周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)

1、周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 12.2 12.2 周期函數(shù)分解為傅里葉周期函數(shù)分解為傅里葉 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù) 一、周期函數(shù)一、周期函數(shù) f(t)=f(t+kT) T為周期函數(shù)為周期函數(shù)f(t)的周期，的周期， k=0，1，2， 如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就如果給定的周期函數(shù)滿足狄里赫利條件，它就 能展開(kāi)成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。能展開(kāi)成一個(gè)收斂的傅里葉級(jí)數(shù)。 電路中的非正弦周期量都能滿足這個(gè)條件。電路中的非正弦周期量都能滿足這個(gè)條件。 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) )sin()cos( )2sin()2cos( )sin()cos()( 11 1212

2、 11110 tkbtka tbta tbtaatf kk 1 110 )sin()cos( k kk tkbtkaa 二、傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式二、傅里葉級(jí)數(shù)的兩種形式 1、第一種形式、第一種形式 式中：式中：K=1，2，3 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 2 2 0 0 )( 1 )( 1 T T T dttf T dttf T a T k dttktf T a 0 1 )cos()( 2 2 0 11 )()cos()( 1 tdtktf )()cos()( 1 11 tdtktf 2 2 1 )cos()( 2 T T dttktf T 系數(shù)的計(jì)算公式系數(shù)的計(jì)算公式 1

3、 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) )cos( )2cos( )cos()( 1 212 1110 kkm m m tkA tA tAAtf 1 10 )cos( k kkm tkAA 2、第二種形式、第二種形式 A0稱為周期函數(shù)的恒定分量（或直流分量）；稱為周期函數(shù)的恒定分量（或直流分量）； A1mcos(1t+1)稱為稱為1次諧波（或基波分量），次諧波（或基波分量）， 其周期或頻率與原周期函數(shù)相同；其周期或頻率與原周期函數(shù)相同； 其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波，其他各項(xiàng)統(tǒng)稱為高次諧波， 即即2次、次、3次、次、4次、次

4、、 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 3、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系、兩種形式系數(shù)之間的關(guān)系 1 10 )cos()( k kkm tkAAtf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf第一種形式第一種形式 第二種形式第二種形式 A0=a0 22 kkkm baA ak=Akmcoskbk=- Akmsink )arctan( k k k a b 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 4、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義、傅里葉分解式的數(shù)學(xué)、電氣意義 + - 傅氏分解傅氏分解 A0 U1 U2 + - u(t) u(t) 分解后的電源相當(dāng)于無(wú)限個(gè)電

5、壓源串聯(lián)分解后的電源相當(dāng)于無(wú)限個(gè)電壓源串聯(lián) 對(duì)于電路分析應(yīng)用的方法是對(duì)于電路分析應(yīng)用的方法是 疊加定理疊加定理 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 三、三、f(t)的頻譜的頻譜 傅里葉級(jí)數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期傅里葉級(jí)數(shù)雖然詳盡而又準(zhǔn)確地表達(dá)了周期 函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。函數(shù)分解的結(jié)果，但不很直觀。 為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅氏級(jí)數(shù)后包為了表示一個(gè)周期函數(shù)分解為傅氏級(jí)數(shù)后包 含哪些頻率分量以及各分量所占含哪些頻率分量以及各分量所占“比重比重”， 用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線段，用長(zhǎng)度與各次諧波振幅大小相對(duì)應(yīng)的線段， 按頻率的高低順序把它們依次排列起來(lái)，按頻率的

6、高低順序把它們依次排列起來(lái)， 得到的圖形稱為得到的圖形稱為f(t)的頻譜。的頻譜。 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 1、幅度頻譜、幅度頻譜 各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。各次諧波的振幅用相應(yīng)線段依次排列。 2、相位頻譜、相位頻譜 把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。把各次諧波的初相用相應(yīng)線段依次排列。 O Akm k1 41 31 21 1 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 例：求周期性矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其頻譜例：求周期性矩形信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開(kāi)式及其頻譜 O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T 解：解：f(t)在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)

7、式為在第一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為 f(t) = Em -Em 2 0 T t Tt T 2 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 根據(jù)公式計(jì)算系數(shù)根據(jù)公式計(jì)算系數(shù) T dttf T a 0 0 )( 1 0 O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 2 0 11 )()cos()( 1 tdtktfak O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T )()cos()()cos( 1 2 11 0 11 tdtkEtdtkE mm 0 11 )()cos( 2 tdtk Em =0 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解

8、為傅里葉級(jí)數(shù) 2 0 11 )()sin()( 1 tdtktfbk )()sin()()sin( 1 2 11 0 11 tdtkEtdtkE mm 0 11 )()sin( 2 tdtk Em 0 1 )cos( 12 tk k Em )cos(1 2 k k Em 當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)： cos(k)=1 bk=0 當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)： cos(k)=-1 k E b m k 4 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 代入求得代入求得 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf 1 110 )sin()cos()(

9、k kk tkbtkaatf 0 0 a0 k a 當(dāng)當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)：為偶數(shù)時(shí)： cos(k)=1 bk=0 當(dāng)當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)：為奇數(shù)時(shí)： cos(k)=-1 k E b m k 4 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf O f(t) Em -Em 1t 圖形曲線分析圖形曲線分析: 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) O f(t) Em -Em 1t 取到取到11次諧波時(shí)合成的曲線次諧波時(shí)合成的曲線 比較兩個(gè)圖可見(jiàn)，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合比較兩個(gè)圖可見(jiàn)，諧波項(xiàng)數(shù)取得越多，合 成曲線

10、就越接近于原來(lái)的波形。成曲線就越接近于原來(lái)的波形。 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) O f(t) t 1t Em -Em 2 T 2 T )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf f(t) = Em -Em 2 0 T t Tt T 2 假設(shè)假設(shè) Em=1， 1t=/2，得，得 7 1 5 1 3 1 1 4 1 取到取到11次諧波時(shí)，結(jié)果為次諧波時(shí)，結(jié)果為0.95;取到取到13次諧波時(shí)，結(jié)次諧波時(shí)，結(jié) 果為果為1.05;取到取到35次諧波時(shí)，結(jié)果為次諧波時(shí)，結(jié)果為0.98,誤差為誤差為2% 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)

11、分解為傅里葉級(jí)數(shù) 矩形信號(hào)矩形信號(hào)f(t)的頻譜的頻譜 )5sin( 5 1 )3sin( 3 1 )sin( 4 )( 111 ttt Em tf O Akm k1 7151311 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 3、頻譜與非正弦信號(hào)特征的關(guān)系、頻譜與非正弦信號(hào)特征的關(guān)系 波形越接近正弦波，波形越接近正弦波， 諧波成分越少；諧波成分越少； f(t)=10cos(314t+30) O Akm k1 1 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 1、偶函數(shù)、偶函數(shù) f(t)=f(-t) 縱軸對(duì)稱的性質(zhì)縱軸對(duì)稱的性質(zhì) f(t) Ot f(t) Ot 四、非正弦函數(shù)波形特征

12、與展開(kāi)式的系數(shù)之四、非正弦函數(shù)波形特征與展開(kāi)式的系數(shù)之 間的關(guān)系間的關(guān)系 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 可以證明：可以證明： bk=0 1、偶函數(shù)、偶函數(shù) 縱軸對(duì)稱的性質(zhì)縱軸對(duì)稱的性質(zhì) f(t)=f(-t) 1 10 )cos()( k k tkaatf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展開(kāi)式中只含有余弦項(xiàng)分量和直流分量展開(kāi)式中只含有余弦項(xiàng)分量和直流分量 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) f(t)=-f(-t) 原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì) f(t) O t f(t) Ot 2、奇函數(shù)、奇函數(shù) 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期

13、函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 可以證明：可以證明： a0=0, ak=0 原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì)原點(diǎn)對(duì)稱的性質(zhì) f(t)=-f(-t) 2、奇函數(shù)、奇函數(shù) 1 1 )sin()( k k tkbtf 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)分量展開(kāi)式中只含有正弦項(xiàng)分量 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 滿足滿足 f(t)=-f(t+T/2),稱為奇諧波函數(shù)稱為奇諧波函數(shù) O f(t) t T 2 T 3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù): f(t)=-f(t+T/2),叫做叫做 鏡對(duì)稱的性質(zhì)鏡對(duì)稱的性質(zhì) 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 判

14、斷判斷:利用鏡對(duì)稱的性質(zhì)利用鏡對(duì)稱的性質(zhì) f(t)= - f(t+T/2) 3、奇諧波函數(shù)、奇諧波函數(shù) 可以證明：可以證明： a2k =b2k =0 )3sin()3cos( )sin()cos( 1313 1111 tbta tbta f(t)= 1 110 )sin()cos()( k kk tkbtkaatf 展開(kāi)式中只含有奇次諧波分量展開(kāi)式中只含有奇次諧波分量 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) f(t) Ot 判斷下面波形的展開(kāi)式特點(diǎn)判斷下面波形的展開(kāi)式特點(diǎn) f(t)是奇函數(shù)是奇函數(shù) 展開(kāi)式中只含有正弦分量展開(kāi)式中只含有正弦分量 f(t)又是奇諧波函數(shù)又是奇諧波函數(shù) 展

15、開(kāi)式中只含有奇次諧波展開(kāi)式中只含有奇次諧波 )3sin()sin( 1311 tbtbf(t)= 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 系數(shù)系數(shù)Akm與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)（但與計(jì)時(shí)起點(diǎn)無(wú)關(guān)（但k是有關(guān)的），是有關(guān)的）， 這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振這是因?yàn)闃?gòu)成非正弦周期函數(shù)的各次諧波的振 幅以及各次諧波對(duì)該函數(shù)波形的相對(duì)位置總是一定的，幅以及各次諧波對(duì)該函數(shù)波形的相對(duì)位置總是一定的， 并不會(huì)因計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)；并不會(huì)因計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)而變動(dòng)； 因此，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)只能使各次諧波的初相因此，計(jì)時(shí)起點(diǎn)的變動(dòng)只能使各次諧波的初相 作相應(yīng)地改變。作相應(yīng)地改變。 由于系數(shù)由于系數(shù)ak

16、和和bk與初相與初相k有關(guān)，所以它們也隨計(jì)有關(guān)，所以它們也隨計(jì) 時(shí)起點(diǎn)的改變而改變。時(shí)起點(diǎn)的改變而改變。 4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 由于系數(shù)由于系數(shù)ak和和bk與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇有關(guān)，所以 函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇函數(shù)是否為奇函數(shù)或偶函數(shù)可能與計(jì)時(shí)起點(diǎn)的選擇 有關(guān)。有關(guān)。 但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時(shí)起點(diǎn)但是，函數(shù)是否為奇諧波函數(shù)卻與計(jì)時(shí)起點(diǎn) 無(wú)關(guān)。無(wú)關(guān)。 因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的分解因此適當(dāng)選擇計(jì)時(shí)起點(diǎn)有時(shí)會(huì)使函數(shù)的分解 簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化。 4、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系、系數(shù)和計(jì)時(shí)起點(diǎn)的關(guān)系 周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù)周期函數(shù)分解為傅里葉級(jí)數(shù) 例：已知某信號(hào)半周期的波形，在下列不同條件下例：已知某信號(hào)半周期的波形