金融計量學Lecture10-1

1、金融計量學金融計量學Lecture10-1 第十章第十章 金融計量中的條件異方差模型金融計量中的條件異方差模型 10.1 10.1 背景介紹背景介紹 10.2 ARCH 10.2 ARCH 模型模型 10.3 GARCH 10.3 GARCH 模型模型 10.4 10.4 非對稱非對稱GARCH GARCH 模型模型 10.5 10.5 其他其他GARCH GARCH 模型模型 10.1 10.1 背景介紹背景介紹 AR模型因為自身經(jīng)常表現(xiàn)出較高的平 滑性而可以用來捕捉相對頻率較低的時 間序列變量，如月度、季度通脹率、GDP 增長率等。對這樣的時間序列數(shù)據(jù)其進 行AR模型回歸之后的殘差序列一般

2、不表 現(xiàn)出很強的異方差性。 圖圖10-1 10-1 中國真實中國真實GDPGDP 與其與其AR(6)AR(6)模型殘差序列模型殘差序列 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 198119841987199019931996199920022005 RGDPGROWTH -0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 198119841987199019931996199920022005 Residuals 圖圖10-2 10-2 道瓊斯平均指數(shù)收道瓊斯平均指數(shù)收 益

3、率與中國國際股票收益率益率與中國國際股票收益率 -0.08 -0.06 -0.04 -0.02 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 199019921994199619982000200220042006 Dow Jones Return -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 20022003200420052006 China International Stock Return 31 Jan 2002 to 26 Jan 2007 圖圖10-3 10-3 標準普爾標準普爾500500股票收股票收 益率及其益率及其AR(1)AR(1)模型殘差序列模型殘差序列 -0.25

4、-0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 19561963197019771984199119982005 SP500RETURN -0.25 -0.20 -0.15 -0.10 -0.05 0.00 0.05 0.10 19561963197019771984199119982005 Residuals of AR(1) SP500RETURN 10.2 ARCH 10.2 ARCH模型模型 10.2.1 ARCH 10.2.1 ARCH模型的定義模型的定義 ARCH模型的核心思想是，誤差項在 時刻t的方差依賴于時刻t1的誤差平方 的大小。因此，在ARCH

5、建模的過程中， 要涉及到兩個核心的模型回歸過程，即 原始的回歸模型（常被稱為條件均值回 歸模型）和方差的回歸模型（條件異方 差回歸模型）。 ARCH(1)模型的基本組成形式： 其中： 和 分別表示因變量和自變量， 表示無序列相關(guān)性的隨機擾動項。 表示 在t時刻隨機擾動項的方差，因為方差隨 時間變化，并且以過去的擾動項的信息 為變化條件，所以稱為“條件異方差”。 t y t x t u 2 22 1 2 011 , (0,)(10.1) (). ttttt ttt t yxu uN E u u u （102） 2 t 模型(10.1) 表示原始回歸模型， 在ARCH以及后面介紹的GARCH模型系

6、統(tǒng) 中，經(jīng)常被稱為“條件均值等式”， 或者簡稱為“均值等式”。而模型 (10.2)體現(xiàn)的ARCH模型的核心內(nèi)容， 該等式被稱為“條件方差等式”，或 者簡稱為“方差等式”。 注意，凡是提到ARCH模型，實際 上一定包含模型(10.1)和(10.2)這樣 的兩個等式，缺一不可。另外，“方 差等式”模型(10.2)有時候也可以寫 成下面的形式，即： (10.3) 2 01 (0,1) ttt tt t uvh hu vN 模型(10.1)和(10.2)構(gòu)成了 ARCH(1)模型，而更一般的，我們可以 將這個模型系統(tǒng)拓展到ARCH(p)的形式， 即： 2 22 12 222 01122 , (0,).

7、 (,). ttttt tttt ttp t p yxu uN E u uu uuu （104） （105） 圖圖10-3 10-3 標普標普500500股票收益率股票收益率AR(1)AR(1) 模型殘差及殘差平方項的樣本模型殘差及殘差平方項的樣本ACFACF -0.05 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 5101520253035 ACF: Resid_squared ACF: Residuals 圖10-3可觀察到，殘差項自身在各期 之間沒有表現(xiàn)出明顯的自相關(guān)性，而其平 方項呈現(xiàn)出較強的自相關(guān)性，說明殘差平 方項可能符合自回歸模型的特點。 所以，我們可以通過 的歷史信息來

8、預測 。一般情況下，我們經(jīng)常會觀察到 殘差平方項之間存在一定的正相關(guān)性。這 就是我們常說的股票市場波動性的集群現(xiàn) 象，從圖10-2中我們已經(jīng)看到這樣的現(xiàn)象。 2 t u 2 t u ARCH模型突出了條件期望的概念， 而在傳統(tǒng)的回歸模型當中，我們以前 經(jīng)常使用的是無條件方差的概念。為 了說明問題，我們以AR(1)模型 為例。這里，對擾動項 的無條件方差和條件方差可以分別寫 成： 1ttt ycyu 2 2 (0,) (0,) t tt uN uN 無條件： 有條件： 無條件有條件 E(yt)=c/1- c/1- E(yt|It-1)=c+ c+ E(ut)=00 E(ut |It-1)=00

9、E( )= E( |It-1)= 1t y 1t y 2 t u 2 2 2 t u 2 2 t 1t y 1t y 2 2 2 2 t 10.2.2 ARCH10.2.2 ARCH模型的屬性模型的屬性 22 2222 01122 2 12 2 22 0 12 . . 10. (). 1 ttt tttpt pt m p t t p u uuuu ARCH zzz u E u （106） （107） 模型的方差等式的平穩(wěn)條件： （108） 的所有根都落在單位圓外。 的無條件期望： （109） 10.2.3 ARCH 10.2.3 ARCH模型的估計與檢驗模型的估計與檢驗 利用模型(10.7)還

10、可以對回歸模型的參差項 進行直接檢驗ARCH效應。步驟如下： 2222 1122 012 1 2 1 2 :0 3 :0 ()*. tttt tttpt pt p yxuu ucuuu H H ARCH LMTest ARCH LMT R （）首先利用OLS回歸，獲得殘差序列 ； （ ）然后回歸； （）進行假設(shè)檢驗。 至少有一個 不為 檢驗統(tǒng)計量的計算公式： （1014） 圖圖10-5 EViews10-5 EViews中中 ARCH LMARCH LM檢驗對話框檢驗對話框 圖圖10-6 EViews10-6 EViews中中 ARCHARCH效應檢驗結(jié)果效應檢驗結(jié)果 10.3 GARCH 1

11、0.3 GARCH模型模型 10.3.1 GARCH(1,1) 10.3.1 GARCH(1,1)模型的基本定義模型的基本定義 GARCH(1,1)模型的基本表達形式： (10.16) 由于GARCH(1,1)模型的方差等式比 ARCH模型的方差等式多了一項，為了便 于區(qū)分， 被稱為ARCH項，而 稱為 GARCH項。 2 222 01111 , (0,) ttttt ttt yxu uN u 2 1t u 2 1t 1 222 01111 222 01111 22 1011 212 1011 2222 0 11112113 1 22 0 11 1 1 (1) (1) () 1 1 j ttt

12、 ttt tt tt ttt ttj j u u Lu Lu uuu u 應用滯后算子，可以將 重新寫成以下形式： 即： 10.3.2 GARCH(q,p)10.3.2 GARCH(q,p)模型模型 (10.21) 2 222 0 11 ( , ) , (0,) ttttt pq ti t ijt ij GARCH p q yxu uN u j 的基本形式： 10.3.3 GARCH 10.3.3 GARCH模型的屬性模型的屬性 222 0 11 22 222 0 11 22 0 11 . . (). ().28 max( ,) pq tit ijt ij ttt pq ttit ijtjtj

13、 ij qm tiit itjtj ij u u uuu uu mq p j （1026） 將代入模型（1026）,可得： （1027） （10） 其中：。 對于模型（10.28），如果下列方程 （10.29） 的根都落在單位圓外，即滿足平穩(wěn)條件: （10.30） 的根都落在單位圓外，那么GARCH模型系統(tǒng) 中的方差等式為平穩(wěn)過程。 另外， （10.31） 1 1()0 m i iit i i z 2 1122 1 ()()()0 m mm zzz 22 0 1 ( ) 1() tm ii i E u 10.3.4 GARCH 10.3.4 GARCH模型的估計與檢驗模型的估計與檢驗 這里，我

14、們介紹的GARCH模型的估 計過程，通過同時設(shè)立均值等式和方差 等式，然后直接獲得估計結(jié)果。而ARCH 模型只不過是GARCH模型的一個特殊情 況，所以這里介紹的GARCH模型估計過 程和估計方法等，同樣適用于ARCH模型。 要估計GARCH模型，首先要明確 組成一個GARCH模型的均值等和方差等 式的具體形式。 例如，如果我們要對標準普爾 500股票收益率 進行AR(1)回歸，并 檢驗回歸殘差項是否具有GARCH效應， 那么可以設(shè)立下面的GARCH(1,1)模型， 即： (10.32) t R 2 1 222 01111 ,(0,) ttttt ttt RcRu uN u 圖圖10-7 EV

15、iews10-7 EViews中中 ARCHARCH效應檢驗結(jié)果效應檢驗結(jié)果 正態(tài)分布、t分布和廣義誤差分布 對應的t時刻的對數(shù)似然函數(shù)分別為： 2 2 2 22 2 22 /2 22 2 22 111 ()ln(2 )ln() 222 1(2) (/2)1(1) ( )ln()ln 1 2(1)/222(2) (3/ )1(1/ )1 ()ln() 2(3/ )( /2)2(1/ ) t tt t t tt t r t tt t u l normal udfdfdf l t dfdf r ur l ged r rr 表表10-3 10-3 標普標普500500股票收益率的股票收益率的 GAR

16、CHGARCH（1,11,1）估計結(jié)果）估計結(jié)果t t分布結(jié)果分布結(jié)果 Dependent Variable: SP500RETURN Method: ML - ARCH (Marquardt) - Students t distribution Sample (adjusted): 1/05/1950 4/13/2007 Included observations: 14409 after adjustments Convergence achieved after 15 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GA

17、RCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)2 + C(5)*GARCH(-1) Coefficien tStd. Errorz-StatisticProb. C0.0004725.37E-058.7902140.0000 SP500RETURN(-1)0.1108510.00838813.214670.0000 Variance Equation C5.54E-078.50E-086.5181200.0000 RESID(-1)20.0694400.00423116.411870.0000 GARCH(-1)0.9250400.004288215.71740.0000 T-DIST

18、. DOF7.0826720.33353821.234960.0000 R-squared0.004526 Mean dependent var0.000349 Adjusted R-squared0.004180 S.D. dependent var0.008900 S.E. of regression0.008882 Akaike info criterion-6.955589 Sum squared resid1.136135 Schwarz criterion-6.952435 Log likelihood50117.54 Hannan-Quinn criter.-6.954540 F

19、-statistic13.09545 Durbin-Watson stat2.056719 Prob(F-statistic)0.000000 表表10-4 10-4 標普標普500500股票收益率的股票收益率的 GARCH(1,1)GARCH(1,1)估計結(jié)果估計結(jié)果gedged分布假設(shè)分布假設(shè) Dependent Variable: SP500RETURN Method: ML - ARCH (Marquardt) - Generalized error distribution (GED) Included observations: 14409 after adjustments Co

20、nvergence achieved after 18 iterations Presample variance: backcast (parameter = 0.7) GARCH = C(3) + C(4)*RESID(-1)2 + C(5)*GARCH(-1) Coefficien tStd. Errorz-StatisticProb. C0.0004685.23E-058.9523690.0000 SP500RETURN(-1)0.1023570.00817112.526440.0000 Variance Equation C6.03E-079.13E-086.6025020.0000

21、 RESID(-1)20.0722030.00367119.668560.0000 GARCH(-1)0.9219220.003960232.82860.0000 GED PARAMETER1.3724330.013545101.32140.0000 R-squared0.005049 Mean dependent var0.000349 Adjusted R-squared0.004704 S.D. dependent var0.008900 S.E. of regression0.008879 Akaike info criterion-6.947426 Sum squared resid1.135537 Schwarz criterion-6.944272 Log likelihood50058.73 Hannan-Quinn criter.-6.946378 F-statistic14.61906 Durbin-Watson stat2.040630 Prob(F-statistic)0.000000 10.3.5 GARCH 10.3.5