2002考研數(shù)一真題及解析

1、20022002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、填空題 (本題共 5 小題，每小題3 分，滿分15 分，把答案填在題中橫線上)dx(1)e x ln 2 x(2)已知函數(shù) yy(x) 由方程 ey6xyx210 確定，則 y (0).(3)微分方程 yy y 20 滿足初始條件yx 01,y01 的特解是.x2(4)已知實(shí)二次型f ( x1 , x2, x3 )a( x12x22x32 )4x1x24x1 x34x2 x3 經(jīng)正交變換 x Py可化成標(biāo)準(zhǔn)型f 6 y12 ，則 a.(5)設(shè)隨機(jī)變量 X 服從正態(tài)分布N ( ,2 )(0), 且二次方程 y24 y X0 無實(shí)根的概率

2、為 1，則2二、選擇題 (本題共 5 小題，每小題3 分，共 15 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，把所選項(xiàng)前的字母填在題后的括號(hào)內(nèi).)(1) 考慮二元函數(shù) f ( x,y) 的下面 4 條性質(zhì)： f ( x, y) 在點(diǎn) ( x0, y0 ) 處連續(xù)， f ( x, y) 在點(diǎn) (x0, y0 ) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)， f ( x, y) 在點(diǎn) ( x0, y0 ) 處可微， f ( x, y) 在點(diǎn) (x0, y0 ) 處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在 .若用PQ表示可由性質(zhì)P推出 Q，則有()(A) .(B).(C) .(D).(2) 設(shè) un0(n 1,2,3,.), 且 lim

3、n1, 則級(jí)數(shù)( 1)n 1( 11) ( )nunn 1unun1(A)發(fā)散 .(B) 絕對(duì)收斂 .(C)條件收斂 .(D)收斂性根據(jù)所給條件不能判定 .(3) 設(shè)函數(shù) yf (x) 在 (0,) 內(nèi)有界且可導(dǎo)，則()(A)當(dāng) limf ( x)0 時(shí)，必有 lim f (x)0 .xx12002(B) 當(dāng) limf (x) 存在時(shí)，必有l(wèi)imf (x)0 .xx(C) 當(dāng) lim f ( x) 0 時(shí)，必有l(wèi)imf (x)0 .x 0x 0(D) 當(dāng) limf (x) 存在時(shí)，必有 limf (x)0 .x 0x 0(4) 設(shè)有三張不同平面的方程ai1x ai 2 y ai 3 z bi

4、,i 1,2,3,它們所組成的線性方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都為2，則這三張平面可能的位置關(guān)系為( )(5) 設(shè) X1 和 X 2 是任意兩個(gè)相互獨(dú)立的連續(xù)型隨機(jī)變量，它們的概率密度分別為f1 ( x) 和f2 (x) ，分布函數(shù)分別為F1( x) 和 F2 ( x) ，則()(A) f1( x)f 2 ( x) 必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(B) f1( x) f 2 ( x) 必為某一隨機(jī)變量的概率密度.(C)F1( x)F2( x) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).(D)F1 ( x) F2 (x) 必為某一隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、 (本題滿分6 分 )設(shè) 函 數(shù) f (x) 在 x0

5、的 某 鄰 域 內(nèi) 具 有 一 階 連 續(xù) 導(dǎo) 數(shù) ， 且 f (0)0, f (0)0, 若af (h)bf (2 h)f (0) 在 h0 時(shí)是比 h 高階的無窮小，試確定a,b 的值 .四、 (本題滿分7 分 )已知兩曲線y f (x) 與 yarctan x e t 2dt 在點(diǎn) (0,0) 處的切線相同，寫出此切線方程，0并求極限 lim nf ( 2).n n五、 (本題滿分7 分 )22002計(jì)算二重積分emax x2 , y2 dxdy, 其中 D( x, y) | 0x 1,0y1 .D六、 (本題滿分 8 分 )設(shè)函數(shù) f ( x) 在 (,) 內(nèi)具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，L 是上

6、半平面 ( y0)內(nèi)的有向分段光滑曲線，其起點(diǎn)為 (a,b) ，終點(diǎn)為 (c, d ) .記12x2IL y1yf ( xy) dxy2 y f ( xy) 1dy,(1)證明曲線積分I 與路徑 L 無關(guān)；(2)當(dāng) abcd 時(shí)，求 I 的值 .七、 (本題滿分 7 分 )(1) 驗(yàn) 證 函 數(shù) y( x) 1x3x6x9x3n+L（-x滿足微分方程！6！9！L）3(3n)!y y y ex ;(2)利用 (1) 的結(jié)果求冪級(jí)數(shù)x3n的和函數(shù) .0 (3 n)!n八、 (本題滿分7 分 )設(shè)有一小山，取它的底面所在的平面為xoy坐標(biāo)面，其底部所占的區(qū)域?yàn)镈( x, y) x2y2xy75 ，小

7、山的高度函數(shù)為h( x, y)75x2y2xy .(1)設(shè) M (x0 , y0 ) 為區(qū)域 D 上的一點(diǎn)，問h( x, y) 在該點(diǎn)沿平面上什么方向的方向?qū)?shù)最大？若記此反向?qū)?shù)的最大值為g( x0 , y0 ) ，試寫出 g( x0 , y0 ) 表達(dá)式 .(2) 現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動(dòng)，為此需要在山腳尋找一上山坡度最大的點(diǎn)作為攀登的起點(diǎn) .也就是說，要在D 的邊界線 x2y2xy75 上找出使 (1) 中的 g (x, y) 達(dá)到最大值的點(diǎn) .試確定攀登起點(diǎn)的位置 .九、 (本題滿分 6 分 )已知 4階方陣 A(1,2,3 ,4 ),1,2, 3,4 均為 4 維列向量，其中2,

8、3 ,4 線性無關(guān)， 1 223 .如果1234 ，求線性方程組 Ax的通解 .十、 (本題滿分8 分 )設(shè) A, B 為同階方陣，(1)如果 A, B 相似，試證A, B 的特征多項(xiàng)式相等.32002(2)舉一個(gè)二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.(3)當(dāng) A, B 均為實(shí)對(duì)稱矩陣時(shí)，試證(1) 的逆命題成立.十一、 (本題滿分8 分 )1xX 的概率密度為 f (x)cos0 x設(shè)隨機(jī)變量220,其他對(duì) X 獨(dú)立地重復(fù)觀察 4 次，用 Y 表示觀察值大于的次數(shù)，求 Y 2 的數(shù)學(xué)期望 .3十二、 (本題滿分8 分 )設(shè)總體 X 的概率分布為X012322P2（1- ）（1-2 ）其中

9、（0 1) 是未知參數(shù)，利用總體X 的如下樣本值23,1,3,0,3,1,2,3,求的矩陣估計(jì)值和最大似然函數(shù)估計(jì)值.2002 年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析42002一、填空題(1) 【答案】1【詳解】先將其轉(zhuǎn)化為普通定積分，求其極限即得廣義積分.dxlimb dxlimb d ln x1b1e xln 2e x ln 2e ln 2limln xlim1 1x bx bx be bln b(2) 【答案】-2【詳解】 y 是由 ey6xyx21 0 確定的 x 的函數(shù)，兩邊對(duì)x 求導(dǎo)，ey y 6xy6 y2x0,所以y6 y2x , 兩邊再對(duì) x 求導(dǎo)，得ey6xy(ey（）

10、 -yy 6),6x) 6y2(6 y 2 x)(e(ey6x) 2把 x0代入，得 y(0) 0， y (0)0 ，代入 y ，得 y (0)2 .(3) 【答案】 yx1【詳解】 方法 1：這是屬于缺x 的 yf ( y, y ) 類型 . 命 yp, ydpdp dydpdxp.dy dxdy原方程 yyy 20 化為 yp dpp20 ，得dyp0或 y dpp 0dyp 0 ，即 dy0 ，不滿足初始條件 y 1 ，棄之；所以p 0dxx 0 2所以， y dpp0 ，分離變量得dydp ，解之得 pC1 . 即 dyC1 .dyypydxy由初始條件 yx1, y1 ，可將 C1

11、先定出來：1C1 ,C11. 于是得0x 02212dy1dx2 y52002解之得， y 2xC2 , yxC2 .以 y x01 代入，得 1C2 ，所以應(yīng)取 “ +號(hào)”且C2 1.于是特解是 yx1.方法 2：將 yyy 20 改寫為 ( yy )0 ，從而得 yyC1 . 以初始條件 y(0)1, y (0)1代入，有1 11 .2C1 ， 所 以 得 yy即 2 yy1 ， 改 寫 為 ( y2 )1. 解得22y x C2 , yx C2.再以初值代入，1C2所以應(yīng)取 且C21. 于是特解 yx 1.(4) 【答案】 2a22【詳解】 方法 1：二次型 f 的對(duì)應(yīng)矩陣 A2a2，經(jīng)

12、正交變換 xPy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)22a型 f 6y12，故 P為正交矩陣，有 PTP1，且對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣 A，有66PT AP0，故 PT AP P 1AP0，即00600A :00000033因?yàn)榫仃嚨?n 個(gè)特征值之和等于它的主對(duì)角元素之和，aii3ai，相似矩陣i1i 136 故有 3a 6 ，得 a2 .具有相同的特征值，i600i1a22方法 2：二次型 f 的對(duì)應(yīng)矩陣 A2a2，經(jīng)正交變換 xPy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a6故 P 為正交矩陣，有 PTP 1，且對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣 A ，有 PT APP 1AP0，即062002600A:000000相似矩陣具有相同的特征值，知0

13、 是 A 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有0EAA0a 22a422A 2 a 2把第 ，列加到第 列2 31 a 4 a 22 2aa42a提取第 1列1222行1行1220的公因子(a 4) 1 a 23行(a 4) 0 a 212a1行00a2( a 4)( a2) 20 ，得a4 或 a2，(1)又 6 是 A 的特征值，根據(jù)特征值的定義，有6EA0 ，由6a226a226EA62a226a2(對(duì)應(yīng)元素相減 )622a226 a兩邊取行列式，6a222a226E A2 6 a2把第 ，列加到第 列22 31 2 a 6 a226a2a26 a提取第 1列1222行1行122a) 16a2

14、a) 08a0(21行(2的公因子1263行008aa(2a)(8a)20得a 2或 a 8(2)因?yàn)?(1) ，(2) 需同時(shí)成立，取它們的公共部分，得a2.a22方法 3： f 的對(duì)應(yīng)矩陣為 A2a2，經(jīng)正交變換xPy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a720026故 P 為正交矩陣，有PT P 1，且對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣 A ，有 PT AP P 1 AP0，即0600A:000000相似矩陣具有相同的特征值，知A 的特征值，其中一個(gè)單根是6，一個(gè)二重根應(yīng)是0，直接求A 的特征值，即由a22a22EA2a22a2 (對(duì)應(yīng)元素相減 )22a22a兩邊取行列式，a22把第 ，列a422EA2a22

15、 3a4a2加到第 1列22a42aa122提取第 1列的公因子 (a4) 1a212a2行1行122a4) 0(a2)03行(1行00( a2)(a4)(a2) 2其中單根為 a4 ，二重根為 a2 ，故 a46 ，及 a20 ，故知 a2 .a22方法 4： f 的對(duì)應(yīng)矩陣為 A2a2，經(jīng)正交變換 xPy ，可化成標(biāo)準(zhǔn)型f6 y12 ，22a6故 P 為正交矩陣，有 PTP 1，且對(duì)實(shí)對(duì)稱矩陣A，有 PT APP 1AP0，即0a226A2a2:022a0故 r ( A) r ( )1 ，82002a 2222a 2行 1行22aA 2交換第1和2a 2a 0a 22 aa 23行 1行2

16、2第3行的順序a222a uuuuuuuuuuuuuur22 a2auuuuuuuuuuuuur 0222a22a3行2行0a 22 a3行2 0 a 22 auuuuuuuuuuruuuuuuur( a2004a2a002a 8)222a0a22a00(a2)( a 4)因 r ( A)1，故 a20，且 (a2)( a4) 0 ，故應(yīng)取 a2 .(5) 【答案】 4 .【詳解】二次方程無實(shí)根，即y24 yX0 的判別式b24ac 164X 0，也就有 X4 . 此事發(fā)生概率為1，即PX41，212對(duì)于X: N(, 2)(0),P X，因?yàn)檎龖B(tài)分布的密度函數(shù)為2f ( x)1( x)2exp

17、2 2x2關(guān)于 x對(duì)稱；另一方面， 由概率的計(jì)算公式，f ( x) 與 x 軸所圍成的面積是1，所以 x將面積平分為兩份P X14.，所以2二、選擇題(1)【詳解】下述重要因果關(guān)系應(yīng)記住，其中AB 表示由 A 可推出 B . 無箭頭者無因果關(guān)系，箭頭的逆向不成立 .f x ( x, y) 與 f y ( x, y) 連續(xù)f (x, y) 可微f x ( x, y)與f y ( x, y)存在f ( x, y)連續(xù)其中均指在同一點(diǎn)處. 記住上述關(guān)系，不難回答本選擇題，故應(yīng)選(A).(2) 【詳解】首先要分清絕對(duì)收斂和條件收斂的定義，通過定義判定級(jí)數(shù)的斂散性.考察原級(jí)數(shù)( 1)n 1 (11) 的

18、前 n 項(xiàng)部分和n 1unun192002Sn( 11) (11) (11 ) L ( 1)n 1( 11 )1( 1)n 1 1u1u2u2u3u3u4unun 1u1un 1由 lim n10 知，當(dāng) n 充分大時(shí)， un0 且 lim un. 所以 lim Sn1(收斂 )，nunnnu1另一方面，( 11) 為正項(xiàng)級(jí)數(shù)，用比較判別法的極限形式，由題設(shè)條件n 1 unun1lim n1 的啟發(fā)，考慮n un11un 1unlim unun1limunun 1lim (un 1un )n( n 1)n11n2n1nunun 1(2 n 1)nn1n(n1)n(n1) (n1) un 1un

19、 (n1)un 1unlimn( n1)nlimn(n1)n2n1unun 11nunun 1n2n 1nnn1n而級(jí)數(shù)(11)11是發(fā)散的，所以( 11 ) 也發(fā)散，所以選 (C).n 1 n n 1n 1 nn 1 n 1n 1 unun 1(3) 【詳解】 方法 1：排斥法 .令 f ( x)1 sin x2 ，則 f (x) 在 (0,) 有界， f(x)1sin x22cos x2 ，xx2limf (x)0 ，但 lim f ( x) 不存在，故 (A) 不成立；xxlimf (x)0 ，但lim f( x)10， (C)和 (D) 不成立，故選 (B).x 0x0方法 2：證明

20、(B) 正確 . 設(shè) limf(x) 存在，記 limf (x)A，證明 A0 .xx用反證法，若A0，則對(duì)于A0，存在X0 ， 使 當(dāng) xX 時(shí) ，2AAAA3Af ( x) AAf( x)A，即22222由此可知，f ( x) 有界且大于A .在區(qū)間 x, X 上應(yīng)用拉格朗日中值定理，有2A (x X )f ( x)f ( X ) f ( )( x X )f ( X )2從而 limf ( x)，與題設(shè) f (x) 有界矛盾 .類似可證當(dāng) A0時(shí)亦有矛盾 .故A 0.x102002(4) 【答案】 (B)【詳解】三張不同平面的方程分別為ai 1xai 2 y ai 3 zbi , i1,2

21、,3, 判斷三個(gè)平面有無a11 x a12 y a13z b1公共點(diǎn)即判斷方程組 a21 x a22 y a23 zb2有無公共解，且方程組有多少公共解平面就有a31x a32 y a33 z b3多少公共點(diǎn)，由于方程組的系數(shù)矩陣與增廣矩陣的秩都是2 3(未知量的個(gè)數(shù) ) ，所以方程組有解且有無窮多解，故三個(gè)平面有無窮多個(gè)公共點(diǎn)，故應(yīng)排除(A) 三平面唯一交點(diǎn) (即方程組只有唯一解 )(C) 、 (D) 三平面沒有公共交點(diǎn)(即方程組無解 ).故應(yīng)選 (B) ，三個(gè)平面相交于一條直線，直線上所有的點(diǎn)均是平面的公共點(diǎn)，即有無窮多個(gè)公共點(diǎn) .(5) 【答案】 D【分析】函數(shù)f ( x) 成為概率密度

22、的充要條件為：(1) f ( x)0; (2)f ( x)dx1.函數(shù) F ( x) 成為分布函數(shù)的充要條件為：(1) F ( x) 單調(diào)不減；(2) lim F ( x)0, lim F ( x)1; (3) F (x) 右連續(xù) .xx我們可以用以上的充要條件去判斷各個(gè)選項(xiàng)，也可以用隨機(jī)變量的定義直接推導(dǎo).【詳解】 方法 1：(A) 選項(xiàng)不可能，因?yàn)?f1 (x)f2 (x)dxf1(x)dxf2 (x)dx1121也不能選 (B) ，因?yàn)榭扇》蠢?，?,1x0f21,0 x 1f1( x)其他(x)其他0,0,顯然 f1 ( x)， f2 ( x) 均是均勻分布的概率密度.而f1( x)

23、f 2 ( x)0 ，不滿足f1 (x) f2 (x)dx1條件 .(C)當(dāng)然也不正確，因?yàn)閘im F (x1)F ( x2 )1121x112002根據(jù)排除法，答案應(yīng)選(D).方法 2：令 Xmax( X1, X 2 ) ，顯然 X 也是一個(gè)隨機(jī)變量.X 的分布函數(shù)為F ( x)P XxP max(X1, X 2 )xP X1x, X 2xP X1x P X2xF1 (x) F2 (x) .三【詳解】方法 1：由題設(shè)條件知有l(wèi)im af (h) bf (2h)f (0)(ab1) f (0)0h0由于 f (0)0 ，所以 ab 10. 又由洛必達(dá)法則，lim af (h) bf (2h)

24、f (0)lim( af(h)2bf(2h)(a2b) f (0)h0hh0由于 af (h)bf (2 h)f (0)在 h0 時(shí)是比 h 高階的無窮小，由高階無窮小的定義知上式等于0，又由 f(0) 0,得 a2b0 .ab102, b1.解2b聯(lián)立方程組得， aa0方法 2：分別將 f (h),f (2 h) 按佩亞諾余項(xiàng)泰勒公式展開到o(h) ，有f ( h)f (0)f (0) ho1(h) ， f (2 h)f (0)2 f(0)ho2 ( h)從而af (h)bf (2 h)f (0)(ab1) f (0)(a2b) f(0) ho3 (h)由題設(shè)條件知，a b 1 0, a2b

25、0,所以 a2,b1.方法 3：由題設(shè)條件，有l(wèi)im af (h) bf (2h)f (0)(ab1) f (0)0h0由于 f (0)0 ，所以 ab 10. 再將 a1b 代入 lim 1 af (h)bf (2 h) f (0) ，h0h并湊成導(dǎo)數(shù)定義形式，有0lim af (h)bf (2h)f (0)lim (1b) f ( h)bf (2h)f (0)h0hh 0hlimf (h)f (0)b f ( h)f (0)2b f (2 h)f (0) h0hh2hf (0) bf (0) 2bf(0)（1b) f (0)從而a2, b1.122002四【詳解】由 yarctan x e

26、 t 2dt 知 y(0)0 ，由變上限積分的求導(dǎo)公式得0(arctan x)2(arctan x)2g1ye(arctanx)e1x2,（ ）(arctan0)21所以gy0e1021因此，過點(diǎn)(0,0) 的切線方程為yx.yf ( x) 在點(diǎn) (0,0) 處與上述曲線有相同的切線方程，于是f (0)0, f(0)1 .lim nf ( 2 )f ( 2)f (0)f ( 2 )f (0)limn12limn22 f(0)2nnnnnnmax x2 , y2寫成分塊表達(dá)式 .五【詳解】應(yīng)先將e記D1( x, y) 0x1,0yx , D2( x, y) 0x1,xy1max x2 , y 2ex2(x, y)D1;于是ey 2(x, y)D2.emax x2 , y2dmax x2 , y 2max x2 , y2ex2ey2從而eededddDD1D2D1D21dxx ex2dy1dy1ey2dx1ex2xdx1ey2ydy00000021x21x221dex2x21(e1)exdxedx0e|000六【詳解】 (1)記 P( x, y)1 1 y2 f (xy) ， Q( x, y)x y2 f ( xy) 1yy2(x2 y2 f (xy)1)(x2 )x( y2f ( xy)1)Qyy( y2f ( xy)xxx1)2xy1(