概率論和數(shù)理統(tǒng)計模擬考試題目和答案解析

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計模擬考試題目和答案解析概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)題（一）一 填空1.。若與獨立，則 ；若已知中至少有一個事件發(fā)生的概率為，則 。2且，則 。3設(shè)，且，則 ； 。4。若服從泊松分布，則 ；若服從均勻分布，則 。5設(shè)，則 6則 。7，且與獨立，則 （用表示）， 。8已知的期望為5，而均方差為2，估計 。9設(shè)和均是未知參數(shù)的無偏估計量，且，則其中的統(tǒng)計量 更有效。10在實際問題中求某參數(shù)的置信區(qū)間時，總是希望置信水平愈 愈好，而置信區(qū)間的長度愈 愈好。但當(dāng)增大置信水平時，則相應(yīng)的置信區(qū)間長度總是 。二假設(shè)某地區(qū)位于甲、乙兩河流的匯合處，當(dāng)任一河流泛濫時，該地區(qū)即遭受水災(zāi)。設(shè)某時期內(nèi)甲河流泛

2、濫的概率為0.1；乙河流泛濫的概率為0.2；當(dāng)甲河流泛濫時，乙河流泛濫的概率為0.3，試求： （1）該時期內(nèi)這個地區(qū)遭受水災(zāi)的概率；（2）當(dāng)乙河流泛濫時,甲河流泛濫的概率。三高射炮向敵機發(fā)射三發(fā)炮彈（每彈擊中與否相互獨立），每發(fā)炮彈擊中敵機的概率均為0.3，又知若敵機中一彈，其墜毀的概率是0.2，若敵機中兩彈，其墜毀的概率是0.6，若敵機中三彈則必墜毀。（1）求敵機被擊落的概率；（2）若敵機被擊落，求它中兩彈的概率。四 X 的概率密度為且E(X)=。（1）求常數(shù)k和c；(2) 求X的分布函數(shù)F(x)； 五 （X,Y）的概率密度。求 （1）常數(shù)k；（2）X與Y是否獨立；（3）；六.設(shè)X，Y獨立，

3、下表列出了二維隨機向量（X，Y）的分布，邊緣分布的部分概率，試將其余概率值填入表中空白處.七. 某人壽保險公司每年有10000人投保，每人每年付12元的保費，如果該年內(nèi)投保人死亡，保險公司應(yīng)付1000元的賠償費，已知一個人一年內(nèi)死亡的概率為0.006。用中心極限定理近似計算該保險公司一年內(nèi)的利潤不少于60000元的概率. 四、解：由密度函數(shù)的性質(zhì)及數(shù)學(xué)期望的定義，有 即 由知x的密度函數(shù)為當(dāng)x ；當(dāng)時 當(dāng)時 五、由（x、y）聯(lián)合密度的性質(zhì)有： 即 由可求出（x，y）的聯(lián)合密度： 故x, y 相互獨立。 由知相互獨立。六、略七、解：令x為一年內(nèi)死亡人數(shù)，題中10000人投標(biāo)，每人每年死亡率0.0

4、06且每人每年死亡相互獨立，故x N（10000*0.006，10000*0.006*0.994）即x N（60，59.64）設(shè)A：保險公司一年內(nèi)的利潤不少于60000元。即A：10000*12-1000x60000概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)題（二）本復(fù)習(xí)題中可能用到的分位數(shù)：，。一、填空題（本題滿分15分，每小題3分）1、設(shè)事件互不相容，且則 。2、設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為： 則隨機變量的分布列為 。3、設(shè)兩個相互獨立的隨機變量和分別服從正態(tài)分布和，則= 。4、若隨機變量服從上的均勻分布，且有切比雪夫不等式則 , 。二、單項選擇題（本題滿分15分，每小題3分）1、設(shè)則有（ ）。 (A) 互不相容；

5、(B) 相互獨立；(C) 或； (D) 。 2、設(shè)離散型隨機變量的分布律為：且，則為（ ）。(A) ；(B) ；(C) ；(D) 大于零的任意實數(shù)。3、設(shè)隨機變量和相互獨立，方差分別為6和3，則=（ ）。(A) 9；(B) 15；(C) 21；(D) 27。 4、對于給定的正數(shù)，設(shè)，分別是，分布的下分位數(shù)，則下面結(jié)論中不正確的是（ ）（A）； （B）；（C）； （D）5、設(shè)()為來自總體的一簡單隨機樣本，則下列估計量中不是總體期望的無偏估計量有（ ）。(A)； (B)；(C)； (D)。三、（本題滿分12分） 人們?yōu)榱私庖恢Ч善蔽磥硪欢〞r期內(nèi)價格的變化，往往會去分析影響股票價格的基本因素，比如

6、利率的變化?，F(xiàn)在假設(shè)人們經(jīng)分析估計利率下調(diào)的概率為60%，利率不變的概率為40%，根據(jù)經(jīng)驗，人們估計，在利率下調(diào)的情況下，該支股票價格上漲的概率為80%，而在利率不變的情況下，其價格上漲的概率為40%，求該支股票將上漲的概率。四、（本題滿分12分） 設(shè)隨機變量的分布密度函數(shù)為試求： （1）常數(shù)； （2）落在內(nèi)的概率； （3）的分布函數(shù)五、（本題滿分10分）為估計一分鐘一次廣告的平均費用，隨機抽取了100個電臺作為樣本，計算得樣本的平均值元，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為元，在廣告費用X的分布未知時，試求平均廣告費的置信區(qū)間。解答：由于X的樣本容量較大，故認(rèn)為X近似服從正態(tài)分布，臨界值， ，于是一分鐘一次平均廣告

7、費的置信區(qū)間為，六、（本題滿分12分） 設(shè)為來自總體的一個樣本，服從指數(shù)分布，其密度函數(shù)為，其中為未知參數(shù)，試求的矩估計量和極大似然估計量。七、（本題滿分12分）設(shè)某市青少年犯罪的年齡構(gòu)成服從正態(tài)分布，今隨機抽取9名罪犯，其年齡如下：22，17，19，25，25，18，16，23，24，試以95%的概率估計犯罪青少年年齡的置信區(qū)間。概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習(xí)題(二)參考解答一、 填空題:1、 P()=1-p-q分析: P()=1-p-q2、 x-112P0.30.30.4 分析:依離散型隨機變量的分布函數(shù)可得.3、P=0.5分析: x+yN(1,3)Px+y1=F(1)= ()= (0)=0.54、

8、b=3,=2分析: 二.單項選擇題1. D分析: (A)中,A和B互不相容P(AB)=0,但不能反推; (B)中,P(AB)=P(A)P(B)A、B相互獨立; (C)中,P(A)=0或P(B)=0與P(AB)=0無關(guān); (D)中,P(A-B)=P(A)2. A分析:由分布律的性質(zhì)可知:01且=1即=1;由等比數(shù)列求和可知:=1=3. D分析:D(2x-y)=27 4. B分析:由各對應(yīng)分布的分位數(shù)性質(zhì)可得.5. B分析: (A) 顯然為總體期望的無偏估計 (B)E(+)=E+E+E=n 顯然不是總體期望的無偏估計; (C)E0.1(6+4)=E(0.6+0.4)=0.6E+0.4E=0.6+0

9、.4= (D)E(+-)=E+E+E=+-=三.解答:設(shè)A為事件利率下調(diào),那么即為利率不變, 記B為事件股票價格上漲,由題設(shè)P(A)=60% P()=40% P(A)=80% P(B)=40%于是 P(B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(A)+ P()P(B)= 60%80%+40%40%=64%四.解:由密度函數(shù)的性質(zhì).1) =1+=1=1A=2) =(+)= x落在(,)內(nèi)的概率為.3)x-1時 F(x)=0 -1x0,未知) 試求未知參數(shù) 的矩陣計量。4、設(shè)某次考試的考生成績X服從 , 均未知，從中隨機地抽取25名考生的成績，計算得到平均成績=67.5 分 ，標(biāo)準(zhǔn)差s=10.5 分

10、，試問在顯著性水平=0.05 下，是否可以認(rèn)為全體考生的平均成績?yōu)?0分？(25)=1.708, (25)=2.0595, (24)=1.711, (24)=2.064)5、已知：n=6, =426, =30268, =21, =1481, =79. 試計算相關(guān)系數(shù)，確定y關(guān)于x的回歸直線方程。五、證明題（每小題5分，共10分）1、對于任意的常數(shù)C，試證明：.2、設(shè)總體X服從 分布，證明：服從分布.復(fù)習(xí)題（七）參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)（2010）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1、A 2、B 3、D 4、C 5、A 6、B 7、C 8、D 9、A 10、D二填空題（每空處兩分，共20分）1.

11、0.56 0.38 2. 6/5 4/53.N(0, 1) 分布（標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布） 分布4. 1 5. 三、判斷題（每小題2分，共10分）1. 2. 3. 4. 5.四、計算題（每小題8分，共40分） 2.解(1)根據(jù)隨機變量X密度函數(shù)的表達式可知，X服從正態(tài)N（3，）分布，從而E(X)=3.由于Y的密度， 所以3.解：總體的數(shù)學(xué)期望為 根據(jù)矩估計意義有，解得參數(shù)的矩估計為4.解 依題提出原假設(shè) 由于主題方差未知，在成立時，統(tǒng)計量 t(25)分布所以檢驗的拒絕域為：| t | 計算 t統(tǒng)計量值：從而接受原假設(shè)，可以認(rèn)為全體考生的平均成就為70分。5.解：依題意計算：n=6 =71 ， =3.5，=22 ； =5.5= 10所以，相關(guān)系數(shù) 可見y與x之間存在及其顯著的線性關(guān)系?；貧w系數(shù) b= a=35.773所以，所求的回歸方程為 五.證明 ：對于任意的常數(shù)C = = =+由于 0所以 .2