線性回歸方程求法

1、 必修必修3(3(第二章第二章 統(tǒng)計(jì)統(tǒng)計(jì)) )知識結(jié)構(gòu)知識結(jié)構(gòu) 收集數(shù)據(jù)收集數(shù)據(jù) ( (隨機(jī)抽樣隨機(jī)抽樣) ) 整理、分析數(shù)據(jù)整理、分析數(shù)據(jù) 估計(jì)、推斷估計(jì)、推斷 簡單隨機(jī)抽樣簡單隨機(jī)抽樣 分層抽樣分層抽樣 系統(tǒng)抽樣系統(tǒng)抽樣 用樣本估計(jì)總體用樣本估計(jì)總體變量間的相關(guān)關(guān)系變量間的相關(guān)關(guān)系 用樣本用樣本 的頻率的頻率 分布估分布估 計(jì)總體計(jì)總體 分布分布 用樣本用樣本 數(shù)字特?cái)?shù)字特 征估計(jì)征估計(jì) 總體數(shù)總體數(shù) 字特征字特征 線性回歸分析線性回歸分析 統(tǒng)計(jì)的基本思想統(tǒng)計(jì)的基本思想 y = f(x)y = f(x)y = f(x)y = f(x) y = f(x)y = f(x) 實(shí)際實(shí)際 樣本樣本

2、模模 擬擬 抽抽 樣樣 分分 析析 兩個(gè)變量的關(guān)系兩個(gè)變量的關(guān)系 不相關(guān)不相關(guān) 相關(guān)相關(guān) 關(guān)系關(guān)系 函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 線性相關(guān)線性相關(guān) 非線性相關(guān)非線性相關(guān) 現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系有哪些呢？現(xiàn)實(shí)生活中兩個(gè)變量間的關(guān)系有哪些呢？ 思考：相關(guān)關(guān)系與函數(shù)關(guān)系有怎樣的不同？ 函數(shù)關(guān)系中的兩個(gè)變量間是一種確定性關(guān)系 相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系 函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型函數(shù)關(guān)系是一種理想的關(guān)系模型 相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一相關(guān)關(guān)系在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，是更一 般的情況般的情況 自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一自變量取值一定時(shí)，因變量的取值帶有一 定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)

3、關(guān)系。定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系。 1 1、定義：、定義： 1 1）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系；）：相關(guān)關(guān)系是一種不確定性關(guān)系； 注注 對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行對具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行 統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。統(tǒng)計(jì)分析的方法叫回歸分析。 2 2）：）： 線性回歸方程求法線性回歸方程求法 2 2、現(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系?，F(xiàn)實(shí)生活中存在著大量的相關(guān)關(guān)系。 探索：水稻產(chǎn)量探索：水稻產(chǎn)量y y與施肥量與施肥量x x之間大致有何之間大致有何 規(guī)律？規(guī)律？ 10 20 30 40 5010 20 30 40 50 500500 450450 400400 350350 3

4、00300 發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。發(fā)現(xiàn)：圖中各點(diǎn)，大致分布在某條直線附近。 探索探索2 2：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條，：在這些點(diǎn)附近可畫直線不止一條， 哪條直線最能代表哪條直線最能代表x x與與y y之間的關(guān)系呢？之間的關(guān)系呢？ x x y y 施化肥量施化肥量 水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量 施化肥量施化肥量x x 15 20 25 30 35 40 45 15 20 25 30 35 40 45 水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量y y 330 345 365 405 445 450 455 330 345 365 405 445 450 455 散點(diǎn)圖散點(diǎn)圖 10 20 30 40 50 500

5、450 400 350 300 x y 施化肥量施化肥量 水稻產(chǎn)量水稻產(chǎn)量 n n 2 2 i ii i i i= =1 1 Q Q( (a a, ,b b) )= =( (y y - -b bx x - -a a) ) 取取最最小小值值時(shí)時(shí), ,a a, ,b b的的值值. . iiii (x ,y )(x ,y ) i i i i (x ,y )(x ,y ) | i i i i | |y y - -y y 怎樣求回歸直線？怎樣求回歸直線？ 最小二乘法：最小二乘法： y = bx+a (x,y)(x,y)稱為樣本點(diǎn)的中心稱為樣本點(diǎn)的中心。 n n ( (x x- - x x) )( (y

6、y- - y y) ) i ii i i i= =1 1 b b = = n n 2 2 ( (x x- - x x) ) i i i i= =1 1 a a = = y y - - b bx x. . n nn n 1 11 1 其其 中中 x x = =x x , ,y y = =y y . . i ii i n nn n i i= =1 1i i= =1 1 n n iiii i=1i=1 n n 2 2 2 2 i i i=1i=1 x y -nxyx y -nxy =,=, x-nxx-nx （3 3）對兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分析。）對兩個(gè)變量進(jìn)行的線性分析叫做線性回歸分

7、析。 2 2、回歸直線方程：、回歸直線方程： n nn n i ii ii i i i i i= =1 1i i= =1 1 n nn n 2 2 2 22 2 i ii i i i= =1 1i i= =1 1 ( (x x - - x x) )( (y y - - y y) )x x- - n nx xy y b b = = =, , ( (x x - - x x) )x x- - n nx x a a = = y y - - b bx x y y （2 2）相應(yīng)的直線叫做回歸直線。）相應(yīng)的直線叫做回歸直線。 （1 1）所求直線方程）所求直線方程 叫做回歸直線方程；叫做回歸直線方程； 其中

8、其中 y = bx+ay = bx+a （注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心）（注意回歸直線一定經(jīng)過樣本點(diǎn)的中心） 例例1 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所有支出的維修費(fèi)用和所有支出的維修費(fèi)用y(萬萬 元元)有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：有如下的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)： x23456 Y2.23.85.56.57.0 若由此資料所知若由此資料所知y對對x呈線性相關(guān)關(guān)系，試求：呈線性相關(guān)關(guān)系，試求： 回歸直線方程回歸直線方程 1.估計(jì)使用年限為估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？ 解題步驟：解題步驟： 作散點(diǎn)圖作散點(diǎn)圖 2.把數(shù)據(jù)列表，計(jì)算相應(yīng)的值，求出回歸系數(shù)把數(shù)據(jù)列表，計(jì)

9、算相應(yīng)的值，求出回歸系數(shù) 3.寫出回歸方程寫出回歸方程,并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。 例例2 （2007年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)年廣東）下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn) 甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量x（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗（噸）與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗y (噸標(biāo)準(zhǔn)噸標(biāo)準(zhǔn) 煤煤)的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)。的幾組對應(yīng)數(shù)據(jù)。 X3456 y2.5344.5 請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖請畫出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖 請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于關(guān)于x的的 性回歸方程性回歸方程 ybxa (3)已知該廠技改前已知該廠技改前1

10、00噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗為90噸標(biāo)準(zhǔn)噸標(biāo)準(zhǔn) 煤，試根據(jù)（煤，試根據(jù)（2）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)）求出的線性回歸方程，預(yù)測生產(chǎn)100 噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技改前降低多少噸標(biāo)準(zhǔn)煤？ （參考數(shù)值：（參考數(shù)值： 3 2.54 3 5 46 4.566.5 ） 小結(jié)：求回歸直線方程的步驟小結(jié)：求回歸直線方程的步驟 n nn n i ii ii i i i i i= =1 1i i= =1 1 n nn n 2 2 2 22 2 i ii i i i= =1 1i i= =1 1 ( (x x - - x x) )( (y y - - y

11、 y) )x x- - n nx xy y b b = = =, , ( (x x - - x x) )x x- - n nx x a a = = y y - - b bx x y y （2 2）所求直線方程）所求直線方程 叫做回歸直線方程；叫做回歸直線方程； 其中其中 y = bx+ay = bx+a （1）作散點(diǎn)圖，通過圖看出樣本點(diǎn)是否呈條狀分）作散點(diǎn)圖，通過圖看出樣本點(diǎn)是否呈條狀分 布，進(jìn)而判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。布，進(jìn)而判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系。 （3）根據(jù)回歸方程，并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。）根據(jù)回歸方程，并按要求進(jìn)行預(yù)測說明。 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 1.1.計(jì)算公式計(jì)算公式

12、2 2相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì) (1)|r|1(1)|r|1 (2)|r|(2)|r|越接近于越接近于1 1，相關(guān)程度越大；，相關(guān)程度越大；|r|r|越接越接 近于近于0 0，相關(guān)程度越小，相關(guān)程度越小 問題：達(dá)到怎樣程度，問題：達(dá)到怎樣程度，x x、y y線性相關(guān)呢？它線性相關(guān)呢？它 們的相關(guān)程度怎樣呢？們的相關(guān)程度怎樣呢？ n n i ii i i i= =1 1 n nn n 2 22 2 i ii i i i= =1 1i i= =1 1 ( (x x - - x x) )( (y y - - y y) ) r r = = ( (x x - - x x) )( (y y - - y

13、 y) ) 負(fù)相關(guān)負(fù)相關(guān)正相關(guān)正相關(guān) n n (x -x)(y -y)(x -x)(y -y) iiii i=1i=1 r=r= nnnn 2222 (x -x) (y -y)(x -x) (y -y) iiii i=1i=1i=1i=1 相關(guān)系數(shù)相關(guān)系數(shù) 正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常，正相關(guān)；負(fù)相關(guān)通常， r r-1,-0.75-0.75-負(fù)相關(guān)很強(qiáng)負(fù)相關(guān)很強(qiáng); ; r0.75,1正相關(guān)很強(qiáng)正相關(guān)很強(qiáng); r-0.75,-0.3-負(fù)相關(guān)一般負(fù)相關(guān)一般; ; r0.3, 0.75正相關(guān)一般正相關(guān)一般; r r-0.25, 0.25-0.25-相關(guān)性較弱相關(guān)性較弱; ; 第一章第一章 統(tǒng)計(jì)案例統(tǒng)計(jì)案例 1.

14、1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 （第二課時(shí)）（第二課時(shí)） a. 比數(shù)學(xué)3中“回歸”增加的內(nèi) 容 數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì) 畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖 了解最小二乘法了解最小二乘法 的思想的思想 求回歸直線方程求回歸直線方程 ybxa 1. 用回歸直線方程用回歸直線方程 解決應(yīng)用問題解決應(yīng)用問題 選修-統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型引入線性回歸模型 ybxae 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)產(chǎn) 生的原因生的原因 了解相關(guān)指數(shù)了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬和模型擬 合的效果之間的關(guān)系合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類利用線性回歸模型解決一類

15、 非線性回歸問題非線性回歸問題 5. 正確理解分析方法與結(jié)果正確理解分析方法與結(jié)果 什么是回歸分析：什么是回歸分析： “回歸回歸”一詞是由英國生物學(xué)家一詞是由英國生物學(xué)家F.Galton在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。在研究人體身高的遺傳問題時(shí)首先提出的。 根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以根據(jù)遺傳學(xué)的觀點(diǎn)，子輩的身高受父輩影響，以X記父輩身高，記父輩身高，Y記子輩身高。記子輩身高。 雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此，雖然子輩身高一般受父輩影響，但同樣身高的父親，其子身高并不一致，因此， X和和Y之間存在一種相關(guān)關(guān)系。之間存在一種相關(guān)關(guān)系。 一

16、般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身一般而言，父輩身高者，其子輩身高也高，依此推論，祖祖輩輩遺傳下來，身 高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩高必然向兩極分化，而事實(shí)上并非如此，顯然有一種力量將身高拉向中心，即子輩 的身高有向中心回歸的特點(diǎn)。的身高有向中心回歸的特點(diǎn)?！盎貧w回歸”一詞即源于此。一詞即源于此。 雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領(lǐng)域里的結(jié)論，并不具有普遍性，但從它雖然這種向中心回歸的現(xiàn)象只是特定領(lǐng)域里的結(jié)論，并不具有普遍性，但從它 所描述的關(guān)于所描述的關(guān)于X為自變量，為自變量，Y為不確定的因變量這種變量間的關(guān)系看，和

17、我們現(xiàn)在的為不確定的因變量這種變量間的關(guān)系看，和我們現(xiàn)在的 回歸含義是相同的?；貧w含義是相同的。 不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了不過，現(xiàn)代回歸分析雖然沿用了“回歸回歸”一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用一詞，但內(nèi)容已有很大變化，它是一種應(yīng)用 于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。于許多領(lǐng)域的廣泛的分析研究方法，在經(jīng)濟(jì)理論研究和實(shí)證研究中也發(fā)揮著重要作用。 回歸分析的內(nèi)容與步驟：回歸分析的內(nèi)容與步驟： 統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)通過后，最后是利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測因變量利用回歸模型，根據(jù)自變量去估計(jì)、預(yù)測因變量。 回歸分析通過一個(gè)變量或一

18、些變量的變化解釋另一變量的變化。回歸分析通過一個(gè)變量或一些變量的變化解釋另一變量的變化。 其主要內(nèi)容和步驟是，其主要內(nèi)容和步驟是， 首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，首先根據(jù)理論和對問題的分析判斷，將變量分為自變量和因變量將變量分為自變量和因變量； 其次，設(shè)法其次，設(shè)法找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）找出合適的數(shù)學(xué)方程式（即回歸模型）描述變量間的關(guān)系；描述變量間的關(guān)系； 由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要由于涉及到的變量具有不確定性，接著還要對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)； 例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重

19、數(shù)據(jù)如表1-1所示。所示。 編號12345678 身高/cm 165165 157 170 175 165 155 170 體重/kg4857505464614359 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。 案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重 解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為因變量，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖： 2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以

20、用線性回歸方程線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關(guān)系?？坍嬎鼈冎g的關(guān)系。 3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以直線的附近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù)不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。描述它們關(guān)系。 我們可以用下面的我們可以用下面的線性回歸模型來表示：線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中，其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機(jī)誤差。稱為隨機(jī)誤差。 思考思考P3 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)e 的原因是什么？的原因是什么？ 思考思考P4 產(chǎn)生隨機(jī)誤差項(xiàng)產(chǎn)

21、生隨機(jī)誤差項(xiàng)e的原因是什么？的原因是什么？ 隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差e e的來源的來源( (可以推廣到一般）：可以推廣到一般）： 1、其它因素的影響：影響身高 y 的因素不只是體重 x，可能 還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長環(huán)境等因素； 2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差； 3、身高 y 的觀測誤差。 函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別 函數(shù)模型： abxy 回歸模型： eabxy 可以提供 選擇模型的準(zhǔn)則 函數(shù)模型與回歸模型之間的差別函數(shù)模型與回歸模型之間的差別 函數(shù)模型： abxy 回歸模型： eabxy 線性回歸模型線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)增加了隨

22、機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量，因變量y的值由的值由 自變量自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即共同確定，即自變量自變量x只能解析部分只能解析部分y的變的變 化化。 在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量在統(tǒng)計(jì)中，我們也把自變量x稱為解析變量，因變量稱為解析變量，因變量 y稱為預(yù)報(bào)變量。稱為預(yù)報(bào)變量。 例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。 編號12345678 身高/cm165165 157 170 175 165 155 170 體重/kg4857505464614359 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方

23、程，并預(yù)報(bào)一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。 案例案例1：女大學(xué)生的身高與體重：女大學(xué)生的身高與體重 解：解：1、選取身高為自變量、選取身高為自變量x，體重為因變量，體重為因變量y，作散點(diǎn)圖：，作散點(diǎn)圖： 2、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的、由散點(diǎn)圖知道身高和體重有比較好的 線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程線性相關(guān)關(guān)系，因此可以用線性回歸方程 刻畫它們之間的關(guān)系?？坍嬎鼈冎g的關(guān)系。3、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條、從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條 直線的附近，而不是在一條直線上，所以直線的附

24、近，而不是在一條直線上，所以 不能用一次函數(shù)不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。描述它們關(guān)系。 我們可以用下面的我們可以用下面的線性回歸模型來表示：線性回歸模型來表示： y=bx+a+e，其中，其中a和和b為模型的未知參數(shù)，為模型的未知參數(shù)， e稱為隨機(jī)誤差。稱為隨機(jī)誤差。 例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。 5943616454505748體重/kg 170155165175170157165165身高/cm 87654321編號 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為

25、求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。 根據(jù)最小二乘法估計(jì) 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)， ab 制表 xi2 xi yi yi xi 7 8 合計(jì)654321i 2 iii xyxx y nn i=1i=1 ， ， ， . 例例1 從某大學(xué)中隨機(jī)選取從某大學(xué)中隨機(jī)選取8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如表1-1所示。所示。 5943616454505748體重/kg 170155165175170157165165身高/cm 87654321編號 求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回

26、歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為求根據(jù)一名女大學(xué)生的身高預(yù)報(bào)她的體重的回歸方程，并預(yù)報(bào)一名身高為 172cm的女大學(xué)生的體重。的女大學(xué)生的體重。 根據(jù)最小二乘法估計(jì) 和 就是未知參數(shù)a和b的最好估計(jì)， ab 于是有b= 1 2 2 1 0.849 n ii i n i i x ynx y xnx 85.712aybx 所以回歸方程是0.84985.712yx 所以，對于身高為所以，對于身高為172cm的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為的女大學(xué)生，由回歸方程可以預(yù)報(bào)其體重為 0.849 7285.71260.316()ykg ( , )x y 稱為 樣本點(diǎn)的中心 探究探究P4： 身高為身高為172c

27、m的女大學(xué)生的體重一定是的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？如嗎？如 果不是，你能解析一下原因嗎？果不是，你能解析一下原因嗎？ 探究探究P4： 身高為身高為172cm的女大學(xué)生的體重一定是的女大學(xué)生的體重一定是60.316kg嗎？嗎？ 如果不是，你能解析一下原因嗎？如果不是，你能解析一下原因嗎？ 答：身高為答：身高為172cm的女大學(xué)生的體重不一定是的女大學(xué)生的體重不一定是60.316kg， 但一般可以認(rèn)為她的體重在但一般可以認(rèn)為她的體重在60.316kg左右。左右。 對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)對回歸模型進(jìn)行統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn) 表表1-4列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。列出了女大

28、學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。 在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)， 是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。 殘差分析與殘差圖的定義：殘差分析與殘差圖的定義： 然后，我們可以通過殘差然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始來判斷模型擬合的效果，判斷原始 數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。 12,ne ee 編號編號12345678 身高身高 /cm 1651651571

29、70175165155170 體重體重/kg4857505464614359 殘差殘差 -6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382 我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本 編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。 殘差圖的制作及作用。殘差圖的制作及作用。 坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇；坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)

30、該分布在以若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以 橫軸為心的帶形區(qū)域橫軸為心的帶形區(qū)域； 對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意對于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。 身高與體重殘差圖 異常點(diǎn) 錯(cuò)誤數(shù)據(jù) 模型問題 幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為 的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù) 據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原

31、因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這 樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。 樣本決定系數(shù)樣本決定系數(shù) （判定系數(shù) ） 1.回歸平方和占總偏差平方和的比例回歸平方和占總偏差平方和的比例 我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n ii i n i i yy R yy 殘差平方和 。 總偏

32、差平方和 顯然，顯然，R2的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。的值越大，說明殘差平方和越小，也就是說模型擬合效果越好。 在線性回歸模型中，在線性回歸模型中，R2表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率表示解析變量對預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率。 R2越接近1，表示回歸的效果越好（因?yàn)镽2越接近1，表示解析變量和預(yù)報(bào)變量的 線性相關(guān)性越強(qiáng)）。 如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較如果某組數(shù)據(jù)可能采取幾種不同回歸方程進(jìn)行回歸分析，則可以通過比較R2的值的值 來做出選擇，即來做出選擇，即選取選取R2較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型較大的模型作為這組數(shù)據(jù)的模型。 總的來說

33、：總的來說： 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。是度量模型擬合效果的一種指標(biāo)。 在線性模型中，它在線性模型中，它代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力代表自變量刻畫預(yù)報(bào)變量的能力。 我們可以用相關(guān)指數(shù)我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是來刻畫回歸的效果，其計(jì)算公式是 2 2 1 2 1 () 11 () n ii i n i i yy R yy 殘差平方和 。 總偏差平方和 1354總計(jì) 0.36128.361殘差變量 0.64225.639解釋變量 比例平方和來源 表表1-3 從表從表3-1中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了中可以看出，解析變量對總效應(yīng)約貢獻(xiàn)了64%，

34、即，即R2 0.64，可以敘述為，可以敘述為 “身高解析了身高解析了64%的體重變化的體重變化”，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的，而隨機(jī)誤差貢獻(xiàn)了剩余的36%。 所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。所以，身高對體重的效應(yīng)比隨機(jī)誤差的效應(yīng)大得多。 用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題：用身高預(yù)報(bào)體重時(shí)，需要注意下列問題： 1、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；、回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體； 2、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性；、我們所建立的回歸方程一般都有時(shí)間性； 3、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍；、樣本采集的范圍會影響回歸方程的適用范圍； 4、不能期望回歸方程得

35、到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。、不能期望回歸方程得到的預(yù)報(bào)值就是預(yù)報(bào)變量的精確值。 事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。事實(shí)上，它是預(yù)報(bào)變量的可能取值的平均值。 這些問題也使用于其他問題。這些問題也使用于其他問題。 涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想：涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體；模型適用的總體； 模型的時(shí)間性；模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對模型的影響；樣本的取值范圍對模型的影響； 模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。 小結(jié)：小結(jié)： 一般地，建立回歸模型的基本步驟為：一般地，建立回歸模型的基本步驟為： （1）確定研究對象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。）確定研究對

36、象，明確哪個(gè)變量是解析變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量。 （2）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系）畫出確定好的解析變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系 （如是否存在線性關(guān)系等）。（如是否存在線性關(guān)系等）。 （3）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性）由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型（如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關(guān)系，則選用線性 回歸方程回歸方程y=bx+a）. （4）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。）按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)（如最小二乘法）。 （5）得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn)）得出結(jié)果后分析殘差圖

37、是否有異常（個(gè)別數(shù)據(jù)對應(yīng)殘差過大，或殘差呈現(xiàn) 不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是不隨機(jī)的規(guī)律性，等等），過存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是 否合適等。否合適等。 建構(gòu)數(shù)學(xué)模型建構(gòu)數(shù)學(xué)模型 我們將我們將y=bx+a+e 稱為線性回歸模型其中稱為線性回歸模型其中a, b為模型的未知參數(shù)，解釋變量為模型的未知參數(shù)，解釋變量x，預(yù)報(bào)變量，預(yù)報(bào)變量y， e稱為隨機(jī)誤差。稱為隨機(jī)誤差。 思考思考1：e產(chǎn)生的主要原因是什么？產(chǎn)生的主要原因是什么？ (1)所用確定函數(shù)模型不恰當(dāng)；所用確定函數(shù)模型不恰當(dāng)； (2)忽略了某些因素的影響；忽略了某些因素的影響； (3)觀測誤差。觀

38、測誤差。 思考思考2：如何檢查擬合效果的好壞？如何檢查擬合效果的好壞？ （1）散點(diǎn)圖）散點(diǎn)圖 （2）相關(guān)系數(shù)）相關(guān)系數(shù) （3）殘差分析）殘差分析 （4）回歸效果的相關(guān)系數(shù)）回歸效果的相關(guān)系數(shù) ii yye n i ii yy 1 2 )( 2 1 2 2 )( )( 1 yy yy R i n i ii 被害棉花被害棉花 紅鈴紅鈴 蟲喜高溫高濕，適宜各蟲蟲喜高溫高濕，適宜各蟲 態(tài)發(fā)育的溫度為態(tài)發(fā)育的溫度為 25一一32C，相對濕，相對濕 度為度為80一一100，低于，低于 20C和高于和高于 35C卵不能孵化，相對濕度卵不能孵化，相對濕度60 以以 下成蟲不產(chǎn)卵。冬季月平均氣溫低下成蟲不產(chǎn)卵。

39、冬季月平均氣溫低 于一于一48 時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬時(shí)，紅鈴蟲就不能越冬 而被凍死。而被凍死。 問題情景問題情景 1953 1953年，年，1818省發(fā)生紅鈴蟲大災(zāi)害，受災(zāi)省發(fā)生紅鈴蟲大災(zāi)害，受災(zāi) 面積面積300300萬公頃，損失皮棉約二十萬噸。萬公頃，損失皮棉約二十萬噸。 溫度溫度xoC21232527293235 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)卵數(shù)y/個(gè)個(gè)711212466115325 例例2、現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)、現(xiàn)收集了一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度和溫度x之間的之間的 7組觀測數(shù)據(jù)列于下表：組觀測數(shù)據(jù)列于下表： （1 1）試建立產(chǎn)卵數(shù)）試建立產(chǎn)卵數(shù)y y與溫度與溫度x x之間的回歸方之間的回歸方 程；并

40、預(yù)測溫度為程；并預(yù)測溫度為2828o oC C時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。 （2 2）你所建立的模型中溫度在多大程度上）你所建立的模型中溫度在多大程度上 解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？ 問題呈現(xiàn)：問題呈現(xiàn)： 假設(shè)線性回歸方程為假設(shè)線性回歸方程為 ：=bx+a 選變量選變量 畫散點(diǎn)圖畫散點(diǎn)圖 選選 模模 型型 分析和預(yù)測分析和預(yù)測 估計(jì)參數(shù)估計(jì)參數(shù) 由計(jì)算器得：線性回歸方程為由計(jì)算器得：線性回歸方程為y=19.87x-463.73 相關(guān)指數(shù)相關(guān)指數(shù)R2=r20.8642=0.7464 解：選取氣溫為解釋變量解：選取氣溫為解釋變量x，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù)，產(chǎn)卵數(shù)為預(yù) 報(bào)變量報(bào)變量y。 所以，一次函數(shù)模

41、型中溫度解釋了所以，一次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。的產(chǎn)卵數(shù)變化。 問題探究問題探究 0 0 5050 100100 150150 200200 250250 300300 350350 0 03 36 69 91212151518182121242427273030333336363939 方案方案1 當(dāng)當(dāng)x=28時(shí)，時(shí)，y =19.8728-463.73 93 9366！? 模型不好？模型不好？ 奇怪？奇怪？ y=bx2+a 變換變換 y=bx+a 非線性關(guān)系非線性關(guān)系 線性關(guān)系線性關(guān)系 方案方案2 問題問題 選用選用y=bx2+a ，還是，還是y=bx2+cx+a ？ 問題問題3 產(chǎn)卵數(shù)產(chǎn)