固體的彈性形變

1、固體的彈性形變第八章 固體的彈性形變內(nèi)容： 、應(yīng)力、應(yīng)變、胡克定律 彈性模量、彈性勢(shì)能、扭轉(zhuǎn)和彎曲形變要求： 要求明確掌握應(yīng)力與應(yīng)變的概念及其相互關(guān)系。掌握楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。了解應(yīng)變勢(shì)能的意義。重點(diǎn)與難點(diǎn)：應(yīng)力與應(yīng)變的概念及其相互關(guān)系。楊氏模量、切變彈性模量、體變彈性模量的概念。作業(yè)：P295 1，2，3，4第八章 固體的彈性形變 在前面的章節(jié)中，我們把物體當(dāng)作剛體看待，認(rèn)為物體受到力的作用后它的形狀不會(huì)改變。但實(shí)際上物體受外力作用時(shí)形狀或多或少地會(huì)發(fā)生變化。當(dāng)外力不很大時(shí)物體形狀變化也不大，如果去掉外力后物體能完全恢復(fù)到原來(lái)的形狀，就稱(chēng)這樣的物體為彈性體，物體相應(yīng)的

2、形變?yōu)閺椥孕巫?。如果作用在物體上的外力很大，引起物體的形變也很大，那么除掉外力后物體就不能完全恢復(fù)到原樣，這種特性稱(chēng)之為物體的塑性，例如汽車(chē)的外殼就是用金屬板模壓而成的，壓完后保持形狀不變?？偟膩?lái)說(shuō)彈性及塑性都是物質(zhì)的重要特性，本章主要討論物體在彈性范圍內(nèi)的形變與外力之間的關(guān)系。 物質(zhì)是由大量的分子組成的，物質(zhì)的彈性來(lái)源于分子間的相互作用力，不過(guò)從宏觀上看可以把整個(gè)物體看成由原子、分子組成的連續(xù)媒質(zhì)，這時(shí)只需研究這種連續(xù)媒介整體受力與整體形變的關(guān)系，而不必考慮物體中每個(gè)分子受力的行為。8.1應(yīng)力與應(yīng)變 1)應(yīng)力 在外力的作用下物體內(nèi)分子之間的距離會(huì)發(fā)生變化從而引起物體內(nèi)分子間相互作用力的變化(

3、也稱(chēng)為物體內(nèi)力的變化)，這種內(nèi)力的變化會(huì)帶來(lái)物體體積的變化。為了從宏觀上描述這種內(nèi)力的變化與物體形狀變化之間的關(guān)系，假想在物體內(nèi)部任取一平面（面元的取向可以是任意的），此平面將物體分開(kāi)為兩部份，若分布在此截面兩邊的內(nèi)力變化為f與，則定義平面上的應(yīng)力為（參見(jiàn)圖8.1.0） 。 （1） 在國(guó)際單位制中，應(yīng)力的單位為牛頓/米2，簡(jiǎn)稱(chēng)為帕。 對(duì)實(shí)際物體來(lái)說(shuō)，如果受到的是拉力或壓力如圖8.1.1所示，常把假想平面的法線取為沿外力的方向，而把上式定義的應(yīng)力稱(chēng)為張應(yīng)力或正應(yīng)力，當(dāng)外力是壓力時(shí)（F= F）也稱(chēng)為壓應(yīng)力統(tǒng)一用 t 表示。顯然在圖8.1.1中假想平面A兩邊內(nèi)力的變化，故張應(yīng)力的大小就是 。 如果作

4、用在物體上的外力是力偶，如圖8.1.2所示，常把假想平面A取為與外力平行，而把（1）式定義的應(yīng)力稱(chēng)為切應(yīng)力或剪應(yīng)力用t表示，它形象地表示出外力偶對(duì)物體的剪切效應(yīng)。顯然在8.1.2圖中假想平面兩邊內(nèi)力的變化，所以假想平面上剪應(yīng)力的大小 。 由此看出剪應(yīng)力與張應(yīng)力的差別只是應(yīng)力t在平行于假想平面還是在垂直于假想平面上投影，但它們的作用效果完全不同。 應(yīng)力的概念對(duì)液體的表面也適用，如圖8.1.3所示。不過(guò)液體的形狀不是固定的它隨容器的形狀變化，而且靜止的液體表面只能承受壓應(yīng)力而不能承受剪應(yīng)力。另外，液體表面的壓應(yīng)力也稱(chēng)為壓強(qiáng)用p表示。如果液體表面的面積為S，液面表面正壓力增加F則液體表面的壓強(qiáng)（應(yīng)力

5、）改變 。 2）應(yīng)變 當(dāng)物體受外力作用時(shí)其長(zhǎng)度、形狀及體積都可能發(fā)生變化，這種變化與物體原來(lái)的長(zhǎng)度、形狀及體積之比稱(chēng)為應(yīng)變。每一種應(yīng)力都有一對(duì)應(yīng)的應(yīng)變，我們把張應(yīng)力作用引起的應(yīng)變稱(chēng)為張應(yīng)變。設(shè)有一柱狀物體（見(jiàn)圖8.8.1）原來(lái)的長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，兩端施以大小相等而反向的拉力 F后物體的長(zhǎng)度變?yōu)長(zhǎng)，這時(shí)柱體的伸長(zhǎng)量為L(zhǎng)L0，由定義 。 在柱體受壓力的情況下，上式也稱(chēng)為壓應(yīng)變。 物體受剪應(yīng)力作用產(chǎn)生的應(yīng)變叫做切應(yīng)變。為方便起見(jiàn)，設(shè)物體為一矩形物 體如圖8.1.4所示，圖中虛線表示物體原來(lái)的形狀，受到剪應(yīng)力后物體的形狀變成實(shí)線所示的形狀。剪應(yīng)力產(chǎn)生的應(yīng)變大小可用角形變f確定，在彈性范圍內(nèi)f角實(shí)際上很小，可

6、以用和Lo的比值表示（以弧度為單位）。由圖8.1.4看出剪應(yīng)變也可以看成是沿物體對(duì)角線方向的拉伸與壓縮形變。我們定義 。 液體表面的壓強(qiáng)變化也能使液體產(chǎn)生壓縮形變，而液體的形變通常是體積形變。我們定義液體的體積變化與原體積比值為液體的體積應(yīng)變，即 。 由應(yīng)變的定義可知，三種應(yīng)變都是沒(méi)有單位的純數(shù)。8.2胡克定律 1)物質(zhì)的彈性 要想知道物質(zhì)彈性的特點(diǎn)可以進(jìn)行各種實(shí)驗(yàn)。拉伸實(shí)驗(yàn)是一個(gè)即簡(jiǎn)單又典型的 實(shí)驗(yàn)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)可以找到物體內(nèi)部應(yīng)力與物體應(yīng)變之間的關(guān)系。 圖8.2.1表示拉伸實(shí)驗(yàn)過(guò)程中樣品的拉伸曲線。在拉力不太大時(shí)，（應(yīng)力在1點(diǎn) 下方）應(yīng)力與應(yīng)變顯線性關(guān)系，不同材料的斜率有所不同，但基本性質(zhì)卻是

7、一 樣的。1點(diǎn)稱(chēng)為比例極限位置，超過(guò)這一點(diǎn)應(yīng)力與應(yīng)變不再呈正比變化。應(yīng)力 變化時(shí)應(yīng)變比開(kāi)始變化更大。雖然應(yīng)力和應(yīng)變之間的關(guān)系在1點(diǎn)與2點(diǎn) 之間不再是線性關(guān)系，但是當(dāng)外力撒去后樣品仍能恢復(fù)到原來(lái)形狀，因此2點(diǎn)也稱(chēng)為彈性極限。當(dāng)物體內(nèi)應(yīng)力超過(guò)2點(diǎn)以后，除去外力后物體的形狀不能完全恢復(fù)到原有的狀態(tài)，有剩余形變存在屬于塑性范圍不再過(guò)多分析。對(duì)一般材料而言，比例極限與彈性極限的位置靠得很近，在精度要求不高的情況下，可以 視比例極限為彈性極限。 從實(shí)驗(yàn)得出的結(jié)論是：在比例極限范圍內(nèi)，物體內(nèi)部的應(yīng)力與物體的應(yīng)變 成正比。應(yīng)力的這一變化范圍稱(chēng)為物體的彈性范圍，物體在彈性范圍內(nèi)發(fā)生 的形變稱(chēng)之為彈性形變，應(yīng)力與

8、應(yīng)變之間的比例系數(shù)稱(chēng)之為物體的彈性模量。 由于應(yīng)變是無(wú)量綱的純數(shù)，所以在國(guó)際單位制中彈性模量的單位是牛頓/米2或 者帕Pa。 2)胡克定律 在彈性范圍內(nèi)任一彈性體內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變成正比，比例系數(shù)為彈性體的彈性 模量，這一結(jié)論稱(chēng)為胡克定律。它是從大量的實(shí)驗(yàn)中總結(jié)出來(lái)的，不僅對(duì)張 應(yīng)力成立對(duì)剪應(yīng)力也成立，下面就來(lái)分析胡克定律的幾種常見(jiàn)表達(dá)式。 如圖8.1.1所示，物體受到拉力或壓力時(shí)會(huì)發(fā)生拉伸或壓縮形變，通常把描述 彈性體的拉伸或壓縮彈性模量稱(chēng)為揚(yáng)氏模量用Y 表示，于是描述張應(yīng)力與張應(yīng)變關(guān)系的胡克定律可寫(xiě)成。 物體受剪應(yīng)力時(shí)（如圖8.1.2），我們把物體橫向彈性形變的彈性模量稱(chēng)為切 變模量用 G表示

9、，這樣描述剪應(yīng)力與切應(yīng)變關(guān)系的胡克定律可表述為。 對(duì)液體表面的壓強(qiáng)變化引起的體積應(yīng)變，我們把壓強(qiáng)變化與體積應(yīng)變的比值 稱(chēng)為液體的體積彈性模量用k表示，相應(yīng)的胡克定律就可以表示成 。 因?yàn)閴簭?qiáng)增加時(shí)（Dp0）液體的體積減小，所以胡克定律中包含一負(fù)號(hào)。體積 彈性模量的倒數(shù)也稱(chēng)為體積壓縮系數(shù)，按照上式壓縮系數(shù)可定義為 。 由此看出體積壓縮系數(shù)是增加單位壓強(qiáng)時(shí)體積的相對(duì)變化，也就是增加單位壓 強(qiáng)時(shí)的體積應(yīng)變量。 為了對(duì)彈性模量的大小有一個(gè)數(shù)量級(jí)的概念，附表中給出了幾種常見(jiàn)材料的彈性模量，單位是牛頓/米2。一般材料的彈性模量數(shù)值可以通過(guò)查閱手冊(cè)的方式得到。物體的一般形變都可以看成物體的兩種基本彈性形變的

10、組合形式即伸縮與切變，例如彎曲和扭轉(zhuǎn)等。表8-1 常用材料的彈性模量 材料楊氏模量 切變模量 鋼20101081010 鍛鐵19101071010 銅11101041010 鋁710102.41010 鉛1.310100.51010 8.3 物體的拉伸與壓縮 泊松比 1)泊松比當(dāng)物體受一對(duì)大小相等方向相反的拉力時(shí)，物體不僅沿外力的方向會(huì)伸長(zhǎng)，垂直于外力方向上（橫向）尺寸也會(huì)縮短。如柱狀物體兩端受到拉力時(shí)，沿拉力方向物體的尺寸會(huì)伸長(zhǎng)，而垂直于拉力方向上物體的尺寸會(huì)縮短。一般來(lái)說(shuō)，當(dāng)物體受拉力或壓力時(shí)除了縱向（沿拉力方向）會(huì)發(fā)生應(yīng)變以外，橫向也會(huì)有應(yīng)變。通常把同一物體的橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的比值定義

11、為物體的泊松比用h表示 。 式中的負(fù)號(hào)表示橫向應(yīng)變與縱向應(yīng)變的符號(hào)相反，若縱向應(yīng)變?cè)黾觿t橫向應(yīng)變 減小，縱向長(zhǎng)度縮小橫向?qū)挾染驮龃?，泊松比保持為一正值。?shí)驗(yàn)資料表明， 大多數(shù)物質(zhì)的泊松比在0.3左右。 2)固體的拉伸 為進(jìn)一步了解泊松比的意義和它在固體彈性形變中的作用，我們來(lái)討論物體在 拉伸后體積的變化。假定物體為六面體，在無(wú)外力作用時(shí)三邊的長(zhǎng)度分別為a，b，c。設(shè)有一對(duì)大小相等方向相反的拉力F（對(duì)壓力F= F）作用于物體的上 、下兩個(gè)面，見(jiàn)圖8.3.1。如果沿拉力的方向上物體伸長(zhǎng)了a其應(yīng)變量為 ， 由胡克定律 ， 可以求出沿拉力方向上物體的應(yīng)變 。 雖然拉力只是沿z軸方向，但物體在橫向即x軸

12、方向和y軸方向也會(huì)產(chǎn)生應(yīng)變。橫向應(yīng)變的大小可用泊松比計(jì)算 ， 及 。 當(dāng)縱向拉長(zhǎng)（Da0）時(shí)，橫向Db、Dc減少。物體原來(lái)的體積是v=abc，.拉伸后體積改變量為 ， 于是體積應(yīng)變 。 利用前面兩式得 , 上式說(shuō)明體積應(yīng)變與張應(yīng)變是可以通過(guò)泊松比相聯(lián)系的。一般情況下，泊松比 h的值總是小于0.5的，所以張應(yīng)力作用下體積應(yīng)變總是正值，也就是說(shuō)物體受到拉伸的情況下物體的體積總是增大的。反之，當(dāng)物體受壓力作用時(shí)為負(fù)數(shù)，物體的體積總是減少的，這時(shí)體積應(yīng)變?yōu)?3）壓縮系數(shù) 現(xiàn)在設(shè)想上面提到的六面體是正六面體，為方便起見(jiàn)，假定立方體六個(gè)面的 表面積均為A。如果在六面體的每個(gè)表面施加正壓力F，這時(shí)在六面體的

13、六個(gè) 面上都有同樣大小壓應(yīng)力的作用（其大小為F/A），物體總體積應(yīng)變?yōu)橐粚?duì)壓 應(yīng)力的3倍，由上式知道這時(shí)立方體的體積應(yīng)變?yōu)?。 注意到物體表面的正壓力F與壓強(qiáng)的關(guān)系是，于是上面的式子還可表 示成 。 由體積彈性模量的定義 ， 可以得到下式 。 這就是體積彈性模量與揚(yáng)氏模量之間的關(guān)系，它們可由泊松比聯(lián)系。另外，根 據(jù)彈性理論還可以證明揚(yáng)氏模量與切變模量有如下關(guān)系 。 當(dāng)然，也可反過(guò)來(lái)用切變模量及體積彈性模量表示揚(yáng)氏模量與泊松比 ， 。 8.4彎曲與扭轉(zhuǎn) 1)橋梁的彎曲當(dāng)橋梁負(fù)載重量時(shí)就會(huì)發(fā)生彎曲。為方便起見(jiàn)，假定橋梁的橫截面為矩形（其高度為h寬度為b），橋梁的長(zhǎng)度為d，兩端點(diǎn)支撐力為N1、N2，

14、橋梁全部負(fù)荷為P。橋梁受力后會(huì)發(fā)生彎曲形變?nèi)鐖D8.4.1所示。假定全部負(fù)荷集中在橋梁的 中點(diǎn)，于是。為分析橋梁內(nèi)部的應(yīng)力，在橋梁中點(diǎn)假想截面cc把橋梁從中間分開(kāi)，成為左右兩段。從圖8.4.1中可以看出，以cc為參照點(diǎn)，兩段各受一方向彼此相反的力偶矩，其大小為，此力矩是橋梁的兩端點(diǎn)處外力引起的記為N外。 當(dāng)橋梁處于平衡狀態(tài)時(shí)，橋梁的橫截面cc上必有一內(nèi)力矩與外力矩大小相等、方向相反。為了分析內(nèi)力矩，設(shè)想將橋梁分成上下許多層，當(dāng)橋梁向上彎曲時(shí)，上層受到壓縮下層被拉伸，中間可視可無(wú)應(yīng)變（力）的中性層。cc面上的張應(yīng)力分布如圖8.4.1 所示，上層有壓應(yīng)力下層有張應(yīng)力，總的效果相當(dāng)于一個(gè)力偶矩，這就是

15、橋梁的內(nèi)力矩N內(nèi)。為了計(jì)算N內(nèi)，首先分析橋梁的應(yīng)變，設(shè)彎曲橋梁的曲率半徑為R，曲率中心位于o點(diǎn)。如圖8.4.1所示，橋梁對(duì)c點(diǎn)所張的角為q = d/R，其中d是梁的長(zhǎng)度。在cc面上以中性層為坐標(biāo)原點(diǎn)，取z軸沿橋、 梁高度方向，則坐標(biāo)為z處那一層的長(zhǎng)度q(R-z)=d(R-z)/R=d-dz/R。這樣該層的長(zhǎng)度變化Dd=-dz/R，相應(yīng)的應(yīng)變?yōu)镈d/d=-z/R ，由胡克定律DF/DA=YDd/d=-zY/R。對(duì)高度dz的一層橫截面積dA=bdz，所以該面上的作用內(nèi)力dF= -(zbY)/R dz，這個(gè)力對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)（o點(diǎn)）的力矩 dN= z dF= -(z2bY) /R dz，于是作用在整個(gè)假想

16、面上的總內(nèi)力矩 ， 負(fù)號(hào)表示內(nèi)力矩與外力矩方向相反。由于橋梁平衡時(shí)受到的外力矩必定與內(nèi)力矩相等，即有，由此求得橋梁的曲率 。 上式表明在一定的負(fù)荷下，橋梁的彎曲程度與橋梁的寬度一次方和梁高度的三次方成正比。由此可見(jiàn)，為提高橋梁的抗彎曲能力增加橋梁的高度比增加橋梁的寬度更有效。另外，橋梁的中性層對(duì)抗彎能力沒(méi)有多大的影響，故在工程中廣泛采用工字鋼，空心鋼管等構(gòu)件，即能保證不影響梁的抗彎曲能力又能減輕重量節(jié)約材料。 2)桿的扭轉(zhuǎn) 在一根桿的兩端沿著桿的方向施以反向的扭轉(zhuǎn)力矩時(shí)，桿就會(huì)發(fā)生彈性扭轉(zhuǎn)形變。任何傳遞能量的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上都可以出現(xiàn)這種扭轉(zhuǎn)情況，例如汽車(chē)的傳動(dòng)軸，電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)軸上都有扭轉(zhuǎn)力矩，我們平時(shí)開(kāi)啟螺旋瓶蓋，扭干洗過(guò)的衣服都屬于扭轉(zhuǎn)情況。這里我們以棒的扭轉(zhuǎn)為例討論扭轉(zhuǎn)過(guò)程的力學(xué)規(guī)律。 將棒的上端固定，在下端加一力矩N，這時(shí)整個(gè)下端的截面相對(duì)上端的截面扭轉(zhuǎn)了角。如圖8.4.2所示，可以認(rèn)為力矩的切向力是分布在整個(gè)截面上的。 設(shè)想在棒的內(nèi)部取一半徑為厚度為dr假想截面，作用在此面上的切向力記為dF。扭轉(zhuǎn)的結(jié)果使直線AB轉(zhuǎn)到AC的位置，使下底相對(duì)上頂產(chǎn)生一切應(yīng)變，作用于此截面上的應(yīng)力由胡定律 ， 而dF對(duì)圓心的力矩 。 這個(gè)力矩是分布在半