角平分線的性質(zhì)與判定[優(yōu)選課堂]

1、12.312.3角平分線角平分線的性質(zhì)的性質(zhì) 福田河中學(xué)福田河中學(xué) 八年級(jí)數(shù)學(xué)組八年級(jí)數(shù)學(xué)組 夏玉焰夏玉焰 1簡易輔導(dǎo) 什么是角的平分線？怎樣畫一什么是角的平分線？怎樣畫一 個(gè)角的平分線？個(gè)角的平分線？ B O A C 2簡易輔導(dǎo) 如圖，如圖，ABAD，BCDC，沿著，沿著 AC畫一條射線畫一條射線AE，AE就是就是BAC 的角平分線，你知道為什么嗎？的角平分線，你知道為什么嗎？ D C B A E 3簡易輔導(dǎo) 分別以，為分別以，為 圓心大于圓心大于 的長為的長為 半徑作弧兩弧在半徑作弧兩弧在AOB 的內(nèi)部交于的內(nèi)部交于 2 1 作法：作法： 以為圓心，適當(dāng)以為圓心，適當(dāng) 長為半徑作弧，交于，

2、長為半徑作弧，交于， 交于交于 作射線作射線OC 則則射線即為所求射線即為所求 4簡易輔導(dǎo) 探索1 將角AOB對(duì)折,再折出一個(gè)直角三角形(使第 一條折痕為斜邊),然后展開,觀察兩次折疊 形成的三條折痕,你能得到什么結(jié)論? O A B A O B E D 5簡易輔導(dǎo) 角平分線上的點(diǎn)到角的兩角平分線上的點(diǎn)到角的兩 邊的距離相等。邊的距離相等。 在在AOB的平分線的平分線OC上上 任取一點(diǎn)任取一點(diǎn)P，然后，作，然后，作 點(diǎn)點(diǎn)P到到AOB兩邊的垂兩邊的垂 線段線段PD、PE，畫一畫，畫一畫， 量一量，從中你有什么量一量，從中你有什么 新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中新發(fā)現(xiàn)？你能說明其中 的道理嗎？的道理嗎？ B

3、O A C D P E 6簡易輔導(dǎo) 命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等命題：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上題設(shè)：一個(gè)點(diǎn)在一個(gè)角的平分線上 結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等結(jié)論：它到角的兩邊的距離相等 已知：已知：OC是是AOB的平分線，點(diǎn)的平分線，點(diǎn)P在在OC上，上，PD OA ，PE OB，垂足分別是，垂足分別是D、E. 求證：求證：PD=PE. A O B P E D 7簡易輔導(dǎo) 角平分線的性質(zhì)角平分線的性質(zhì) 定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等定理：在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等 用符號(hào)語言表示為：用符號(hào)語言表示為： A O B P

4、E D 1 2 1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE. 8簡易輔導(dǎo) B O A C D P E 1.如圖，如圖，OC是是AOB的平分線，的平分線， PD=PE PDOA，PEOB 9簡易輔導(dǎo) 2.2.如如圖所示，在圖所示，在ABC中，中，C=90，AD是是 BAC的平分線交的平分線交BC于于D，BC=15，且，且CD： DB=1：2，則點(diǎn)，則點(diǎn)D到到AB的距離為的距離為_。 10簡易輔導(dǎo) 3.在在RtABC中，中，BD平分平分ABC，DEAB于于E， 則則：圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？圖中相等的線段有哪些？相等的角呢？ 哪條線段與哪條線段與DE相等？為什么？相等？為什么？ 若若

5、AB10，BC8，AC6， 求求BE，AE的長和的長和AED的周長。的周長。 E D C B A 11簡易輔導(dǎo) 練一練 3在在ABC中，中，ACBC，AD為為 BAC的平分線，的平分線，DEAB，AB 7，AC3，求，求BE的長。的長。 E D C B A 12簡易輔導(dǎo) 4.4.ABCABC中中, C=90, C=900 0,AD,AD平分平分 CAB,CAB,且且 BC=8,BD=5,BC=8,BD=5,求點(diǎn)求點(diǎn)D D到到ABAB的距離是多少？的距離是多少？ AB C D E （點(diǎn)（點(diǎn)D D到到ABAB的距離是的距離是3） 13簡易輔導(dǎo) 如圖，由如圖，由 于點(diǎn)于點(diǎn) D ， 于點(diǎn)于點(diǎn) E，PD

6、= PE ， 可以得到什么結(jié)論可以得到什么結(jié)論 ？ OBPE PD OA 已知：如圖，已知：如圖， ， ，垂足分別是，垂足分別是 A、B，PD=PE ， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。 AOB OAPD OBPE B A D O P E 14簡易輔導(dǎo) 解：設(shè)要截取的長度為解：設(shè)要截取的長度為m,則：則： 要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路要在區(qū)建一個(gè)集貿(mào)市場，使它到公路 和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交和鐵路距離相等，且離公路和鐵路的交 叉處叉處500米，該集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？米，該集貿(mào)市場應(yīng)建在何處？ （比例尺（比例尺 1：20 000） 公路 鐵路 20000 1 50

7、0 X 解得：解得：0.025m 2.5cm 則點(diǎn)即為所求的點(diǎn)則點(diǎn)即為所求的點(diǎn) 15簡易輔導(dǎo) 已知：如圖，已知：如圖， ， ， 垂足分別是垂足分別是 D、E，PD=PE， 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在 的角平分線上的角平分線上。AOB OAPD OBPE 證明： 90PEOPDO 作射線OP 點(diǎn)點(diǎn)P在在 角的平分線上角的平分線上AOB 在 RtPDO 和RtPEO 中， （ HL） BOPAOP （全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等） OP = OP （公共邊公共邊） PD = PE （ 已已 知知 ） PEORt PDORt 角平分線角平分線 的判定的判定 B A D O P E OAPD OBPE 16簡易

8、輔導(dǎo) 角平分線的判定角平分線的判定的應(yīng)用書寫格式：的應(yīng)用書寫格式： OP 是是 的平分線的平分線AOB OAPD OBPE PD= PE （到一個(gè)角的 兩邊的距離相等的點(diǎn)， 在這個(gè)角的平分線上） D E O P A B 17簡易輔導(dǎo) 角平分線的性質(zhì)：角平分線的性質(zhì)： 角平分線的判定角平分線的判定 B A D O P E C PD = PE OP 是是 的平分線的平分線AOB OAPD OBPE OP 是是 的平分線的平分線AOB PD = PE OAPD OBPE 用途：證線段相等用途：證線段相等 用途：判定一條射線是角平分線用途：判定一條射線是角平分線 18簡易輔導(dǎo) 例例1.1.如圖，在如圖

9、，在ABCABC中，中，DD是是BCBC的中點(diǎn)，的中點(diǎn)， DEABDEAB，DFACDFAC，垂足分別是，垂足分別是E E、F F， 且且BEBECFCF。求證：。求證：ADAD是是ABCABC的角平分線的角平分線。 A A B B C C E E F F DD 19簡易輔導(dǎo) 4.已知：如圖，已知：如圖，C= C=90 ，AC=AC . 求證求證（1） ABC= ABC ；（；（2）BC=BC .（要求不（要求不 用三角形全等的判定）用三角形全等的判定） B C A C 20簡易輔導(dǎo) 5 5已知已知：如圖，：如圖，BEBEACAC于于E E， CFCFABAB于于F F， BEBE、CFCF相

10、交于相交于DD， BD=CD BD=CD 。 求證：求證： ADAD平分平分BAC BAC 。 A B C F E D 課堂練習(xí)課堂練習(xí) 21簡易輔導(dǎo) 例例 已知：如圖，已知：如圖，ABC的角平分線的角平分線BM、CN相相 交于點(diǎn)交于點(diǎn)P. 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P到三邊到三邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等. 證明：過點(diǎn)證明：過點(diǎn)P作作PD 、PE、PF分別分別垂直垂直 于于AB、BC、CA，垂足為，垂足為D、E、F BM是是ABC的角平分線，點(diǎn)的角平分線，點(diǎn)P在在BM 上（已知）上（已知） PD=PE（在角平分線上的點(diǎn)到角的在角平分線上的點(diǎn)到角的 兩邊的距離相等）兩邊的距離相等） 同理同理

11、PE=PF. PD=PE=PF. 即點(diǎn)即點(diǎn)P到邊到邊AB、BC、CA的距離相等的距離相等 D E F A BC P M N 22簡易輔導(dǎo) 練習(xí)：練習(xí)： 如如圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加圖，三條公路相交，現(xiàn)在要修建一加 油站，使加油站到三條公路的距離相等，油站，使加油站到三條公路的距離相等， 問加油站該選在什么位置上？問加油站該選在什么位置上？ 23簡易輔導(dǎo) 拓展與延伸 1、已知:BDAM于點(diǎn)D,CEAN于點(diǎn)E,BD,CE 交點(diǎn)F,CF=BF,求證:點(diǎn)F在A的平分線上. A A A A A A A D NE B F M C A 24簡易輔導(dǎo) 2、已知已知PA=PB， 1+ 2=1800， ， 求證： 求證：OP平分平分AOB A O B P1 2 E F 25簡易輔導(dǎo) 3 已知：如圖，已知：如圖，ABC 的的B的外角的平分的外角的平分 線線BD和和C的外角平的外角平 分線分線CE相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)P。 求證：點(diǎn)求證：點(diǎn)P在在BAC的的 平分線上。平分線上。 C A B P D E 26簡易輔導(dǎo) 課堂小結(jié)課堂小結(jié) 1.角平分線的性質(zhì)定理：角平分線的性質(zhì)定理： 在角平分線