第05章 時(shí)間序列模型 (課件)

1、1 關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)我們已經(jīng)在關(guān)于標(biāo)準(zhǔn)回歸技術(shù)及其預(yù)測(cè)和檢驗(yàn)我們已經(jīng)在 前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時(shí)間序列模型的前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時(shí)間序列模型的 估計(jì)和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法，估計(jì)和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法， 第第9章我們還會(huì)討論時(shí)間序列的向量自回歸模型。章我們還會(huì)討論時(shí)間序列的向量自回歸模型。 這一部分屬于動(dòng)態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。通常是這一部分屬于動(dòng)態(tài)計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)的范疇。通常是 運(yùn)用時(shí)間序列的過去值、當(dāng)期值及滯后擾動(dòng)項(xiàng)的加運(yùn)用時(shí)間序列的過去值、當(dāng)期值及滯后擾動(dòng)項(xiàng)的加 權(quán)和建立模型，來權(quán)和建立模型，來“解釋解釋”時(shí)間序列的變化規(guī)律。時(shí)間序列的

2、變化規(guī)律。 2 第第3章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)章在對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)ut的一系列假設(shè)下，討論了古典線性的一系列假設(shè)下，討論了古典線性 回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)問題。如果線性回歸方程的回歸模型的估計(jì)、檢驗(yàn)及預(yù)測(cè)問題。如果線性回歸方程的 擾動(dòng)項(xiàng)擾動(dòng)項(xiàng)ut 滿足古典回歸假設(shè)，使用滿足古典回歸假設(shè)，使用OLS所得到的估計(jì)量是所得到的估計(jì)量是 線性無偏最優(yōu)的。線性無偏最優(yōu)的。 但是如果擾動(dòng)項(xiàng)但是如果擾動(dòng)項(xiàng)ut不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的不滿足古典回歸假設(shè)，回歸方程的 估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng)估計(jì)結(jié)果會(huì)發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實(shí)踐均證明，擾動(dòng) 項(xiàng)項(xiàng)ut關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方

3、關(guān)于任何一條古典回歸假設(shè)的違背，都將導(dǎo)致回歸方 程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立程的估計(jì)結(jié)果不再具有上述的良好性質(zhì)。因此，必須建立 相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模相關(guān)的理論，解決擾動(dòng)項(xiàng)不滿足古典回歸假設(shè)所帶來的模 型估計(jì)問題。型估計(jì)問題。 3 對(duì)于線性回歸模型對(duì)于線性回歸模型 (5.1.1) 隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為隨機(jī)誤差項(xiàng)之間不相關(guān)，即無序列相關(guān)的基本假設(shè)為 (5.1.2) 如果擾動(dòng)項(xiàng)序列如果擾動(dòng)項(xiàng)序列ut表現(xiàn)為：表現(xiàn)為： (5.1.3) tktkttt uxxxy 22110 Ttsuu stt ,2,1,00),cov( Tt

4、suu stt ,2,1,00),cov( 4 即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互即對(duì)于不同的樣本點(diǎn)，隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)之間不再是完全相互 獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān)獨(dú)立的，而是存在某種相關(guān)性，則認(rèn)為出現(xiàn)了序列相關(guān) 性（性（serial correlation）。由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服）。由于通常假設(shè)隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)都服 從均值為從均值為0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以，同方差的正態(tài)分布，則序列相關(guān)性也可以 表示為：表示為： (5.1.4) 特別的，如果僅存在特別的，如果僅存在 (5.1.5) 稱為稱為一階序列相關(guān)一階序列相關(guān)，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。

5、，這是一種最為常見的序列相關(guān)問題。 TtsuuE stt ,2,1,00),( TtuuE tt ,2,10),( 1 5 如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用如果回歸方程的擾動(dòng)項(xiàng)存在序列相關(guān)，那么應(yīng)用 最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低最小二乘法得到的參數(shù)估計(jì)量的方差將被高估或者低 估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的估。因此，檢驗(yàn)參數(shù)顯著性水平的t統(tǒng)計(jì)量將不再可信。統(tǒng)計(jì)量將不再可信。 可以將序列相關(guān)可能引起的后果歸納為：可以將序列相關(guān)可能引起的后果歸納為： 使用使用OLS公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的公式計(jì)算出的標(biāo)準(zhǔn)差不正確，相應(yīng)的顯顯 著性水平的檢驗(yàn)不再可信著性水平的檢驗(yàn)不

6、再可信 ； 如果在方程右邊有滯后因變量，如果在方程右邊有滯后因變量，OLS估計(jì)是有估計(jì)是有 偏的且不一致。偏的且不一致。 在線性估計(jì)中在線性估計(jì)中OLS估計(jì)量不再是有效的；估計(jì)量不再是有效的； 6 EViews提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但提供了檢測(cè)序列相關(guān)和估計(jì)方法的工具。但 首先必須排除虛假序列相關(guān)。首先必須排除虛假序列相關(guān)。虛假序列相關(guān)是指模型虛假序列相關(guān)是指模型 的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。的序列相關(guān)是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。 例如例如，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個(gè)重要 的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就

7、被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。的解釋變量，資本對(duì)產(chǎn)出的影響就被歸入隨機(jī)誤差項(xiàng)。 由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù)由于資本在時(shí)間上的連續(xù)性，以及對(duì)產(chǎn)出影響的連續(xù) 性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情性，必然導(dǎo)致隨機(jī)誤差項(xiàng)的序列相關(guān)。所以在這種情 況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。 7 EViews提供了以下幾種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。提供了以下幾種檢測(cè)序列相關(guān)的方法。 1D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn) Durbin-Watson 統(tǒng)計(jì)量（簡稱統(tǒng)計(jì)量（簡稱D.W.統(tǒng)計(jì)量）用于統(tǒng)計(jì)量）用于 檢驗(yàn)一階序列相關(guān)，還可估算回歸模型鄰近殘差的線檢驗(yàn)一階序列相關(guān)

8、，還可估算回歸模型鄰近殘差的線 性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)性聯(lián)系。對(duì)于擾動(dòng)項(xiàng)ut建立一階自回歸方程：建立一階自回歸方程： (5.1.6) D.W.統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量檢驗(yàn)的原假設(shè)：原假設(shè)： = 0，備選假設(shè)是，備選假設(shè)是 0。 ttt uu 1 8 如果序列不相關(guān)，如果序列不相關(guān)，D.W.值在值在2附近。附近。 如果存在正序列相關(guān)，如果存在正序列相關(guān)，D.W.值將小于值將小于2。 如果存在負(fù)序列相關(guān)，如果存在負(fù)序列相關(guān)，D.W.值將在值將在24之間。之間。 正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有大于正序列相關(guān)最為普遍，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)于有大于50 個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，個(gè)觀測(cè)值和較少解釋變量的方程，D

9、.W.值小于值小于1.5的情的情 況，說明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。況，說明殘差序列存在強(qiáng)的正一階序列相關(guān)。 ) 1 (2 )( . 1 2 2 2 1 T t t T t tt u uu WD 9 1D-W統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣統(tǒng)計(jì)量的擾動(dòng)項(xiàng)在原假設(shè)下依賴于數(shù)據(jù)矩陣X。 2回歸方程右邊如果存在滯后因變量，回歸方程右邊如果存在滯后因變量，D-W檢驗(yàn)不再檢驗(yàn)不再 有效。有效。 3僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。僅僅檢驗(yàn)是否存在一階序列相關(guān)。 其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：其他兩種檢驗(yàn)序列相關(guān)方法：Q-統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量和Breush- Godfrey LM檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大

10、多數(shù)場(chǎng)合。檢驗(yàn)克服了上述不足，應(yīng)用于大多數(shù)場(chǎng)合。 10 我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自我們還可以應(yīng)用所估計(jì)回歸方程殘差序列的自 相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)（在本章5.2.4節(jié)給出相應(yīng)的公節(jié)給出相應(yīng)的公 式），以及式），以及Ljung-Box Q - 統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān)。統(tǒng)計(jì)量來檢驗(yàn)序列相關(guān)。 Q - 統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為：統(tǒng)計(jì)量的表達(dá)式為： 其中：其中：rj是殘差序列的是殘差序列的 j 階自相關(guān)系數(shù)，階自相關(guān)系數(shù)，T是觀測(cè)值的是觀測(cè)值的 個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)，p是設(shè)定的滯后階數(shù)是設(shè)定的滯后階數(shù) 。 p j j LB jT r TTQ 1 2 2 (5.1.7) 11 p階滯后的

11、階滯后的Q - 統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的原假設(shè)是：序列不存在原假設(shè)是：序列不存在 p階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在階自相關(guān)；備選假設(shè)為：序列存在p階自相關(guān)階自相關(guān)。 如果如果Q - 統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，統(tǒng)計(jì)量在某一滯后階數(shù)顯著不為零， 則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的則說明序列存在某種程度上的序列相關(guān)。在實(shí)際的 檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的檢驗(yàn)中，通常會(huì)計(jì)算出不同滯后階數(shù)的Q - 統(tǒng)計(jì)量、統(tǒng)計(jì)量、 自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階自相關(guān)系數(shù)和偏自相關(guān)系數(shù)。如果，各階Q - 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，量都沒有超過由設(shè)定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值

12、， 則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各則接受原假設(shè)，即不存在序列相關(guān)，并且此時(shí)，各 階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于階的自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)都接近于0。 12 反之，如果，在某一滯后階數(shù)反之，如果，在某一滯后階數(shù)p，Q - 統(tǒng)計(jì)量超過設(shè)統(tǒng)計(jì)量超過設(shè) 定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設(shè)，說明殘差序列 存在存在p階自相關(guān)。由于階自相關(guān)。由于Q-統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的P值要根據(jù)自由度值要根據(jù)自由度p來估來估 算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證算，因此，一個(gè)較大的樣本容量是保證Q- 統(tǒng)計(jì)量有效的統(tǒng)計(jì)量有效的 重要因素。重要因素。 在在EViews

13、軟件中的操作方法：軟件中的操作方法： 在方程工具欄選擇在方程工具欄選擇View/Residual Tests/correlogram- Q-statistics 。EViews將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函將顯示殘差的自相關(guān)和偏自相關(guān)函 數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的數(shù)以及對(duì)應(yīng)于高階序列相關(guān)的Ljung-Box Q統(tǒng)計(jì)量。統(tǒng)計(jì)量。如果如果 殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值殘差不存在序列相關(guān)，在各階滯后的自相關(guān)和偏自相關(guān)值 都接近于零。所有的都接近于零。所有的Q-統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的統(tǒng)計(jì)量不顯著，并且有大的P值值。 13 下面是這些檢驗(yàn)程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計(jì)下面

14、是這些檢驗(yàn)程序應(yīng)用的例子，考慮用普通最小二乘估計(jì) 的簡單消費(fèi)函數(shù)的結(jié)果：的簡單消費(fèi)函數(shù)的結(jié)果： 14 瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是很顯著的，并瀏覽這些結(jié)果：系數(shù)在統(tǒng)計(jì)上是很顯著的，并 且擬合得很好。但是，如果誤差項(xiàng)是序列相關(guān)的，且擬合得很好。但是，如果誤差項(xiàng)是序列相關(guān)的， 那么估計(jì)那么估計(jì)OLS標(biāo)準(zhǔn)誤差將是無效的，并且估計(jì)系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差將是無效的，并且估計(jì)系數(shù) 由于在方程右端有滯后因變量會(huì)發(fā)生偏倚和不一致。由于在方程右端有滯后因變量會(huì)發(fā)生偏倚和不一致。 在這種情況下在這種情況下D-W統(tǒng)計(jì)量作為序列相關(guān)的檢驗(yàn)是不統(tǒng)計(jì)量作為序列相關(guān)的檢驗(yàn)是不 合適的，因?yàn)樵诜匠逃叶舜嬖谥粋€(gè)滯后因變量。合適的，因?yàn)?/p>

15、在方程右端存在著一個(gè)滯后因變量。 選擇選擇View/Residual test/Correlogram-Q-statistice會(huì)會(huì) 產(chǎn)生如下情況：產(chǎn)生如下情況： 15 16 虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì)虛線之間的區(qū)域是自相關(guān)中正負(fù)兩倍于估計(jì) 標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)，標(biāo)準(zhǔn)差所夾成的。如果自相關(guān)值在這個(gè)區(qū)域內(nèi)， 則在顯著水平為則在顯著水平為5%的情形下與零沒有顯著區(qū)別。的情形下與零沒有顯著區(qū)別。 本例本例13階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說階的自相關(guān)系數(shù)都超出了虛線，說 明存在明存在3階序列相關(guān)。各階滯后的階序列相關(guān)。各階滯后的Q-統(tǒng)計(jì)量的統(tǒng)計(jì)量的P 值都小于值都小于5

16、%，說明在，說明在5%的顯著性水平下，拒的顯著性水平下，拒 絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。絕原假設(shè)，殘差序列存在序列相關(guān)。 17 與與D.W.統(tǒng)計(jì)量僅檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相統(tǒng)計(jì)量僅檢驗(yàn)擾動(dòng)項(xiàng)是否存在一階自相 關(guān)不同，關(guān)不同，Breush-Godfrey LM檢驗(yàn)（檢驗(yàn)（Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn)，即拉格朗日乘數(shù)檢驗(yàn)）也可應(yīng)用于檢驗(yàn) 回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關(guān)，而且在 方程中存在滯后因變量的情況下，方程中存在滯后因變量的情況下，LM檢驗(yàn)仍然有檢驗(yàn)仍然有 效。效。 LM檢驗(yàn)原假設(shè)為：直到檢驗(yàn)

17、原假設(shè)為：直到p階滯后不存在序列相階滯后不存在序列相 關(guān)，關(guān)，p為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在為預(yù)先定義好的整數(shù)；備選假設(shè)是：存在p階階 自相關(guān)。自相關(guān)。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量由如下輔助回歸計(jì)算。 18 1）估計(jì)回歸方程，并求出殘差）估計(jì)回歸方程，并求出殘差et (5.1.8) 2) 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量可以基于如下回歸得到 (5.1.9) 這是對(duì)原始回歸因子這是對(duì)原始回歸因子Xt 和直到和直到p階的滯后殘差的回歸。階的滯后殘差的回歸。 LM檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：檢驗(yàn)通常給出兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量：F統(tǒng)計(jì)量和統(tǒng)計(jì)量和TR2統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量。 F統(tǒng)計(jì)量是對(duì)式（統(tǒng)計(jì)量

18、是對(duì)式（5.1.9）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一 種檢驗(yàn)。種檢驗(yàn)。TR2統(tǒng)計(jì)量是統(tǒng)計(jì)量是LM檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，是觀測(cè)值個(gè)數(shù) T乘以回歸方程（乘以回歸方程（5.1.9）的）的R2。一般情況下，。一般情況下，TR2統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 量服從漸進(jìn)的量服從漸進(jìn)的 分布。分布。 ktktttt xxxye 22110 tptpttt veee 11 X )( 2 p 19 在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè)在給定的顯著性水平下，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量小于設(shè) 定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設(shè)定的顯著性水 平下不存在序

19、列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè)平下不存在序列相關(guān)；反之，如果這兩個(gè)統(tǒng)計(jì)量大于設(shè) 定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關(guān)性。 在軟件中的操作方法：在軟件中的操作方法： 選擇選擇View/Residual Tests/Serial correlation LM Test， 一般地對(duì)高階的，含有一般地對(duì)高階的，含有ARMA誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行誤差項(xiàng)的情況執(zhí)行Breush- Godfrey LM。在滯后定義對(duì)話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最。在滯后定義對(duì)話框，輸入要檢驗(yàn)序列的最 高階數(shù)。高階數(shù)。 20 上一例子中相關(guān)圖在滯后值上一例子中相關(guān)圖在滯后值

20、3時(shí)出現(xiàn)峰值。時(shí)出現(xiàn)峰值。Q統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì) 量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中 的顯著序列相關(guān)。的顯著序列相關(guān)。 進(jìn)行序列相關(guān)的進(jìn)行序列相關(guān)的LM檢驗(yàn)，選擇檢驗(yàn)，選擇View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test，輸入，輸入p =2產(chǎn)生如下產(chǎn)生如下 結(jié)果：結(jié)果： (1)(1) 21 此檢驗(yàn)拒絕此檢驗(yàn)拒絕 直至直至2階的無序階的無序 列相關(guān)的假設(shè)。列相關(guān)的假設(shè)。 Q-統(tǒng)計(jì)和統(tǒng)計(jì)和LM檢檢 驗(yàn)都表明：驗(yàn)都表明：殘差殘差 是序列相關(guān)的，是序列相關(guān)的， 因此方程在被用因此方程在被用 于假設(shè)檢驗(yàn)和預(yù)于假設(shè)檢

21、驗(yàn)和預(yù) 測(cè)之前應(yīng)該重新測(cè)之前應(yīng)該重新 定義。定義。 22 考慮美國的一個(gè)投資方程。美國的考慮美國的一個(gè)投資方程。美國的GNP和國內(nèi)私人和國內(nèi)私人 總投資總投資INV是單位為是單位為10億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)億美元的名義值，價(jià)格指數(shù)P為為 GNP的平減指數(shù)（的平減指數(shù)（1972=100），利息率），利息率R為半年期商業(yè)票為半年期商業(yè)票 據(jù)利息?；貧w方程所采用的變量都是實(shí)際據(jù)利息?；貧w方程所采用的變量都是實(shí)際GNP和實(shí)際投和實(shí)際投 資；它們是通過將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用資；它們是通過將名義變量除以價(jià)格指數(shù)得到的，分別用 小寫字母小寫字母gnp，inv表示。實(shí)際利息率的近似值表示。實(shí)際

22、利息率的近似值r則是通過則是通過 貼現(xiàn)率貼現(xiàn)率R減去價(jià)格指數(shù)變化率減去價(jià)格指數(shù)變化率p得到的。樣本區(qū)間：得到的。樣本區(qū)間：1963 年年1984年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下：年，應(yīng)用最小二乘法得到的估計(jì)方程如下： 23 t =（-1.32） （154.25） R2=0.80 D.W.=0.94 從從D.W.值來看，這個(gè)模型存在正的序列相關(guān)，值來看，這個(gè)模型存在正的序列相關(guān)， 但是，看起來還不是強(qiáng)的正序列相關(guān)。但是，看起來還不是強(qiáng)的正序列相關(guān)。 tttt ugnprinv)ln(734. 0016. 0)ln( 1 24 -.3 -.2 -.1 .0 .1 .2 646668707274

23、7678808284 圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖 圖圖5.1 回歸方程殘差圖回歸方程殘差圖 從殘差圖從殘差圖5.1可以看到殘差序列的變化有相似的波動(dòng)。所可以看到殘差序列的變化有相似的波動(dòng)。所 以，再采取上面介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序以，再采取上面介紹的其他檢驗(yàn)序列相關(guān)的方法檢驗(yàn)殘差序 列的自相關(guān)性。列的自相關(guān)性。 25 下面采用下面采用 LM 統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)(p=2)，得到結(jié)果如下：，得到結(jié)果如下： LM統(tǒng)計(jì)量顯示，在統(tǒng)計(jì)量顯示，在5%的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸的顯著性水平拒絕原假設(shè)，回歸 方程的殘差序列存在序列

24、相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié)方程的殘差序列存在序列相關(guān)性。因此，回歸方程的估計(jì)結(jié) 果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當(dāng)果不再有效，必須采取相應(yīng)的方式修正殘差的自相關(guān)性。當(dāng) 然，對(duì)于這個(gè)例子，我們也可以用然，對(duì)于這個(gè)例子，我們也可以用Q-統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，而且統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行檢驗(yàn)，而且 效果更為直觀，更有利于實(shí)際建模，但是這涉及到序列自相效果更為直觀，更有利于實(shí)際建模，但是這涉及到序列自相 關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)的理論。 26 線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型線性回歸模型擾動(dòng)項(xiàng)序列相關(guān)的存在，會(huì)導(dǎo)致模型 估計(jì)結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予估計(jì)

25、結(jié)果的失真。因此，必須對(duì)擾動(dòng)項(xiàng)序列的結(jié)構(gòu)給予 正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來的正確的描述，以期消除序列相關(guān)對(duì)模型估計(jì)結(jié)果帶來的 不利影響。不利影響。 通常可以用通?？梢杂肁R(p) 模型來描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相模型來描述一個(gè)平穩(wěn)序列的自相 關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下：關(guān)的結(jié)構(gòu)，定義如下： (5.1.10) (5.1.11) tktkttt uxxxy 22110 tptpttt uuuu 2211 27 其中：其中：ut 是無條件誤差項(xiàng)，它是回歸方程（是無條件誤差項(xiàng)，它是回歸方程（5.1.10）的）的 誤差項(xiàng)，參數(shù)誤差項(xiàng)，參數(shù) 0， 1, 2 , , k是回歸模型的系數(shù)。式是回歸模型的

26、系數(shù)。式 （5.1.11）是誤差項(xiàng)）是誤差項(xiàng)ut的的 p階自回歸模型，參數(shù)階自回歸模型，參數(shù) 1, 2 , , p是是p階自回歸模型的系數(shù)，階自回歸模型的系數(shù)， t是相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)，是相應(yīng)的擾動(dòng)項(xiàng)， 并且是均值為并且是均值為0，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變，方差為常數(shù)的白噪聲序列，它是因變 量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值量真實(shí)值和以解釋變量及以前預(yù)測(cè)誤差為基礎(chǔ)的預(yù)測(cè)值 之差。之差。 下面將討論如何利用下面將討論如何利用AR(p) 模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列模型修正擾動(dòng)項(xiàng)的序列 相關(guān)，以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知相關(guān)，以及用什么方法來估計(jì)消除擾動(dòng)項(xiàng)后方程的未知 參數(shù)。

27、參數(shù)。 28 1修正一階序列相關(guān)修正一階序列相關(guān) 最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸最簡單且最常用的序列相關(guān)模型是一階自回歸AR(1) 模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且模型。為了便于理解，先討論一元線性回歸模型，并且 具有一階序列相關(guān)的情形，即具有一階序列相關(guān)的情形，即p = 1的情形：的情形： (5.1.12) (5.1.13) ttt uxy 10 ttt uu 1 把式（把式（5.1.13）帶入式（）帶入式（5.1.12）中得到）中得到 (5.1.14) tttt uxy 110 29 然而，由式（然而，由式（5.1.12）可得）可得 (5.1.15) 再把式（再把

28、式（5.1.15）代入式（）代入式（5.1.14）中，并整理）中，并整理 (5.1.16) 令令 ，代入式（，代入式（5.1.16）中有）中有 (5.1.17) 如果如果已知已知 的具體值，可以直接使用的具體值，可以直接使用OLS方法進(jìn)行估計(jì)。方法進(jìn)行估計(jì)。如如 果果 的值未知，的值未知，通?？梢圆捎猛ǔ？梢圆捎肎aussNewton迭代法求解，同時(shí)迭代法求解，同時(shí) 得到得到 ， 0， 1的估計(jì)量。的估計(jì)量。 11011 ttt xyu ttttt xxyy )()1 ( 1101 1 * 1 * , tttttt xxxyyy ttt xy * 10 * )1 ( 30 2修正高階序列相關(guān)修

29、正高階序列相關(guān) 通常如果殘差序列存在通常如果殘差序列存在p階序列相關(guān)，誤差形式可以階序列相關(guān)，誤差形式可以 由由AR(p)過程給出。對(duì)于高階自回歸過程，可以采取與過程給出。對(duì)于高階自回歸過程，可以采取與 一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終一階序列相關(guān)類似的方法，把滯后誤差逐項(xiàng)代入，最終 得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方得到一個(gè)擾動(dòng)項(xiàng)為白噪聲序列，參數(shù)為非線性的回歸方 程，并且采用程，并且采用Gauss-Newton迭代法求得非線性回歸方迭代法求得非線性回歸方 程的參數(shù)。程的參數(shù)。 例如例如：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序列具：仍討論一元線性回歸模型，并且殘差序

30、列具 有有3階序列相關(guān)的情形，即階序列相關(guān)的情形，即p = 3的情形：的情形： 31 ttt uxy 10 ttttt uuuu 332211 (5.1.18) (5.1.19) 按照上面處理按照上面處理AR(1) 的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原的方法，把擾動(dòng)項(xiàng)的滯后項(xiàng)代入原 方程中去，得到如下表達(dá)式：方程中去，得到如下表達(dá)式： ttt tttttt xy xyxyxy )( )()( 31033 210221101110 (5.1.20) 通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性，通過一系列的化簡后，仍然可以得到參數(shù)為非線性， 擾動(dòng)項(xiàng)擾動(dòng)項(xiàng) t為白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線性最小二乘為

31、白噪聲序列的回歸方程。運(yùn)用非線性最小二乘 法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù)法，可以估計(jì)出回歸方程的未知參數(shù) 0 , 1 , 1 , 2 , 3。 32 我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性我們可以將上述討論引申到更一般的情形：對(duì)于非線性 形式為形式為f (xt , ) 的非線性模型，的非線性模型， ， ， 若殘差序列存在若殘差序列存在p階序列相關(guān)，階序列相關(guān)， (5.1.21) (5.1.22) 也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng)也可用類似方法轉(zhuǎn)換成誤差項(xiàng) t為白噪聲序列的非線性回為白噪聲序列的非線性回 歸方程，以歸方程，以p = 1為例，為例， (5.1.23) 使用使用Gauss-Ne

32、wton算法來估計(jì)參數(shù)。算法來估計(jì)參數(shù)。 ttt ufy),(x tptpttt uuuu 2211 ttttt ffyy ),(),( 1111 xx ,., 1 21ktttt xxxx ,., 10 k 33 3. 在在Eviews中的操作過程：中的操作過程： 選擇選擇Quick/Estimate Equation或或Object / New Object/Equation打開一個(gè)方程，輸入方程變量，最后輸入打開一個(gè)方程，輸入方程變量，最后輸入 ar(1) ar(2) ar(3)。針對(duì)例。針對(duì)例5.1定義方程為：定義方程為： 34 需要注意的是，輸入的需要注意的是，輸入的ar(1) ar

33、(2) ar(3) 分別代表分別代表3個(gè)滯個(gè)滯 后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為殘差僅僅在滯后后項(xiàng)的系數(shù)，因此，如果我們認(rèn)為殘差僅僅在滯后2階和階和 滯后滯后4階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即階存在自相關(guān)，其他滯后項(xiàng)不存在自相關(guān)，即 則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：則估計(jì)時(shí)應(yīng)輸入：cs c gdp cs(-1) ar(2) ar(4) EViews在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入在消除序列相關(guān)時(shí)給予很大靈活性，可以輸入 模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而模型中想包括的各個(gè)自回歸項(xiàng)。例如，如果有季度數(shù)據(jù)而 且想用一個(gè)單項(xiàng)來消除季節(jié)自回歸，可以輸入：且想用一個(gè)單項(xiàng)來消除季節(jié)自回歸，可

34、以輸入：cs c gdp cs(-1) ar(4)。 tttt uuu 4422 35 ARMA估計(jì)選擇估計(jì)選擇 如前所述，帶有如前所述，帶有AR或或MA的模型用非線性最小二的模型用非線性最小二 乘法估計(jì)。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。乘法估計(jì)。非線性估計(jì)方法對(duì)所有系數(shù)估計(jì)都要求初值。 有時(shí)當(dāng)?shù)螖?shù)最大值達(dá)到時(shí)，方程終止迭代，有時(shí)當(dāng)?shù)螖?shù)最大值達(dá)到時(shí)，方程終止迭代， 盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方盡管還未達(dá)到收斂。從前一步初值重新開始方程，使方 程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同程從中止處開始而不是從開始處開始。也可以試試不同 的初值來保證估計(jì)是全

35、部而不是局部平方誤差最小，可的初值來保證估計(jì)是全部而不是局部平方誤差最小，可 以通過提供初值加速估計(jì)過程。以通過提供初值加速估計(jì)過程。 36 為控制為控制ARMA估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊估計(jì)初值，在方程定義對(duì)話框單擊 options。在。在EViews提供的選項(xiàng)中，有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。提供的選項(xiàng)中，有幾項(xiàng)設(shè)置初值的選擇。 EViews缺省方法是缺省方法是OLS/TSLS，這種方法先進(jìn)行沒有，這種方法先進(jìn)行沒有 ARMA項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再從這些值開始非線性估計(jì)。另一項(xiàng)的預(yù)備估計(jì)，再從這些值開始非線性估計(jì)。另一 選擇是使用選擇是使用OLS或或TSLS系數(shù)的一部分作為初值?？梢赃x擇系數(shù)的一部分

36、作為初值。可以選擇 0.3，0.5，0.8或者可以將所有初值設(shè)為零?；蛘呖梢詫⑺谐踔翟O(shè)為零。 用戶確定初值選項(xiàng)是用戶確定初值選項(xiàng)是User Supplied。在這個(gè)選項(xiàng)下，。在這個(gè)選項(xiàng)下， EViews使用使用C系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)，系數(shù)向量中的值。為設(shè)置初值，雙擊圖標(biāo)， 為為C系數(shù)向量開一窗口，進(jìn)行編輯。系數(shù)向量開一窗口，進(jìn)行編輯。 37 為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)為適當(dāng)?shù)卦O(shè)置初值，需對(duì)EViews如何為如何為ARMA設(shè)置設(shè)置 系數(shù)多些了解。系數(shù)多些了解。EViews使用使用C系數(shù)向量。它按下列規(guī)則系數(shù)向量。它按下列規(guī)則 為變量安排系數(shù)：為變量安排系數(shù)： 1. 變量系數(shù)，以輸入

37、為序。變量系數(shù)，以輸入為序。 2. 定義的定義的AR項(xiàng)，以輸入為序。項(xiàng)，以輸入為序。 3SAR，MA，SMA系數(shù)（按階數(shù)由高到底）系數(shù)（按階數(shù)由高到底） 38 例如：例如：下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù)下面兩種定義將有同樣規(guī)格的系數(shù) Y c X ma(2) ma(1) sma(4) ar(1) Y sma(4 ) c ar(1) ma(2) X ma(1) 也可使用程序指令安排也可使用程序指令安排C向量值向量值 param c(1) 50 c(2 ) 0.8 c(3) 0.2 c(4) 0.6 c(5) 0.1 c(6) 0.5 初值：常數(shù)是初值：常數(shù)是50， X系數(shù)的初值是系數(shù)的初值是0.8

38、， ar(1)、ma(2)、 ma(1)、sma(4) 系數(shù)的初值分別是系數(shù)的初值分別是0.2 ， 0.6，0.1，0.5。 估計(jì)后，可在方程表達(dá)式估計(jì)后，可在方程表達(dá)式Representation選項(xiàng)見到系數(shù)選項(xiàng)見到系數(shù) 安 排 。 也 可 以 從 估 計(jì) 方 程 中 填 寫安 排 。 也 可 以 從 估 計(jì) 方 程 中 填 寫 C 向 量 ， 選 擇向 量 ， 選 擇 pros/update/ coefs from equations。 39 例例5.1中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序中檢驗(yàn)到帶有滯后因變量的回歸方程的殘差序 列存在明顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采列存在明

39、顯的序列自相關(guān)。而且從相關(guān)圖看到，可以采 用用AR(3) 模型來修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。模型來修正回歸方程的殘差序列的自相關(guān)性。 tttt uGDPcCSccCS 2110 ttttt uuuu 332211 回歸估計(jì)的結(jié)果如下：回歸估計(jì)的結(jié)果如下： 40 再對(duì)新的殘差序列再對(duì)新的殘差序列 進(jìn)行進(jìn)行LM檢驗(yàn)，最終得到的檢檢驗(yàn)，最終得到的檢 驗(yàn)結(jié)果如下：驗(yàn)結(jié)果如下： t 41 當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有當(dāng)估計(jì)某個(gè)含有AR項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要項(xiàng)的模型時(shí)，在解釋結(jié)果時(shí)一定要 小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和小心。在用通常的方法解釋估計(jì)系數(shù)、系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)誤差和t-統(tǒng)統(tǒng) 計(jì)量時(shí)，涉及

40、殘差的結(jié)果會(huì)不同于計(jì)量時(shí)，涉及殘差的結(jié)果會(huì)不同于OLS的估計(jì)結(jié)果。的估計(jì)結(jié)果。 要理解這些差別，記住一個(gè)含有要理解這些差別，記住一個(gè)含有AR項(xiàng)的模型有兩種殘差：項(xiàng)的模型有兩種殘差： 第一種是第一種是 bxyu ttt 通過原始變量以及估計(jì)參數(shù)通過原始變量以及估計(jì)參數(shù) 算出。在用同期信息對(duì)算出。在用同期信息對(duì)y t 值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略值進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)，這些殘差是可以觀測(cè)出的誤差，但要忽略 滯后殘差中包含的信息。滯后殘差中包含的信息。 42 第二種殘差是估計(jì)的第二種殘差是估計(jì)的 。如名。如名 所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。所示，這種殘差代表預(yù)測(cè)誤差。 對(duì)于含有對(duì)于含有AR

41、項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量，項(xiàng)的模型，基于殘差的回歸統(tǒng)計(jì)量， 如如R2 (回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差回歸標(biāo)準(zhǔn)誤差)和和D-W值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤值都是以一期向前預(yù)測(cè)誤 差為基礎(chǔ)的。含有差為基礎(chǔ)的。含有AR項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的項(xiàng)的模型獨(dú)有的統(tǒng)計(jì)量是估計(jì)的 AR系數(shù)系數(shù) 。i 43 對(duì)于簡單對(duì)于簡單AR(1)模型，模型， 是無條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。是無條件殘差的序列相關(guān)系數(shù)。 對(duì)于平穩(wěn)對(duì)于平穩(wěn)AR(1)模型，模型， 在在-1（極端負(fù)序列相關(guān)）和（極端負(fù)序列相關(guān)）和+1（極（極 端正序列相關(guān)）之間。端正序列相關(guān)）之間。 EViews在回歸輸出的底部給出這些根：在回歸輸出的底部給出這些根：Inver

42、ted AR Roots。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于。如果存在虛根，根的模應(yīng)該小于1。 1 1 44 另外：另外：EViews可以估計(jì)帶有可以估計(jì)帶有AR誤差項(xiàng)的誤差項(xiàng)的非線性回歸模非線性回歸模 型型。例如：將例。例如：將例5.4中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估中的模型變?yōu)槿缦碌姆蔷€性模型，估 計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)計(jì)如下帶有附加修正項(xiàng)AR(3)的非線性方程的非線性方程 t c ttt uGDPCSccCS 2 110 單擊單擊Quick/Estimate Equation，打開一個(gè)方程，用公，打開一個(gè)方程，用公 式法輸入式法輸入 cs=c(1)+gdpc(2)+c(3)*cs(-1)+ar(

43、1)=c(4),ar(2)=c(5), ar(3)=c(6) ttttt uuuu 332211 45 輸出結(jié)果顯示為：輸出結(jié)果顯示為： 46 本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的殘差序列為研究本節(jié)將不再僅僅以一個(gè)回歸方程的殘差序列為研究 對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題。在對(duì)象，而是直接討論一個(gè)平穩(wěn)時(shí)間序列的建模問題。在 現(xiàn)實(shí)中很多問題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化現(xiàn)實(shí)中很多問題，如利率波動(dòng)、收益率變化及匯率變化 等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成等通常是一個(gè)平穩(wěn)序列，或者通過差分等變換可以化成 一個(gè)平穩(wěn)序列。一個(gè)平穩(wěn)序列。 本節(jié)中介紹的本節(jié)中介紹的ARMA模型（模型

44、（autoregressive moving average models）可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī)）可以用來研究這些經(jīng)濟(jì)變量的變化規(guī) 律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。律，這樣的一種建模方式屬于時(shí)間序列分析的研究范疇。 47 如果隨機(jī)過程如果隨機(jī)過程 的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于的均值和方差、自協(xié)方差都不取決于 t，則稱，則稱 u t 是協(xié)方差平穩(wěn)的是協(xié)方差平穩(wěn)的 或弱平穩(wěn)的：或弱平穩(wěn)的： , 12101 TTt uuuuuuu 注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則注意，如果一個(gè)隨機(jī)過程是弱平穩(wěn)的，則u t與與u t- s 之間的協(xié)之間的協(xié) 方差僅取決于方差僅取決

45、于s ，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長度，即僅與觀測(cè)值之間的間隔長度s有關(guān)，而與時(shí)有關(guān)，而與時(shí) 期期t 無關(guān)。一般所說的無關(guān)。一般所說的“平穩(wěn)性平穩(wěn)性”含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。含義就是上述的弱平穩(wěn)定義。 )( t uE 2 )var( t u 對(duì)所有的對(duì)所有的 t 對(duì)所有的對(duì)所有的 t 對(duì)所有的對(duì)所有的 t 和和 s sstt uuE )( (5.2.1) (5.2.2) (5.2.3) 48 1. 自回歸模型自回歸模型AR(p) p階自回歸模型記作階自回歸模型記作AR(p)，滿足下面的方程：，滿足下面的方程： (5.2.4) 其中：參數(shù)其中：參數(shù)c 為常數(shù)；為常數(shù)； 1 , 2 , p 是自回歸

46、模型系數(shù)；是自回歸模型系數(shù)； p為自回歸模型階數(shù)；為自回歸模型階數(shù)； t是均值為是均值為0，方差為，方差為 2的白噪聲的白噪聲 序列。序列。 tptpttt uuucu 2211 49 2. 移動(dòng)平均模型移動(dòng)平均模型MA(q) q階移動(dòng)平均模型記作階移動(dòng)平均模型記作MA(q) ，滿足下面的方程：，滿足下面的方程： (5.2.5) 其中：參數(shù)其中：參數(shù) 為常數(shù)；參數(shù)為常數(shù)；參數(shù) 1 , 2 , q是是q階移動(dòng)平均階移動(dòng)平均 模型的系數(shù)；模型的系數(shù)； t是均值為是均值為0，方差為，方差為 2的白噪聲序列。的白噪聲序列。 qtqttt u 11 50 3. ARMA(p,q)模型模型 (5.2.6)

47、 顯然此模型是模型（顯然此模型是模型（5.2.4）與（）與（5.2.5）的組合形式，）的組合形式， 稱為混合模型，常記作稱為混合模型，常記作ARMA(p，q)。當(dāng)。當(dāng)p = 0時(shí)，時(shí)， ARMA(0, q) = MA(q)；當(dāng)；當(dāng)q = 0時(shí)，時(shí)，ARMA(p, 0) = AR(p)。 qtqttptptt uucu 1111 51 1. AR(p)模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 為了理解為了理解AR(p)、MA(q)和和ARMA(p,q)模型的理論結(jié)模型的理論結(jié) 構(gòu)，簡單的算子理論是必不可少的。對(duì)于構(gòu)，簡單的算子理論是必不可少的。對(duì)于AR(p)模型模型 (5.2.7) 設(shè)設(shè)L為滯后算子，則

48、有為滯后算子，則有 ，特，特 別地，別地， 。則式（。則式（5.2.7）可以改寫為：）可以改寫為： tptpttt uuucu 2211 ptt p tt uuLuLu , 1 t uLu 0 tt p p cuLLL)1 ( 2 21 (5.2.8) 52 若設(shè)若設(shè) ，令，令 (5.2.9) 則則 (z) 是一個(gè)關(guān)于是一個(gè)關(guān)于z的的p次多項(xiàng)式，次多項(xiàng)式，AR(p) 模型平穩(wěn)的充模型平穩(wěn)的充 要條件是要條件是 (z) 的根全部落在單位圓之外的根全部落在單位圓之外。式（。式（5.2.7）可）可 以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式以改寫為滯后算子多項(xiàng)式的形式 可以證明如果可以證明如果AR(p)模型滿足平

49、穩(wěn)性條件，則式模型滿足平穩(wěn)性條件，則式 （5.2.10）可以表示為如下）可以表示為如下MA( )的形式的形式 p pL LLL 2 21 1)( 01)( 2 21 p P zzzz tt cuL)( (5.2.10) 53 t ttttt LL Lu )( )( 2 210 2211 (5.2.11) 其中其中 且且 。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式。假定平穩(wěn)性條件滿足，將式 （5.2.7）兩端取期望可以求得均值）兩端取期望可以求得均值 或或 112 21 )()1 ()( LLLLL p P 0 2 0 ,1 j j p c 21 (5.2.13) (5.2.12) )1 ( 21p c (5.

50、2.14) 54 式（式（5.2.11）表示）表示ut可以由一個(gè)白噪聲序列的線性組可以由一個(gè)白噪聲序列的線性組 合表示出來?，F(xiàn)在可以看到，任何一個(gè)合表示出來。現(xiàn)在可以看到，任何一個(gè)AR(p)模型均可模型均可 以表示為白噪聲序列的線性組合。事實(shí)上，式（以表示為白噪聲序列的線性組合。事實(shí)上，式（5.2.11） 是沃爾德分解定理（是沃爾德分解定理（Wold定理）的特例。定理）的特例。 沃爾德分解定理（沃爾德分解定理（Wold定理）定理） 任何零均值協(xié)方差任何零均值協(xié)方差 平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程ut可表示成如下形式可表示成如下形式 其中：其中： 。 t是白噪聲序列，對(duì)于任意是白噪聲序列，對(duì)于任意 的的j，

51、t的值與的值與 t-j無關(guān)。無關(guān)。 t稱為稱為ut的確定性分量，而的確定性分量，而 稱為線性非確定性分量。稱為線性非確定性分量。 0j tjtjt u(5.2.15) 0 2 0 ,1 j j 0j jtj 55 2MA(q) 模型的可逆性模型的可逆性 考察考察MA(q) 模型模型 若若 的根全部落在單位圓之外，則式（的根全部落在單位圓之外，則式（5.2.16）的）的MA算子稱算子稱 為可逆的為可逆的。 t q qt LLLu)1 ( 2 21 (5.2.16) t t E t 0 )( 2 01 2 21 q q zzz 56 tt uLLL)(1 ( 3 3 2 21 (5.2.17) 比

52、較式（比較式（5.2.16）和式（）和式（5.2.17），可知），可知 12 21 3 3 2 21 )1 ( )1 ( q qL LL LLL (5.2.18) 運(yùn)用運(yùn)用MA算子的逆運(yùn)算，式（算子的逆運(yùn)算，式（5.2.16）可寫成）可寫成AR( ) 的形式的形式 盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一盡管不可逆時(shí)也可以表征任何給定的數(shù)據(jù)，但是一 些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有模型可逆時(shí)才有效。些參數(shù)估計(jì)和預(yù)測(cè)算法只有模型可逆時(shí)才有效。 57 3ARMA(p,q) 模型的平穩(wěn)性條件模型的平穩(wěn)性條件 ARMA(p,q) 模型包括了一個(gè)自回歸模型模型包括了一個(gè)自回歸模型AR(p)和一和一 個(gè)移動(dòng)平

53、均模型個(gè)移動(dòng)平均模型MA(q) 或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示或者以滯后算子多項(xiàng)式的形式表示 qtqttptptt uucu 1111 (5.2.19) t q q t p p LLLc uLLL )1 ( )1 ( 2 21 2 21 (5.2.20) 58 若令若令 則則ARMA(p，q)模型（模型（5.2.19）平穩(wěn)的充要條件是）平穩(wěn)的充要條件是 (z) 的的 根全部落在單位圓之外根全部落在單位圓之外。在式（。在式（5.2.20）的兩邊除以）的兩邊除以 ，可以得到，可以得到 其中其中 01)( 2 21 p p zzzz(5.2.21) tt Lu)(5.2.22) )1 ( )1 (

54、)( 2 21 2 21 p p q q LLL LLL L (5.2.23) )1 ( 2 21 p pL LL 59 0j j )1 ( 21p c (5.2.24) (5.2.25) ARMA模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線模型構(gòu)造了一種更為復(fù)雜的白噪聲序列的線 性組合，近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列。性組合，近似逼近一個(gè)平穩(wěn)序列?？梢钥闯隹梢钥闯鯝RMA模型模型 的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均的平穩(wěn)性完全取決于自回歸模型的參數(shù)，而與移動(dòng)平均 模型參數(shù)無關(guān)。模型參數(shù)無關(guān)。 60 在在Eviews中確定中確定ARMA形式形式 1、ARMA項(xiàng)項(xiàng) 模型中模型中AR和和MA部分應(yīng)使

55、用關(guān)鍵詞部分應(yīng)使用關(guān)鍵詞ar和和ma定義。在上面定義。在上面 AR定義中，我們已見過這種方法的例子。這對(duì)定義中，我們已見過這種方法的例子。這對(duì)MA也同樣也同樣 適用。適用。 例 如 ， 估 計(jì) 一 個(gè)例 如 ， 估 計(jì) 一 個(gè) 2 階 自 回 歸 和階 自 回 歸 和 1 階 動(dòng) 平 均 過 程階 動(dòng) 平 均 過 程 ARMA(2,1)，應(yīng)將，應(yīng)將AR(1), MA(1), AR(2)和其它解釋變量一和其它解釋變量一 起包含在回歸因子列表中：起包含在回歸因子列表中： y c gov ar(1) ar(2) ma(1) 61 如果采用公式法輸入方程，則要將如果采用公式法輸入方程，則要將AR和和M

56、A項(xiàng)系數(shù)明項(xiàng)系數(shù)明 確列出，形式為：確列出，形式為： LS = c(1)+ar(1)=c(2),ar(2)=c(3),ma(1)=c(4)。 下面說明下面說明EViews是如何估計(jì)一個(gè)是如何估計(jì)一個(gè)ARMA(p，q)模型的模型的。 單擊單擊Quick/Estimate Equation打開一個(gè)方程，輸入打開一個(gè)方程，輸入 LS c ar(1) ma(1) 即可。即可。 tt ucLS 11 tttt uu 62 2. 季節(jié)季節(jié)ARMA項(xiàng)項(xiàng) 對(duì)于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，對(duì)于帶有季節(jié)因素的季度數(shù)據(jù)，Box and Jenkins(1976) 建議使用季節(jié)自回歸建議使用季節(jié)自回歸SAR和季節(jié)動(dòng)平均和

57、季節(jié)動(dòng)平均SMA。SAR(p)定義定義 為帶有為帶有p階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式階滯后的季節(jié)自回歸項(xiàng)。估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式 是是AR項(xiàng)和項(xiàng)和SAR項(xiàng)定義的結(jié)合。項(xiàng)定義的結(jié)合。 與此類似，與此類似，SMA(q)定義為帶有定義為帶有q階滯后的季節(jié)動(dòng)平均。階滯后的季節(jié)動(dòng)平均。 估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是估計(jì)中使用的滯后多項(xiàng)式是MA項(xiàng)和項(xiàng)和SMA項(xiàng)定義的結(jié)合。項(xiàng)定義的結(jié)合。 存在存在SAR項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。項(xiàng)則允許建立一個(gè)滯后多項(xiàng)式。 例如：沒有季節(jié)項(xiàng)的例如：沒有季節(jié)項(xiàng)的2階階AR過程過程 63 例如：沒有季節(jié)項(xiàng)的例如：沒有季節(jié)項(xiàng)的2階階AR過程過程 tttt uuu 22

58、11 用滯后算子用滯后算子 ，則上式可表示為：，則上式可表示為： ntt n xxLL , tt uLL)1 ( 2 21 可以通過回歸自變量的可以通過回歸自變量的ar(1)，ar(2)項(xiàng)來估計(jì)這個(gè)過程。項(xiàng)來估計(jì)這個(gè)過程。 對(duì)于季度數(shù)據(jù)，可以加入對(duì)于季度數(shù)據(jù)，可以加入sar(4)來表示季節(jié)因素，定來表示季節(jié)因素，定 義方程：義方程： y c x ar(1) ar(2) sar(4) 估計(jì)誤差結(jié)構(gòu)為：估計(jì)誤差結(jié)構(gòu)為： 64 tt uLLL)1)(1 ( 42 21 等價(jià)于等價(jià)于 ttttttt uuuuuu 625142211 參數(shù)參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。注意：這是對(duì)系數(shù)有非線性和季節(jié)因素相聯(lián)系

59、。注意：這是對(duì)系數(shù)有非線性 約束的約束的AR(6)模型。模型。 在另一個(gè)例子中，無季節(jié)性的二階在另一個(gè)例子中，無季節(jié)性的二階MA過程如下過程如下 , 2211 tttt u 可以通過包含可以通過包含ma(1)和和ma(2)來估計(jì)二階來估計(jì)二階MA過程。過程。 65 對(duì)季度數(shù)據(jù)，可以添加對(duì)季度數(shù)據(jù)，可以添加sma(4)考慮季節(jié)性。例如定義考慮季節(jié)性。例如定義 方程：方程： y c x ma(1 ) ma(2) sma(4) 估計(jì)模型為：估計(jì)模型為： tt LLLu)1)(1 ( 42 21 等價(jià)于：等價(jià)于： 625142211 ttttttt u 參數(shù)參數(shù) 和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對(duì)系數(shù)有非線性約

60、束的和季節(jié)因素相聯(lián)系。這是對(duì)系數(shù)有非線性約束的 MA(6)模型。還可以在方程說明中同時(shí)包括模型。還可以在方程說明中同時(shí)包括SAR，SMA項(xiàng)。項(xiàng)。 ttt uxy 21 66 本例取我國上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：本例取我國上證收盤指數(shù)（時(shí)間期間：1991年年1月月 2003年年3月）的月度時(shí)間序列月）的月度時(shí)間序列S作為研究對(duì)象，用作為研究對(duì)象，用AR(1) 模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率，模型描述其變化規(guī)律。首先對(duì)其做變化率，sr t = 100(St-St-1)/S t-1（t = 1, 2, , T），這樣便得到了變化率），這樣便得到了變化率 序列。一般來講，股價(jià)指數(shù)序列并不是一個(gè)平穩(wěn)