、任務：檢驗因素A對試驗結果影響 是否顯著？（A是否是重要 因素？） 2 12 ,.,.(,)1,2,., . i iiiti xxxiidNir 2 1,2,. ;1,2,., . (0,) ijiij i ij x jt ir N 012 : r H 0 H （2）記 1 1 r i i r ii 稱為 的效應， i A1,2,i

2、r 2 1,2,. ;1,2,., . (0,) ijiij i ij x jt ir N 則 012 :0 r H 0 H 2、基本思想 （1）、條件誤差：因條件不同引起的誤差； 隨機誤差：相同條件下引起的誤差。 （2）、基本思想： a、把條件誤差與試驗誤差分開； b、在某種意義下加以比較，若條件 誤差明顯大于隨機誤差，則有理 由認為A影響顯著。 3、偏差平方和分解 11 1 i t r ij ij xx n 總樣本均值： 1 r i i nt 總樣本容量： 1 1 1,2, i t iij j i xxir t 各總體的樣本均值： 總偏差平方和： 2 11 2 11 22 1111 11

3、() ()() ()() ()() i i ii i t r Tij ij t r ijii ij tt rr iiji ijij t r ijii ij AE Sxx xxxx xxxx xxxx SS 其中 表示由A所引起的各組數(shù)據(jù)之間的偏差 平方和（反映條件誤差？），稱為組間平方和； 表示由隨機因素引起的各組數(shù)據(jù)內部的偏差平 方和（反映隨機誤差？），稱為組內平方和。 A S E S 、構造檢驗統(tǒng)計量 (1) 7.1.6 () A E Sr F Snr (1,)FF rnr 0 H由柯赫倫分解定理知，在假設成立的情況下， 。其中稱為A的均方， 稱為隨機均方。 (1) A Sr () E S

4、nr 、 具體判斷 值，并根據(jù) F 分布計算出相應的顯著性概率 若Sig.小于給定的顯著水平 ，則拒絕原假設， 即認為因素A對試驗指標有顯著影響；否則認為無 顯著影響。通常當時，稱為有非常顯 著影響，記為；當時， 稱為有顯著影響，記為。 .()pSigP FF 值 0.01.0.05Sig .0.01Sig 三、基本計算 1. 建立數(shù)據(jù)文件 a、定義試驗指標變量 x 和因素變量kind； b、輸入數(shù)據(jù)； c、保存數(shù)據(jù)文件。 2選擇統(tǒng)計方法 按AnalyzeCompare meansOne-Way ANOV 順 序選擇菜單或菜單項。 3結果說明 解釋輸出結果的統(tǒng)計意義。 對六種不同的農藥在相同的

5、條件下分別 問殺蟲率是否因農藥的不同而有顯著性的差異 （顯著水平）？0.01 單因素方差分析要注意的兩點： 1、模型的條件 2 2 (,) (0,) iji ijiij ij xN x N （1）、服從正態(tài)分布； （2）、r 個總體方差相等？（要求驗證） 2、多重比較 ij x 012 : r H 若，則拒絕 ，意味著上式中至少 有一個不等號，到底哪些不等？（要比較） .Sig 0 H 練習： 、將種不同品種的種子 ，分 別種在土質、氣候條件基本相同的8塊面積相 等的小區(qū)域上，得到的收獲量如下表。 125 ,A AA 現(xiàn)欲檢驗種子品種（因素A）對收獲量（試驗 指標）的影響是否顯著。 、四支溫度

6、計 和 被用來測定氫 化奎寧的熔點，得如下結果： 123 ,T T T 4 T 0 ()x C 試檢驗在測量氫化奎寧熔點時，這四支溫度計 之間有無顯著性差異。 12 , r A AA 12 , r B BB 所謂兩因素方差分析就是考察： 1、因素A對試驗指標的影響是否顯著？ 2、因素B對試驗指標的影響是否顯著？ 3、交互作用AB對試驗指標的影響是否顯著？ 注：若要考察AB、每種搭配下試驗次數(shù) 。 2t 什么是交互作用？ 例子：一種水稻品種種在四塊面積與地力等條件 相同的小區(qū)域上，各小區(qū)的施肥情況及產量如下表： 一般地，在兩個因素的試驗中，有時除了每個 因素獨立地起作用外，還可以聯(lián)合起來起作用，

7、這 種作用，叫做這兩個因素的交互作用。 二、基本原理 1、模型： ijk x 來自總體 的樣本， 2 (,) ijij xN 1,2, .kt 記 . 1 1 s iij j s 11 1 rs ij ij rs 總體平均數(shù) 水平下的平均數(shù) i A . 1 1 r jij i r j B水平下的平均數(shù) 1,2, .ir 1,2, .js .ii 水平的效應 i A .jj 水平的效應 j B () ijijij 的交互效應A B 1,2, .ir1,2, .js 則雙因素方差分析模型為： ijkijijkijijijk x 1,2, .ir1,2, .js1,2, .kt 其中， 相互獨立且

8、滿足 2 (0,) ijk N, ijij 1111 0,0,0,0. rsrs ijijij ijij 要檢驗的統(tǒng)計假設為： 0112 0212 03 :0 :0 :0,1,2, ;1,2, . r s ij H H Hirjs 若拒絕 ，則認為因素A的不同水平對試 驗結果有顯著影響；若拒絕 ，則認為因素B的 不同水平對試驗結果有顯著影響；若拒絕 ， 則認為因素A與B不同水平搭配的交互效應對試驗 結果有顯著影響；若三者均不拒絕，則認為因素 A與B的不同水平搭配對試驗結果無顯著影響。 01 H 02 H 03 H 2、偏差平方和分解 11 1 rs ijk ij xx rst 總樣本平均數(shù)：

9、水平下樣本平均數(shù)： . 1 1 t ijijk k xx t i A . 11 1 st iijk jk xx st 水平下樣本平均數(shù)： j B . . 11 1 rt jijk ik xx rt , ij A B 搭配下樣本平均數(shù)： 總偏差平方和： 2 111 . . 111 2 . . 22 . . 11111 22 . . 11 () ()() ()() ()() ()() rst Tijk ijk rst ijkijijij ijk ij rstrs ijkijijij ijkij rs ij ij EA BA Sxx xxxxxx xxxx xxtxxxx stxxrtxx SSS

10、B S 其中，是因素A的離差平方和； 是因 素B的離差平方和； 是誤差平方和。 是 交互作用的離差平方和。上式說明，總離差平 方和 可以分解成由隨機因素引起的誤差平 方和 ；由因素A各水平的效應引起的離差平 方和 ；由因素B各水平的效應引起的離差平 方和 以及A與B的交互效應引起的離差平方 和 四部分。 A S B S E S A B S T S E S A S B S A B S 、構造檢驗統(tǒng)計量 (1) (1) A A E Sr F Srs t 對 檢驗： 01 H (1) (1) B B E Ss F Srs t 對 檢驗： 02 H (1)(1) (1) A B A B E Srs F

11、 Srs t 對 檢驗： 03 H 由柯赫倫分解定理知，在假設 成立的 情況下， 010203 ,HHH (1,(1),(1,(1), AB FF rrs tFF srs t (1)(1),(1). A B FF rsrs t 、具體判斷 利用 的公式計算出 的具體數(shù)值，記為 ，并根據(jù) 的分布計算出顯著性概率 。 若Sig.給定顯著水平，則認為因素A對 試 驗指標有顯著性影響；否則無顯著性影響。 (2) 利用 的公式計算出 的具體數(shù)值，記為 ，并根據(jù) 的分布計算出顯著性概率 。 A F A F A F .() AA SigP FF 值 B F B F A F 值 A F 值 B F .() B

12、 SigP FF B值 若Sig.給定顯著水平 ，則認為因素B對 試驗指標有顯著性影響；否則無顯著性影響。 (3) 利用 的公式計算出 的具體數(shù)值， 記為 ，并根據(jù) 的分布計算出顯著性 概率 。 若Sig.給定顯著水平 ，則認為交互作用 對試驗指標有顯著性影響；否則無顯著性 影響。 A B F A B F A B F 值A B F .() A BA B SigP FF 值 A B 三、基本計算 1. 建立數(shù)據(jù)文件 a、定義試驗指標變量 x 和兩個因素變量a,b； b、輸入數(shù)據(jù)； c、保存數(shù)據(jù)文件。 2選擇統(tǒng)計方法 按AnalyzeGeneral Linear ModelUnivariate順序

13、 選擇菜單或菜單項。 3結果說明 解釋輸出結果的統(tǒng)計意義。 在某化工廠產品的生產過程中，對三種 濃度，四種溫度的每一種搭配重復試驗二次，測 試檢驗不同的濃度，不同的溫度以及它們之間的 交互作用對產量有無顯著性的差異（顯著水平 ）？0.01 練習： 、設四名工人分別操作機床甲、乙、丙各一天， 生產同樣產品，其日產量統(tǒng)計如下表(單位：件)： 問工人的不同和機床的不同在日產量上有無顯著 性差異？（假定四名工人對這三臺機床的熟悉情 況是一樣的。） 、將一塊耕地等分為24個小區(qū)，今有個不 同的小麥品種（A1，A2，A3）和中不同的肥 料（B1，B2）?，F(xiàn)將各小麥品種與各種肥料進 行搭配，對每種搭配都在個

14、小區(qū)上試驗，測 得每個小區(qū)產量（千克）如下： 試分析品種、肥料以及它們的交互作用對產量 有無顯著性的影響。 r s 、考慮： 能否在所有的搭配的試驗中，選出有 代表性的部分試驗，通過這一部分試驗分 析所關心問題（影響是否顯著）。 、解決此問題就涉及到試驗設計。 、試驗設計的主要內容是討論如何合理 地安排試驗以及試驗后如何對數(shù)據(jù)進行統(tǒng) 計分析。 、試驗設計的種類：正交設計、區(qū)組設 計、回歸設計等。 二、正交設計 、正交試驗設計：用“正交表”來安排試驗和分 析試驗結果的一種數(shù)理統(tǒng)計方法。 、正交表 (1)、定義： 具有以下兩個性質的表都稱為正交表： a、每一列中不同的數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)相等。 b、任意

15、兩列中，將同一行的兩個數(shù)字看成有序 數(shù)對，每種數(shù)對出現(xiàn)的次數(shù)相等。 一般記為： ，其中L：正交表符號，n： 試驗次數(shù)，a：因素水平數(shù)，b：正交表的列數(shù) （因素個數(shù)）。 () b n L a 例子： 特點： a、將正交表中的任意兩行交換或任意兩列交換， 它仍然是正交表。 b、將某一列中的數(shù)字號碼相互對換，它仍然是 正交表。 、正交表的使用 步驟： a、找出“合適”的正交表。 “合適”指： （）正交表水平數(shù)必須和因素水平表中水平 數(shù)一致。 （）正交表列數(shù)不少于因素的個數(shù)（所考慮 的一個交互作用作為一個因素）。 說明： 若要進行（方差）分析時，一般要求正交 表列數(shù)必須大于因素的個數(shù)，以便使正交表留 出空列；此空列是（方差）分析中的試驗指標 以及誤差平方和所在列。 b、表頭設計因素放在表的哪一列。 （）若不考慮交互作用，可以任意放。 （）若考慮交互作用，先安排有交互作用的主因 素的所在列，再由交互作用表決定交互作用所在列 沒有交互作用的主因素的安排，以盡量避免主因素 與交互作用“混雜”為原則。 c、確定表中各列的水平號碼的具體水平內容。 d、用正交表安排試驗（與交互作用無關）。 三、基本計算 1. 建立數(shù)據(jù)文件 定義