向量的物理背景與概念及向量的幾何表示

1、向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 2.1.1 2.1.1 向量的物理背景與概念向量的物理背景與概念 2.1.2 2.1.2 向量的幾何表示向量的幾何表示 2.1.3 2.1.3 相等向量與共線向量相等向量與共線向量 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 唉唉, 哪兒去了哪兒去了? 嘻嘻嘻嘻!大笨貓！大笨貓！ B A 貓能捉住老鼠嗎貓能捉住老鼠嗎? 老鼠由老鼠由A向東北方向以向東北方向以6m/s 的速度逃竄的速度逃竄,而貓由而貓由B向東南向東南 方向方向10m/s的速度追的速度追. 問貓能問貓能 否抓到老鼠否抓到老鼠? C D 老鼠由A向西北逃竄，貓?jiān)贐處向東追 去，設(shè)問：貓能否追到老鼠

2、？ A B C D 貓的速度再快 也沒用，因?yàn)榉较?錯(cuò)了. 結(jié)論： 情境設(shè)置情境設(shè)置 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 一、一、向量的實(shí)際背景及概念。向量的實(shí)際背景及概念。 G F 在物理學(xué)中，我們學(xué)過位移是既有大少在物理學(xué)中，我們學(xué)過位移是既有大少 又有方向的量，那么在物理中還有沒有其又有方向的量，那么在物理中還有沒有其 它這樣的量嗎？例如，力既有大小又有方它這樣的量嗎？例如，力既有大小又有方 向，如下面圖：向，如下面圖： 你還能舉出物理你還能舉出物理 學(xué)中的一些實(shí)例學(xué)中的一些實(shí)例 嗎？嗎？ 例如：速度、加速度、例如：速度、加速度、 動(dòng)量、相位等。動(dòng)量、相位等。 向量的物理背景與概念及

3、向量的幾 何表示 實(shí)際上在生活中我們已經(jīng)遇到過一種只有大實(shí)際上在生活中我們已經(jīng)遇到過一種只有大 小的量，例如，一棵樹、一本書、一支筆、溫小的量，例如，一棵樹、一本書、一支筆、溫 度、路程、密度等，我們?cè)堰@種量稱為數(shù)量度、路程、密度等，我們?cè)堰@種量稱為數(shù)量. 既有大小，又有方向的量叫做向量（物理學(xué)既有大小，又有方向的量叫做向量（物理學(xué) 中稱為矢量）中稱為矢量） 向量定義向量定義 現(xiàn)在像位移、力現(xiàn)在像位移、力.這些既有大小又有方這些既有大小又有方 向的量數(shù)學(xué)中對(duì)它進(jìn)行抽象得到一種新的量向的量數(shù)學(xué)中對(duì)它進(jìn)行抽象得到一種新的量 只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高只有大小，沒有方向的量（如年齡、身

4、高 長度等）叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱為標(biāo)量）長度等）叫做數(shù)量（物理學(xué)中稱為標(biāo)量） 講授新課講授新課 1. 向量的概念：向量的概念： 我們把既有大小又有方向的量叫向量. 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以數(shù)量由于實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，所以數(shù)量 常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，如常常用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，如3 3，2 2，-1-1， 而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量。而且不同的點(diǎn)表示不同的數(shù)量。 對(duì)于向量，我們常用帶箭頭的線段來表示，線段對(duì)于向量，我們常用帶箭頭的線段來表示，線段 按一定比例（標(biāo)度）畫出，它的長度表示向量的按一定比例（標(biāo)度）畫出，它的長度表示向量的 大小

5、，箭頭表示向量的方向。大小，箭頭表示向量的方向。 0123-1 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 有向線段：在線段有向線段：在線段ABAB的兩個(gè)端的兩個(gè)端 點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)點(diǎn)中，規(guī)定一個(gè)順序，假設(shè)A A為為 起點(diǎn)，起點(diǎn)，B B為終點(diǎn)，我們就說線段為終點(diǎn)，我們就說線段 ABAB具有方向。具有方向的線段具有方向。具有方向的線段 叫做有向線段。叫做有向線段。 有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度有向線段的三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度 A A（起點(diǎn)）（起點(diǎn)） B B（終點(diǎn)）（終點(diǎn)） 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 2 2、向量的字母表示、向量的字母表示：1 1） a, b, c ,

6、.a, b, c ,. （2 2）用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母）用表示向量的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)字母 表示，例如，表示，例如，ABAB， CDCD 1 1、向量的幾何表示：用有向線段表示。、向量的幾何表示：用有向線段表示。 思考思考: : “向量就是有向量就是有 向線段向線段, ,有向線段就有向線段就 是向量是向量. .”的說法對(duì)嗎的說法對(duì)嗎? ? 向量向量ABAB的大小，的大小，也就是向量也就是向量ABAB的長度的長度 （或稱模），（或稱模），記作記作|AB|AB|。 長度為長度為0的向量叫做零向量的向量叫做零向量. .記作記作0 0。 長度等于長度等于1 1個(gè)單位的向量，叫做單位向

7、量。個(gè)單位的向量，叫做單位向量。 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 2.2.向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)。（向量的模是一個(gè)正實(shí)數(shù)。（ ） 3.若若|a|b| ，則，則a b( ) 1.1.溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（溫度含零上和零下溫度，所以溫度是向量（ ） 判斷題判斷題 注注: :向量不能比較大小向量不能比較大小 長度相等且方向相同的兩個(gè)向量表示相等向長度相等且方向相同的兩個(gè)向量表示相等向 量，量， 但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分，但是兩個(gè)向量之間只有相等關(guān)系，沒有大小之分， “對(duì)于向量對(duì)于向量 ， ， ，或，或 ”這種說這種說 法是錯(cuò)誤的法是錯(cuò)誤的. a b b a a

8、 b 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 平行向量又叫做共線向量平行向量又叫做共線向量 各向量的終點(diǎn)與直線各向量的終點(diǎn)與直線l l之間有什么關(guān)系？之間有什么關(guān)系？ 如：如： a b c （）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。（）平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 記作 a b c 規(guī)定：規(guī)定：0與任一向量平行。與任一向量平行。 問：把一組平行于直線問：把一組平行于直線l l的向量的起點(diǎn)平移到直線的向量的起點(diǎn)平移到直線l l上上 的一點(diǎn)的一點(diǎn)O O ，這時(shí)它們是不是平行向量？，這時(shí)它們是不是平行向量？ o l . C OC = c A OA = a OB = b

9、B 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 向量相等向量相等 向量平行向量平行 平行向量一定是相等向量嗎平行向量一定是相等向量嗎? ? 相等向量一定是平行向量嗎相等向量一定是平行向量嗎? ? （2）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。）相等向量：長度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 記作：記作：a = b 規(guī)定：規(guī)定：0 = 0 a b 1.1.若非零向量若非零向量AB/CD AB/CD ，那么，那么AB/CDAB/CD嗎？嗎？ 2.2.若若a/b ,a/b ,則則 a a與與b b的方向一定相同或相反嗎？的方向一定相同或相反嗎？ o . b a ABCD D C B A 向量的

10、物理背景與概念及向量的幾 何表示 11個(gè)個(gè) 例例1 1如圖設(shè)如圖設(shè)O O是正六邊形是正六邊形ABCDEFABCDEF的中心，寫出圖中的中心，寫出圖中 與向量與向量OAOA相等的向量。相等的向量。 OA = DO = CB 變式變式一一：與向量：與向量OAOA長度相等的長度相等的 向量有多少個(gè)？向量有多少個(gè)？ 變式二：是否存在與向量變式二：是否存在與向量OA長度相等，方向長度相等，方向 相反的向量？相反的向量？ 存在，為存在，為 FEFE CB、DO、FE 變式三：變式三：與向量與向量OAOA長度相等的共線向量有哪些？長度相等的共線向量有哪些？ BC、OD、EFAO 向量的物理背景與概念及向量的

11、幾 何表示 概念辨析：概念辨析： （1 1）模模相相等等的的兩兩個(gè)個(gè)平平行行向向量量是是相相等等的的向向量量； （2 2）若若 和和 都都是是位位向向量量， ; ;單單則則aba = b 長(3)任(3)任一一向向量量與與它它的的相相反反向向量量(度(度相相同同， 方方向向相相反反的的向向量量)都)都不不相相等等； （4 4）共共線線的的向向量量，若若起起點(diǎn)點(diǎn)不不 同同，則則終終點(diǎn)點(diǎn)也也不不同同； 則（5）5）若若AB/CD，AB/CD，AB/CD；AB/CD； 則（6）6）若若AB/CD，AB/CD，AB/CD ；AB/CD ； （7）7）與與 共 共， 與 與 共 共，與與 也 也共共；線

12、線線線則則線線abbcac （8 8）向向量量 與與 不不共共，與與 都都是是非非零零向向量量；線線則則不不abab 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 圖紙個(gè) 別圖點(diǎn)為點(diǎn)終點(diǎn) 個(gè) 長線個(gè) 例例2 2：在在中中的的4 45 5方方格格中中有有一一向向量量A AB B， 分分以以中中的的格格起起和和作作向向量量， （1 1）其其中中與與A AB B相相等等的的向向量量有有多多少少？ （2 2）與與A AB B度度相相等等的的共共向向量量有有多多少少？ （A AB B除除外外） A B (1)7AB 共有 個(gè)向量與相等 (2)15AB 共有個(gè)向量與共線 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示

13、2.2.下面幾個(gè)命題：下面幾個(gè)命題： （3）若）若|a|=|b|，則，則a = b （2）若）若|a|=0，則，則a = 0 |a|=|b| a b （4）兩個(gè)向量）兩個(gè)向量a、b相等相等 的充要條件是的充要條件是 （1）若）若a = b，b = c，則，則a = c。 當(dāng)當(dāng)b 0時(shí)成立。時(shí)成立。變：若變：若 a b， b c, 則則a c A0B. 1 C. 2 D. 3 其中正確的個(gè)數(shù)是其中正確的個(gè)數(shù)是( ) （5）若）若A、B、C、D是不共線的四點(diǎn)，則是不共線的四點(diǎn)，則AB=DC 的充要條件是的充要條件是 四邊形四邊形ABCD是平形四邊形。是平形四邊形。 AB D C BA C D 向量

14、的物理背景與概念及向量的幾 何表示 合作探究：合作探究： 如如：以以1 11 1方方格格中中的的格格起起和和 的的所所有有向向量量中中，可可得得到到多多少少種種不不同同 的的模模？有有多多少少種種不不同同的的向向量量？ 圖圖紙紙點(diǎn)點(diǎn)為為點(diǎn)點(diǎn) 終終點(diǎn)點(diǎn) 向量的物理背景與概念及向量的幾 何表示 零向量、單位向量概念：零向量、單位向量概念： 向量的概念向量的概念: : 向量的表示方法：向量的表示方法： 共線向量與平行向量關(guān)系：共線向量與平行向量關(guān)系： 平行向量定義：平行向量定義： 相等向量定義：相等向量定義： 講授新課講授新課 A(起點(diǎn)) B (終點(diǎn)) a 數(shù)量只有大小，是一個(gè)代數(shù)量，可以 進(jìn)行代數(shù)

15、運(yùn)算、比較大?。幌蛄坑蟹较?， 大小，雙重性，不能比較大小. 2. 數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量與向量的區(qū)別： 講授新課講授新課 3. 向量的表示方法：向量的表示方法： AB 用有向線段表示； 用字母a、b(黑體，印刷用)等表示； 用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母： 的大小長度稱為向量的模，向量 AB 記作 AB . ； 講授新課講授新課 具有方向的線段就叫做有向線段， 三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度. 4. 有向線段：有向線段： 講授新課講授新課 具有方向的線段就叫做有向線段， 三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度. 向量與有向線段的區(qū)別： 4. 有向線段：有向線段： 講授新課講授新課 具有方向的線段就叫做有向線段，

16、三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長度. 向量與有向線段的區(qū)別： (1)向量只有大小和方向兩個(gè)要素，與起點(diǎn) 無關(guān)，只要大小和方向相同，這兩個(gè)向 量就是相同的向量； (2)有向線段有起點(diǎn)、大小和方向三個(gè)素， 起點(diǎn)不同，盡管大小和方向相同，也是 不同的有向線段. 4. 有向線段：有向線段： 講授新課講授新課 5. 零向量、單位向量概念：零向量、單位向量概念： 長度為1個(gè)單位長度的向量, 叫單位向量. 長度為0的向量叫零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別. 講授新課講授新課 5. 零向量、單位向量概念：零向量、單位向量概念： 長度為1個(gè)單位長度的向量, 叫單位向量. 長度為0的向量叫

17、零向量，記作0. 0的方向是任意的. 注意0與0的含義與書寫區(qū)別. 說明：說明： 零向量、單位向量的定義都只是限制 了大小. 講授新課講授新課 a b c 6.平行向量定義：平行向量定義： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我們規(guī)定0與任一向量平行. 講授新課講授新課 6.平行向量定義：平行向量定義： 方向相同或相反的非零向量叫平行向量； 我們規(guī)定0與任一向量平行. a b c 說明：說明： (1) 綜合、才是平行向量的完整定義； (2) 向量a、b、c平行，記作abc. 講授新課講授新課 例例1. 如圖，試根據(jù)圖 中的比例尺以及三地 的位置，在圖中分別 用向量表示A地至B、 C兩地的位移

18、，并求 出A地至B、C兩地的 實(shí)際距離(精確到1km). A B C 講授新課講授新課 例例2. 判斷： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 與任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向 量一定是什么向量？ 講授新課講授新課 不一定 例例2. 判斷： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 與任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向 量一定是什么向量？ 講授新課講授新課 不一定 零向量 例例2. 判斷： (1) 平行向量是否一定方向相同？ (2) 與任意向量都平行的向量是什么向量？ (3) 若兩個(gè)向量在同一直線上，則這兩個(gè)向 量一定是什么向量？ 講授新課講授新課 不一定 零向