一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法

1、一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 第三章 電路的暫態(tài)分析 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 第一章第一章 討論電路的基本概念和基本定律討論電路的基本概念和基本定律 。 如：電路模型、電壓和電流的參考方向、基爾霍夫定律、 電源的工作狀態(tài)及電路中電位的計(jì)算等。這些內(nèi)容是分析與 計(jì)算電路的基礎(chǔ)。 第二章第二章 介紹幾種常用的電路分析方法。介紹幾種常用的電路分析方法。 有：支路電流法、節(jié)點(diǎn)電位法、實(shí)際電源模型的等效變 換、疊加原理、和戴維寧定理。 第三章第三章 討論直流一階電路的暫態(tài)分析。討論直流一階電路的暫態(tài)分析。 介紹：用“三要素法”分析暫態(tài)過(guò)程。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 一階線性電路暫態(tài)分析

2、的三要素法 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 穩(wěn)態(tài)：是指電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、電流穩(wěn)態(tài)：是指電路的結(jié)構(gòu)和參數(shù)一定時(shí)，電路中電壓、電流恒定恒定 或周期性變化或周期性變化。 換路：指電路接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)換路：指電路接通、斷開(kāi)或結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化發(fā)生變化。 先討論暫態(tài)過(guò)程產(chǎn)生的原因先討論暫態(tài)過(guò)程產(chǎn)生的原因-動(dòng)態(tài)元件、換路定律動(dòng)態(tài)元件、換路定律。 后討論暫態(tài)過(guò)程中電壓、電流后討論暫態(tài)過(guò)程中電壓、電流隨時(shí)間變化的規(guī)律隨時(shí)間變化的規(guī)律。 暫態(tài)：暫態(tài)：電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所電路從一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)變化到另一個(gè)穩(wěn)定狀態(tài)所經(jīng)過(guò)的過(guò)渡經(jīng)過(guò)的過(guò)渡 狀態(tài)狀態(tài)。 動(dòng)態(tài)元件動(dòng)態(tài)元件:是指在電

3、容元件和電感元件的電壓和電流約束關(guān)系是指在電容元件和電感元件的電壓和電流約束關(guān)系 是通過(guò)導(dǎo)數(shù)或積分來(lái)表達(dá)的。是通過(guò)導(dǎo)數(shù)或積分來(lái)表達(dá)的。 換路發(fā)生換路發(fā)生很長(zhǎng)時(shí)間很長(zhǎng)時(shí)間后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。后重新達(dá)到穩(wěn)態(tài)。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 含有儲(chǔ)能元件的電路，在換路瞬間儲(chǔ)能元件的能量 不能躍變，即： 換路瞬間換路瞬間：設(shè)為設(shè)為 t t=0=0。 換路前終了瞬間換路前終了瞬間：以：以 t=0t=0表示。表示。 換路后初始瞬間換路后初始瞬間：以：以 t=0+t=0+表示。表示。 換路定則：換路定則： 電感元件的儲(chǔ)能電感元件的儲(chǔ)能不能躍變不能躍變 2 2 1 LL LiW 電容元件的儲(chǔ)能電容元件的儲(chǔ)能 不

4、能躍變不能躍變 2 2 1 CC CuW 狀態(tài)變量狀態(tài)變量 在直流電路換路瞬間，電容電壓保持不變，電感電流保持不變。 獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值 第一章第一章 電路及其分析方法電路及其分析方法 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 【例例3.13.1】設(shè)：開(kāi)關(guān)設(shè)：開(kāi)關(guān)S S閉合前閉合前L L元件和元件和C C元件均未儲(chǔ)能。元件均未儲(chǔ)能。 試：確定試：確定S S閉合后電路中各電流與電壓的初始值。閉合后電路中各電流與電壓的初始值。 解解：由由t t=0-=0-的電路得：的電路得： 4 R3 + U 6V t =0 2 S R1 R2 4 uC C + + iC iL t=0- i LuL uC(0+)=0 i

5、L (0+) =0 uC(0-)=0 iL(0-) =0 電容元件短路。電容元件短路。 電感元件開(kāi)路電感元件開(kāi)路 由換路定則得：由換路定則得： 則：畫(huà)出則：畫(huà)出t=0t=0+ +時(shí)的等效電路時(shí)的等效電路 獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值 第一章第一章 電路及其分析方法電路及其分析方法 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 2 (0)(0)414 LC uR iVV 由由t=0t=0+ +的等效電阻電路的等效電阻電路 12 6 (0)(0)1 24 c U iiAA RR + U R1i + uL iL R2 R3 uC + iC (0+) t=0+ 求出各獨(dú)立初始值求出各獨(dú)立初始值 2 4 6V (0+) (0

6、+) (0+) (0+) 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 1. 1. 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 2. 2. 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng) 3. 3. 全響應(yīng)全響應(yīng) 換路前動(dòng)態(tài)元件未儲(chǔ)存能量 ，即uc（0-）=0或iL(0-)=0 ， 換路時(shí)，由電源激勵(lì)所產(chǎn)生的電路響應(yīng)。 換路前動(dòng)態(tài)元件已儲(chǔ)存能量，換路時(shí)，無(wú)電源激勵(lì)，輸 入信號(hào)為零 。由初始儲(chǔ)能引起的的電路響應(yīng)。 指電源激勵(lì)和動(dòng)態(tài)元件的初始儲(chǔ)能引起的均不為零時(shí)的 電路響應(yīng)。 即：是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)即：是零狀態(tài)響應(yīng)與零輸入響應(yīng)兩者的疊加。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 R t=0 + U 1 2 + uR + uL i L 電感初始儲(chǔ)能電感初始儲(chǔ)能為

7、零為零，電路響應(yīng)僅由外加電源引起，為，電路響應(yīng)僅由外加電源引起，為RLRL電電 路的零狀態(tài)響應(yīng)。路的零狀態(tài)響應(yīng)。 S 若若S S在在2 2位置時(shí)，在位置時(shí)，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到1 1的位置。的位置。 電路中外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能電路中外加激勵(lì)為零，電路的響應(yīng)是由電感的初始儲(chǔ)能 引起的，故為引起的，故為RLRL電路的零輸入響應(yīng)。電路的零輸入響應(yīng)。 若若S S在在1 1位置時(shí)，在位置時(shí)，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到2 2的位置。的位置。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 C C C u t u RCuRiU d dU S C R t=0 +

8、 1 2 + uR + uC i t t 0 0時(shí)電路的微分方程為時(shí)電路的微分方程為： 設(shè)設(shè): :S S在在2 2位置時(shí)位置時(shí)C C已放電完畢，在已放電完畢，在t=0t=0時(shí)將開(kāi)關(guān)時(shí)將開(kāi)關(guān)S S合到合到1 1的位置。的位置。 RC電路零狀態(tài)響應(yīng)電路零狀態(tài)響應(yīng) 根據(jù)根據(jù)KVLKVL 通解=特解特解+補(bǔ)函數(shù)補(bǔ)函數(shù) C u C u 特解取換路后的穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值，即，即 Uuu CC )( 補(bǔ)函數(shù)是齊次微分方程0 d d C C u t u Rc 形式為： pt C uAe 的通解 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 S C R t=0 + U 1 2 + uR + uC i (1) tt c uUUeUe

9、 uC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式： 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)-S S 推導(dǎo)整理得： t uC U 0 u 0.632U 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線 物理意義物理意義: : 當(dāng)當(dāng)t =t =時(shí)時(shí) UeUuc632. 0)1 ( 1 是電壓是電壓uc增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值增長(zhǎng)到穩(wěn)態(tài)值U的的63.2所需的時(shí)間。所需的時(shí)間。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 R R t t=0=0 + + U U 1 1 2 2 + + u uR R + + u uL L i i L L 根據(jù)KVLKVL t t 0 0時(shí)電路微分方程為時(shí)電路微分方程為: : S S t i LRiU d d 推導(dǎo)整理得： 通解=特解特解 +補(bǔ)

10、函數(shù)補(bǔ)函數(shù) uC零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式： )e1(i - L t R U 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)-S S R L 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 此時(shí)，通過(guò)電感的電流此時(shí)，通過(guò)電感的電流i iL L由由初始值初始值I I0 0向穩(wěn)態(tài)值零衰減，其隨向穩(wěn)態(tài)值零衰減，其隨 時(shí)間變化表達(dá)式為：時(shí)間變化表達(dá)式為： R t=0 + U 2 + uR + uL i L S 1 )e1(i - L t R U t Ii - 0e iL零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式：零狀態(tài)響應(yīng)表達(dá)式： t i 0 i 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線 U R 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 小結(jié)小結(jié) 2 2）達(dá)穩(wěn)態(tài)值的快慢取決于時(shí)間常數(shù)）

11、達(dá)穩(wěn)態(tài)值的快慢取決于時(shí)間常數(shù) 。（。（ = =RC RC 或或 = =GLGL） 3 3）當(dāng)直流動(dòng)態(tài)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路當(dāng)直流動(dòng)態(tài)電路達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)，電容相當(dāng)于開(kāi)路, ,電感相電感相 當(dāng)于短路當(dāng)于短路。其等效電路為電阻性電路。 4 4）零狀態(tài)線性：當(dāng)零狀態(tài)線性：當(dāng)輸入增大輸入增大 倍，其零狀態(tài)響應(yīng)也增大倍，其零狀態(tài)響應(yīng)也增大 倍倍。 1 1）直流一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，所有支路電壓、電流均）直流一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)中，所有支路電壓、電流均 從初始值開(kāi)始按相同的指數(shù)規(guī)律變化，最后達(dá)穩(wěn)態(tài)值。從初始值開(kāi)始按相同的指數(shù)規(guī)律變化，最后達(dá)穩(wěn)態(tài)值。 t eyty )0()( 一階線性電路暫態(tài)分

12、析的三要素法 代代入上式得入上式得 0 d d C C u t u RC t u C C C d d RuR 換路前電路已處換路前電路已處于于穩(wěn)態(tài)穩(wěn)態(tài) Uu C ) 0( t t =0=0時(shí)開(kāi)關(guān)時(shí)開(kāi)關(guān), 電容電容C C 經(jīng)電阻經(jīng)電阻R R 放電放電1S 一階線性常系數(shù)一階線性常系數(shù) 齊次微分方程齊次微分方程 列列 KVLKVL方程：方程：0 CR uu UuC )0( + - S R U 2 1+ C i C u 0 t R u + c 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 0 )0( e t C u t RC t Uu C e 推導(dǎo)整理得： uC 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線 0 u U t 時(shí)間

13、常數(shù)時(shí)間常數(shù) =RC 當(dāng)當(dāng)t t = = 時(shí)，時(shí)， u uC C = = 36.8%36.8% U U = 0.368U 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 i 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線 0 i I0 t 0.368I0 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R 當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)，時(shí)，i iL L= =36.8%36.8%I I0 0 。 電路中 u uR R和u uL L可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流 關(guān)系確定。 0 )0( e tiiLL t 同理可推導(dǎo)： 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 t i i 0 i 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R 當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)，時(shí)，u uC C= =63.2%63.

14、2%U U。 0.632U/R 零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)曲線曲線零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)曲線曲線 0 i I0 t 0.368I0 時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) =L/R 當(dāng)當(dāng)t t= = 時(shí)，時(shí)，u uC C= =36.8%36.8%U U0 0 。 )e1( t R U i t Ii e 0 U R 電路中 u uR R和u uL L可根據(jù)電阻和電感元件兩端的電壓電流 伏安特性關(guān)系確定。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 當(dāng)當(dāng) 0 C u t 0 C u) 53(t C u 0.368U 0.135U 0.050U 0.018U 0.007U 0.002U 2 3 4 6 5 1 e 2 e 3 e 4 e 5

15、 e 6 e t e t e 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 小結(jié)：小結(jié)： 4. 4. 一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。一階電路的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。 1. 1. 一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響一階電路的零輸入響應(yīng)是由儲(chǔ)能元件的初值引起的響 應(yīng)應(yīng) , , 都是由初始值衰減為零的都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)指數(shù)衰減函數(shù)。 2. 2. 衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù)衰減快慢取決于時(shí)間常數(shù) RCRC電路電路 = = RC RC , , RLRL電路電路 = = L L/ /R R 3. 3. 同一電路中同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)所有響

16、應(yīng)具有相同的時(shí)間常數(shù)。 t eyty )0()( 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 u uC C 全響應(yīng)全響應(yīng): : 電源激勵(lì)和儲(chǔ)能元件的初始能量 均不為零時(shí)，電路中的響應(yīng)。 )0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C R1 U1 C + 1 + uC U2 + 2t=0 S 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 ) 0()e1(e 0 tUUu RC t RC t C ) 0( )e( 0 tUUU RC t 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 暫態(tài)分量暫態(tài)分量 全響應(yīng)全響應(yīng) 穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 初始值初始值 t ffftf e)()0()()( 一階線性電路暫態(tài)分析的

17、三要素法 狀態(tài)變量的三要素狀態(tài)變量的三要素 u uC C( (0 + +) )u uC C( ( ) ) = =RCRC i iL L( (0 + +) )i iL L( ( ) ) = =GLGL 設(shè)：動(dòng)態(tài)電路中任一支路電壓(或電流)為f (t) 則：f f (0+ +) 待求響應(yīng)的初始值待求響應(yīng)的初始值 f f ( ) 待求響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值待求響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)值 待求響應(yīng)的待求響應(yīng)的時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù) 任意變量f (t )的三要素 可以證明：f (t )f (t )完全由此三要素決定。完全由此三要素決定。 即： 含源含源 電阻電阻 網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò) 動(dòng)動(dòng) 態(tài)態(tài) 元元 件件 R0 S U C( ) C u t

18、R0 S I L () L i t t ffftf e)()0()()( 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 )(tf t ffftf e)()0()()( 對(duì)于任何形式的直流一階電路，對(duì)于任何形式的直流一階電路， 【三要素法】 穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 初始值初始值時(shí)間常數(shù)時(shí)間常數(shù)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 f f(0(0+ +) )、f f( ( ) )和和 )(tf 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 )(f )0 ( f )0()0()( 6320 fff. 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 即求解即求解直流電阻直流電阻 性電路中的電壓和電流。性電路中的電壓和電流。 【i i c c( ( )=0)=0、 u u L L

19、( ( )=0)=0】 V5 5 55 10 )( C u 66 6 6)( L i mA3 (1)(1)穩(wěn)態(tài)值穩(wěn)態(tài)值 的計(jì)算的計(jì)算)( f 例：例： uC + - t=0 C 10V 1 F S 5k + - L i t =0 3 6 6 6mA S 畫(huà)換路后畫(huà)換路后t=t= 的等效電路的等效電路（電容（電容C C 視為開(kāi)路視為開(kāi)路, ,電感電感L L視為短路）。視為短路）。 在在t=t= 的等效電路中，利用兩類(lèi)約束求各穩(wěn)態(tài)值的等效電路中，利用兩類(lèi)約束求各穩(wěn)態(tài)值。 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 1) 由由t t=0=0- -等效電路求等效電路求)0()0( LC iu、 2) 2) 根據(jù)換

20、路定則求出根據(jù)換路定則求出 獨(dú)立初始值獨(dú)立初始值)0()0( )0()0( LL CC ii uu 3) 3) 畫(huà)畫(huà)t t=0=0+ +時(shí)時(shí)等效電阻電路，求所需非獨(dú)立初始等效電阻電路，求所需非獨(dú)立初始 值量值量 )0( i)0( u或或 電容元件視為短路。; 0 U 其值等于 ，若 0)0( C u (1) 若， 0)0( 0 Uu C 電容元件用恒壓源代替， 0 )0 ( 0 IiL 0)0( L i若若 其值等于其值等于I0 , , 電感元件視為開(kāi)路。 (2) 若若 , 電感元件用恒流源代替 ， 注意：注意： )0( f(2) (2) 初始值初始值 的計(jì)算的計(jì)算 一階線性電路暫態(tài)分析的三要

21、素法 CR0 0 R L 注意：注意： 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 R0 3210 )/(RRRR U0 + - C R0CR0 R1 R2 R3 R1 U + - t=0 C R2 R3 S 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 例例 在下圖中，已知在下圖中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ， C C= = 3 3 F F ，t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t t 0 0 時(shí)時(shí) 的的 u uC C( (t t),),并并畫(huà)出變化曲線畫(huà)出變化曲線。 u uC C(0(0+

22、+) )、u uC C( ( ) )和和 R2 R1 U1 C + 1 + uC U2 + 則：電容相當(dāng)于開(kāi)路。則：電容相當(dāng)于開(kāi)路。 2 t=0 S V2)0()0( 21 12 RR UR uu CC V4)( 21 22 RR UR uC 解解 先確定先確定三要素三要素 因：因：t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)，時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)， 當(dāng)當(dāng)t t0 0電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)，電路處于穩(wěn)態(tài)時(shí)， 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 R2 U1 C + 1 + uC U2 + 2 t=0 S R1V2)0()0( CC uu V4)( C u sCRRm23 3 2 )/( 21 t CCCC uuuu - e)()

23、0()( V)0( t t C u 500- e24 例例 在下圖中，已知在下圖中，已知U U1 1=3V=3V，U U2 2= =+6+6V V，R R1 1=1k=1k ，R R2 2=2k=2k ， C C= = 3 3 F F ，t t00時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求時(shí)電路已處于穩(wěn)態(tài)。用三要素法求t t 0 0 時(shí)時(shí) 的的 u uC C( (t t),),并并畫(huà)出變化曲線畫(huà)出變化曲線。 解解 先確定先確定三要素三要素 210 /RRR 一階線性電路暫態(tài)分析的三要素法 解解 U1 C + 1 + uC U2 + 2 t=0 S R1 R2 t (S) uC (V) 4 0 2 u uC C( (t t) ) 變化變化 曲線曲線 V t C u 500- e24 sm2 V2)0( C u