斐波那契數(shù)列隱周期性質(zhì)

1、圖形計算器研究斐波那契數(shù)列隱含周期性所在省市：天津市 作者姓名：李元亨所在學(xué)校： 天津耀華中學(xué)指導(dǎo)教師：王洪亮一.簡單背景介紹斐波那契數(shù)列，又稱兔子數(shù)列，是一種最簡單的遞歸數(shù)列；它的提出，首先在斐波那契的算盤之書中出現(xiàn)，有趣的是，斐波那契只是把這種簡單的計算關(guān)系作為十進(jìn)制數(shù)字比羅馬數(shù)字簡單的優(yōu)越性的一個例子，這個例子又叫做兔子謎題，原題如下：一般而言，兔子在出生兩個月后，就有繁殖能力。一對兔子每個月能生出一對小兔子來 如果所有兔都不死，那么一年以后可以繁殖多少對兔子?簡單分析一下，可知：幼仔對數(shù)=前月成兔對數(shù) 成兔對數(shù)=前月成兔對數(shù)十前月幼仔對數(shù)總體對數(shù)=本月成兔對數(shù)十本月幼仔對數(shù)可以看出幼仔

2、對數(shù)、成兔對數(shù)、總體對數(shù)都構(gòu)成了一個數(shù)列。這個數(shù)列有十分明顯的特點, 那是：前面相鄰兩項之和，構(gòu)成了后一項。這樣我們就得到了一個遞歸式：fn =f （n-1） +f （n-2） （n=2, n? n*）三.關(guān)于斐波那契數(shù)列周期性性質(zhì)的探究斐波那契數(shù)列的無窮遞增的性質(zhì)很容易根據(jù)圖形計算器的圖形得到探究。我相信任何一個無窮遞增數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)當(dāng)不僅僅與數(shù)列中每項的數(shù)字或數(shù)本身有關(guān)，也應(yīng)當(dāng)進(jìn)行其在與數(shù)字進(jìn)行其他運算方法的關(guān)系。利用類比的數(shù)學(xué)思想，我認(rèn)為，有許多種無窮遞增數(shù)列，即使在每項本身沒有較易發(fā)現(xiàn)的關(guān)系，在經(jīng)過某種運算后也可以體現(xiàn)出特殊的性質(zhì)一一體現(xiàn)周期性。 因此，我們有不太充分的理由可以相信，斐波

3、那契數(shù)列經(jīng)過一種或幾種特殊的運算之后也應(yīng)當(dāng)可以體現(xiàn)出某種周期關(guān)系。 為了讓一個遞增數(shù)列體現(xiàn)出一種周期性，我們只可以使其失去遞增的特點，否則永遠(yuǎn)無法繼續(xù)上一個周期。首先我只是認(rèn)為斐波那契數(shù)列的末位數(shù)應(yīng)當(dāng)有周期關(guān)系（只要出現(xiàn)連續(xù)兩項于前面的連續(xù)兩項相等，后面必定具有周期性，證明從略）為了探討這個問題，我將斐波那契數(shù)列一直用筆列至 70項，使用了大量的時間，經(jīng)過了巨大的運算量才發(fā)現(xiàn)了規(guī)律。后來，經(jīng)過分析我認(rèn)為斐波那契數(shù)列中每一項的末尾數(shù)即是每一項除以10的余數(shù)。所以我們可以探討對其他數(shù)取余的情況，經(jīng)過了如此大規(guī)模的計算，我認(rèn)為我應(yīng)當(dāng)可以減少計算量。突然，一個想法映入我的腦海：可使用圖形計算其強(qiáng)大的計

4、算功能來幫助我進(jìn)行研（一）斐波那契數(shù)列的周期性關(guān)系對于斐波那契數(shù)列是否具有隱含的周期性， 究，所以我們定義一個數(shù)列 bn = bn mod m 問題，我們可以定義一個數(shù)列究，弁可以使用圖表、遞歸等多種方式生動的將我的結(jié)論展現(xiàn)出來。及余數(shù)的周期性我們應(yīng)當(dāng)先進(jìn)行較為一般性的探（m是整數(shù)），以探究bn的周期性。為了更深層 地討論周期性 kn ,以代表bn= bn mod n 的周期長度。1）首先我們討論一下周期的存在性利用上面建立的斐波那契數(shù)列an建立一個bn體現(xiàn)其余數(shù)關(guān)系。11取我們?nèi)稳∫粋€數(shù)，比如說 11(bn=an+1-int (an+1/11 ) *11 )即斐波那契數(shù)列中每一項對旬唾晅巫3

5、 qaes遞bri43+ 2 sln + 1 +8n口+2bw言內(nèi)wlnt警567怯城ffl點u又科這時，k(11) = 10 o下面這個表格展示了一個周期里的數(shù)字。項數(shù)12345678910b(n)112358210102)數(shù)表不容易體現(xiàn)其周期性，所以觀察其連續(xù)圖。1vjj在可以體現(xiàn)了較為明顯的周期3r77 f 、drm=11時存在。這時k( 11)=10不過我們還可以嘗試一下其他的數(shù)使斐波那契數(shù)列的每一項對其取余, 發(fā)事件。3)所以我們把bn的式子改為bn=an+1-int&n * 2 =4lii * 1b2日anr-lnt /n.ani-i以確定這不是一個偶(an+1/22)取余。這時

6、k( 22) =30遞歸還是可以體現(xiàn)很明顯的周期性，不過顯然周期中數(shù)字的個數(shù)(22)=30要長很多。下面這個表格展示了 一個周期里的數(shù)字。項數(shù)b(n)71382191210111221314133151616171913181019120112112221231324142552619272282921 130 0項數(shù)123456789101112b(n)1123505527105)在探究周期性的同時我們可以得到一個發(fā)現(xiàn)，即每一個周期的最后一個數(shù)都是一個數(shù)是1。更有趣的猜想是，每一項的周期數(shù)k (n)似乎都是一個偶數(shù)。0,而前這時極易找出一個反例，即在而和等比數(shù)列不同的是，其周期中數(shù)字個數(shù)的在

7、取余時變化(周期長度的變化)周期長度的差異不是很大，而在斐波那契數(shù)列中的每一項對其他數(shù)取余時，的變化就很明顯了。這就是斐波那契數(shù)列相似的周期性中的不同點。4)我們把bn的式子改為bn=an+1-int ( an+1/8 ) *8即斐波那契數(shù)列中每一項對在除數(shù)變化 不太大時,周期8取余。這時 k (8) =12下面這個表格展示了一個周期里的數(shù)字n=2 時，k ( 2) =3項數(shù)123b(n)110bn+3 1 ad51611*3l! 筑凰ii占顯然，我們?yōu)榱舜_認(rèn)是否是 k (n)在n2時是偶數(shù)還需進(jìn)一步驗證。卜面為了節(jié)約篇幅，展示出我得到的一組數(shù)據(jù)。n34567k(n)8620241620212

8、2232426601630482484后有經(jīng)過多次程序驗證，我們可以得知在8122772910 1124 60 1028 29 314814 30n 1 5 0 0 時12 13 1424 28 4832 33 3448 40 36這個猜想成立15161718194024362418353637802476,進(jìn)一步的證明還需要較高級的數(shù)學(xué)知識。(二)周期長短的問題經(jīng)過剛才的驗證，我們可以更了解到k(n)的性質(zhì)。剛才我們在試驗斐波那契數(shù)列對10取余時，發(fā)現(xiàn)對10取余時得到的k( 10)非常之大，已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于24和10,更有k(25)與k(30)已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于100,使我不禁懷疑了以上結(jié)論的正確性，

9、不過最終找到了結(jié)果。1)下面我們嘗試一下對10取余。這是對10取余之后得到的bn,好像失去周期性02)對于剛才的數(shù)據(jù)，我們觀察到 k(5)=20遠(yuǎn)大于k(4)和k(7)。所以我們可以做出一個猜想一一即這個數(shù)列的周期長度和5 一定有某種關(guān)系。3)為了驗證上面的猜想，我們作出項數(shù)與周期長度散點圖?？诳诳诳?n 口可以發(fā)現(xiàn)，在5的倍數(shù)時周期長度偏大，且每 5個數(shù)體現(xiàn)一定的周期遞變性。(三)斐波那契數(shù)列周期長度的關(guān)系經(jīng)過剛才的驗證，我們可以更了解到k(n)的性質(zhì)。剛才我們在試驗斐波那契數(shù)列對11取余時可以發(fā)現(xiàn)，周期長度正好等于11-仁10。我認(rèn)為這不只是一個巧合，還另有其他道理。11是一個質(zhì)數(shù)，我覺得

10、我們可以從質(zhì)數(shù)角度下手，來進(jìn)一步討論這個問題。但顯然，下一個質(zhì)數(shù)13就沒有這樣的性質(zhì)，k(13)=28 (如1)根據(jù)剛栩推斷畫個質(zhì)數(shù)，自然而然,2)我們來做一下b個討論的項數(shù) b(n) 16 261117)165畫鄴個可題的關(guān)鍵,加是下31) 井下k(3q網(wǎng)下?93242310111224281025262752821314151652128 293030 10因此我們需要找到一個比11多5k的izl iewsln + 2 =aln 十 1bn + 2 san4l-int an +f面再試驗一下k(19)o如圖31這時也符合k(p尸p-1,(p=5n+1,p 為質(zhì)數(shù))3)關(guān)于其他質(zhì)數(shù)的討論:我

11、認(rèn)為這種關(guān)系不應(yīng)當(dāng)僅僅限于小部分質(zhì)數(shù)還已經(jīng)得到了一些關(guān)于其他質(zhì)數(shù)的k(p),比如說k(29)=14(如圖表)冰上由阪取u 用312345678910 11121314b(n) 112358132526 22810這時k(29)=14,而29-仁28,剛才的結(jié)論對其無效。但 1 14是28的一個因數(shù)，這應(yīng)該不僅僅是一個巧合。項數(shù)123456 7891011121314151618b(n)112358 13215171311516218 110k(19)=184)這時結(jié)論可更正為p =5k 1時k(p)|(p-1)關(guān)于結(jié)論的一些想法畢竟，我們只是解決了p =5k 1時的質(zhì)數(shù)的k(p)的關(guān)系，離徹底解決問題還差很多，畢竟這篇文章中的大多數(shù)結(jié)論只是在小范圍內(nèi)總結(jié)出來的，未經(jīng)證明的一些想法，不具有更大的普遍性，還需要進(jìn)一步證明一下。結(jié)論與感悟我們利用圖形計算器，可以做到生活中不方便利用實物完成，且完成得不如圖形計算器有趣的數(shù)據(jù)分析，弁且減少了很大的計算量。圖形計算器的參與讓數(shù)學(xué)更簡單，更有趣，