向量及其線性運算

1、第一節(jié)第一節(jié) 向量及其線性運算向量及其線性運算 一、向量概念一、向量概念 二、向量的線性運算二、向量的線性運算 三、空間直角坐標系三、空間直角坐標系 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 向量及其線性運算 向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. . 向量表示：向量表示： 以以 1 M為為起起點點， 2 M為為終終點點的的有有向向線線段段. 1 M 2 M a 21M M 模長為模長為1 1的向量的向量. . 21M M 00 a 零向量：零向量：模長為模長為0 0的向量的向量. .0 |a 21M M |

2、 |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. . 單位向量：單位向量： 一、向量的概念一、向量的概念 或或 或或 或或 向量及其線性運算 自由向量：自由向量：不考慮起點位置的向量 不考慮起點位置的向量. . 相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. . 負向量：負向量：大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. . a 向徑：向徑： a b a a 空間直角坐標系中任一點空間直角坐標系中任一點 與原點與原點 構成的向量構成的向量. . OM M 向量及其線性運算 1 加法：加法：cba a b c （平行四邊形法則）（平行四邊形法則） 特殊地：若特殊地：

3、若a b a b c |bac 分為同向和反向分為同向和反向 b a c |bac （平行四邊形法則有時也稱為三角形法則）（平行四邊形法則有時也稱為三角形法則） 二、向量的線性運算二、向量的線性運算 1 1、向量的加減法、向量的加減法 向量及其線性運算 向量的加法符合下列運算規(guī)律：向量的加法符合下列運算規(guī)律： （1 1）交換律：）交換律：.abba （2 2）結合律：）結合律：cbacba )().(cba （3）. 0)( aa 2 減法減法)( baba a b b b c ba bac )( ba ba a b 向量及其線性運算 設設 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a 與與 的的乘乘積積a

4、規(guī)規(guī)定定為為 , 0)1( a 與與a 同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a 反反向向，|aa a a 2 a 2 1 2 2、向量與數(shù)的乘法、向量與數(shù)的乘法 向量及其線性運算 數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律：數(shù)與向量的乘積符合下列運算規(guī)律： （1 1）結合律：）結合律：)()(aa a )( （2 2）分配律：）分配律：aaa )( baba )( . 0 ab aba ，使，使一的實數(shù)一的實數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯 的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設向量設向量定理定理 兩個向量的平行關系兩個向量的平行關系 向量及其線性運算 同方向的單位

5、向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設設aa 0 按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定， 0 |aaa . | 0 a a a 上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是上式表明：一個非零向量除以它的模的結果是 一個與原向量同方向的單位向量一個與原向量同方向的單位向量. 向量及其線性運算 例例1 1 化簡化簡 5 3 2 1 5 ab bba 解解 5 3 2 1 5 ab bba ba 5 5 1 2 5 1)31( . 2 5 2ba 向量及其線性運算 x橫軸橫軸 y縱軸 縱軸 z豎軸豎軸 定點定點o 空間直角坐標系空間直角坐標系 三個坐標軸的正方向三個坐標軸的

6、正方向 符合右手系符合右手系. 即以右手握住即以右手握住z軸，軸， 當右手的四個手指當右手的四個手指 從正向從正向x軸以軸以 2 角角 度轉向正向度轉向正向y軸軸 時，大拇指的指向時，大拇指的指向 就是就是z軸的正向軸的正向. 三、空間點的直角坐標三、空間點的直角坐標 向量及其線性運算 x yo z xoy面面 yoz面面 zox面面 空間直角坐標系共有八個卦限空間直角坐標系共有八個卦限 向量及其線性運算 空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx 11 特殊點的表示特殊點的表示: )0 , 0 , 0(O ),(zyxM x y z o )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ ), 0

7、 , 0(zR )0 ,(yxA ), 0(zyB ),(zoxC 坐標軸上的點坐標軸上的點 ,P ,Q,R 坐標面上的點坐標面上的點 ,A,B,C 向量及其線性運算 任給向量任給向量 ，對應有點，對應有點 r rOMM 使使, x y z o ),(zyxM ), 0 , 0(zR )0 , 0 ,(xP )0 , 0(yQ 如圖所示：如圖所示： 向量的坐標表示向量的坐標表示 kzj yi xr 則有則有 zyx r ,r 記作：記作： 的坐標表示式的坐標表示式 上式稱為向量上式稱為向量 向量及其線性運算 四、利用坐標作向量的線性運算四、利用坐標作向量的線性運算 向量的加減法、向量與數(shù)的乘法

8、運算的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘法運算的坐標表達式 , zyx aaaa , zyx bbbb , zzyyxx babababa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx , zzyyxx babababa ;)()()(kbajbaiba zzyyxx , zyx aaaa .)()()(kajaia zyx 向量及其線性運算 解解 , 111 zzyyxxAM , 222 zzyyxxMB 設設),(zyxM為直線上的點，為直線上的點， 例例 3 3 設設),( 111 zyxA和和),( 222 zyxB為兩已知為兩已知 點，而在點，而在AB直線上的點直線上的點M分有向

9、線段分有向線段AB為兩為兩 部分部分AM、MB，使它們的值的比等于某數(shù)，使它們的值的比等于某數(shù) )1( ，即，即 MB AM ，求分點的坐，求分點的坐標標. A B M x y z o 向量及其線性運算 由題意知：由題意知： MBAM , 111 zzyyxx , 222 zzyyxx 1 xx )( 2 xx 1 yy )( 2 yy 1 zz )( 2 zz , 1 21 xx x , 1 21 yy y , 1 21 zz z M為為有有向向線線段段AB的的定定比比分分點點.M為為中中點點時時， , 2 21 xx x , 2 21 yy y . 2 21 zz z 向量及其線性運算 設

10、設),( 1111 zyxM、),( 2222 zyxM為為空空間間兩兩點點 x y z o 1 M PN Q R 2 M ? 21 MMd 在在直直角角 21NM M 及及 直直 角角PNM 1 中中，使使用用勾勾股股定定 理理知知 , 2 2 22 1 2 NMPNPMd 五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1 1、兩點間的距離公式、兩點間的距離公式 向量及其線性運算 , 121 xxPM , 12 yyPN , 122 zzNM 2 2 22 1 NMPNPMd . 2 12 2 12 2 1221 zzyyxxMM 空間兩點間距離公式空間兩點間距離公式 特殊地：若兩點

11、分別為特殊地：若兩點分別為 ,),(zyxM)0 , 0 , 0(O OMd . 222 zyx x y z o 1 M PN Q R 2 M 向量及其線性運算 設向量設向量),( zyx aaar 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式 222 | zyx aaaa 2 2、向量的模、向量的模 向量及其線性運算 例例 4 4 求證以求證以)1 , 3 , 4( 1 M、)2 , 1 , 7( 2 M、)3 , 2 , 5( 3 M 三點為頂點的三角形是一個等腰三角形三點為頂點的三角形是一個等腰三角形. 解解 2 21M M,14)12()31()47( 222 2 32M M, 6)23(

12、)12()75( 222 2 13M M, 6)31()23()54( 222 32M M, 13M M 原結論成立原結論成立. 向量及其線性運算 例例 5 5 設設P在在x軸上，它到軸上，它到)3 , 2, 0( 1 P的距離為的距離為 到點到點)1, 1 , 0( 2 P的距離的兩倍，求點的距離的兩倍，求點P的坐標的坐標. 解解 設設P點坐標為點坐標為),0 , 0 ,(x因因為為P在在x軸軸上上， 1 PP 2 2 2 32 x ,11 2 x 2 PP 2 2 2 11 x, 2 2 x 1 PP,2 2 PP 11 2 x22 2 x , 1 x所求點為所求點為).0 , 0 , 1

13、(),0 , 0 , 1( 向量及其線性運算 空間兩向量的夾角的概念：空間兩向量的夾角的概念： , 0 a, 0 b a b 向向量量a 與與向向量量b 的的夾夾角角 ),(ba ),(ab 類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角. 特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定特殊地，當兩個向量中有一個零向量時，規(guī)定 它們的夾角可在它們的夾角可在0與與 之間任意取值之間任意取值. 0() 3 3、方向角與方向余弦、方向角與方向余弦 向量及其線性運算 非零向量非零向量 的方向角的方向角：a 非零向量與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角非零向量與三條坐標軸的正向

14、的夾角稱為方向角. . 、 、 ,0 ,0 .0 x y z o 1 M 2 M 向量及其線性運算 x y z o 1 M 2 M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aa x cos|aa y cos|aaz 向量的方向余弦向量的方向余弦 方向余弦通常用來表示向量的方向方向余弦通常用來表示向量的方向. . P Q R 2 1 2 1 2 121 RMQMPMMM 向量及其線性運算 0 222 zyx aaa當當 時，時， ,cos 222 zyx x aaa a ,cos 222 zyx y aaa a .cos 222 zyx z aaa a 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式

15、 向量及其線性運算 1coscoscos 222 方向余弦的特征方向余弦的特征 0 a |a a .cos,cos,cos 特殊地：單位向量的方向余弦為特殊地：單位向量的方向余弦為 向量及其線性運算 例例 6 6 求求平平行行于于向向量量kjia 676 的的單單位位向向 量量的的分分解解式式. 解解所求向量有兩個，一個與所求向量有兩個，一個與 同向，一個反向同向，一個反向 a 222 )6(76| a ,11 |a a 0 a, 11 6 11 7 11 6 kji 或或 0 a |a a . 11 6 11 7 11 6 kji 向量及其線性運算 例例 7 7 設設有有向向量量 21P P

16、，已已知知2 21 PP，它它與與x軸軸和和 y軸軸的的夾夾角角分分別別為為3 和和4 ， 如如果果 1 P的的坐坐標標為為)3 , 0 , 1(， 求求 2 P的的坐坐標標. 解解 設設向向量量 21P P的的方方向向角角為為 、 、 , 3 , 4 , 1coscoscos 222 . 2 1 cos , 2 1 cos , 2 2 cos 向量及其線性運算 . 3 2 , 3 設設 2 P的的坐坐標標為為),(zyx, 1 cos x 21P P 2 1 x 2 1 , 2 x 0 cos y 21P P2 0 y 2 2 , 2 y 3 cos z 21P P2 3 z , 2, 4

17、zz 2 P的的坐坐標標為為).2 , 2, 2(),4 , 2, 2( 2 1 向量及其線性運算 例例 8 8 設設kjim 853 ，kjin 742 ， kjip 45 ，求向量，求向量pnma 34在在x軸及軸及 在在y軸上的分向量軸上的分向量. 解解 pnma 34 )853(4kji )742(3kji )45(kji ,15713kji 在在x軸上的分向量為軸上的分向量為 i 13, 在在y軸上的分向量為軸上的分向量為j 7. 向量及其線性運算 空間一點在軸上的投影空間一點在軸上的投影 u A A 過過點點A作作軸軸u的的垂垂直直 平平面面，交交點點 A 即即為為點點 A在在軸軸

18、u上上的的投投影影. 4 4、向量在軸上的投影、向量在軸上的投影 向量及其線性運算 空間一向量在軸上的投影空間一向量在軸上的投影 u A A B B 已已知知向向量量的的起起點點A和和終終點點B在在 軸軸u上上的的投投影影分分別別為為BA , 那那 么么軸軸u上上的的有有向向線線段段BA 的的 值值，稱稱為為向向量量在在軸軸u上上的的投投影影. 向量及其線性運算 ABjuPr .BA 向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為 關于向量的投影定理（關于向量的投影定理（1 1） 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以 軸與向量的夾角的余弦：軸與向量的夾角的余弦

19、： ABjuPr cos| AB 證證 u A B A B B ABjuPrABj u Pr cos| AB u 向量及其線性運算 定理定理1 1的說明：的說明： 投影為正；投影為正； 投影為負；投影為負； 投影為零；投影為零； u a b c (4) 相等向量在同一軸上投影相等；相等向量在同一軸上投影相等； 0)1(, 2 2 )2(, )3(, 2 向量及其線性運算 關于向量的投影定理（關于向量的投影定理（2 2） 兩兩個個向向量量的的和和在在軸軸上上的的投投影影等等于于兩兩個個向向量量在在 該該軸軸上上的的投投影影之之和和. . .PrPr)(Pr 2121 a ja jaaj A A B B C C （可推廣到有限多個）（可推廣到有限多個） u 1 a 2 a 向量及其線性運算 一、一、 填空：填空： 1 1、 向量是向量是_的量；的量； 2 2、 向量的向量的_叫做向量的模；叫做向量的模； 3 3、 _的向量叫做單位向量；的向量叫做單位向量； 4 4、 _的向量叫做零向量；的向量叫做零向量； 5 5、 與與_無關的向量稱為自由向量；無關的向量稱為自由向量； 6 6、 平行于同一直線的一