數(shù)學文第一輪第3章第21講數(shù)列應用

1、 數(shù)列與不等式、函數(shù)知數(shù)列與不等式、函數(shù)知 識的綜合識的綜合 1【例 】 3 31 3 231 7 12() 1 . 1 1 2 1 . 3 n nnnnn n n nn n f xxaaa aaSfaba S nT b aS T 設 ，等差數(shù)列中， ， ，記 令 ，數(shù) 列的前 項和為 求的通項公式與 ； 求證： 【變式練習】 311231 1 3 3 11 . 273312 1332. ()31. (32)(31) 11111 (), (32)(31)3 3231 111 (1). 1 1 2 333 n n nnn nnn n n ad aadaaaad adan fxxSfaan ba

2、Snn bnnnn T n 設數(shù)列的公差為 由 ， ， 解得 ， ，所以 因為 ，所以 證明：因為 ， 所以 所以 【解析】 數(shù)列中的探索性問題數(shù)列中的探索性問題 2* 11 () 42 2 1 nn nnn n anS Saa n a N 各項均為正 【 數(shù)的數(shù)列的前 項和為 ， 】 求 例 ； * 24 2 12 () (01) 3() () 2 3 () n nnn n nn nn nn n n an bcbn bn cnT bqaqqq cnbbb qc qc N 為奇數(shù) 令 ， ， 為偶數(shù) 求的前 項和 ； 令 、 為常數(shù)，且， 是否存在實數(shù)對 ，使得數(shù)列成等比數(shù)列？若存在， 求出實

3、數(shù)對，及數(shù)列的通項公式；若 不存在，請說明理由 22 111111 11 22 111 22 11 11 1 * 1111 0. 4242 02 1111 2, 4242 11 ()()0, 42 ()(2)0. 02 2) 1 ( nnnnnnn nnnn nnnn nnn n n aSaaaa aa naSSaaaa aaaa aaaa aaa a an n N 因為，所以 ； 當時， - 即 因為，所以 ， 所以為等差數(shù)列， 所 】 以 【解析 1633 284211 24212221 1 221 231 6 2. 3 22 8(22)(22)(22) 22 6(1) . 22 (2*)

4、 2 nnnn n n n n n n n cbba cbbbba ncbbb a T n n T n nn N ， 當時， ， 此時， ； 所以 且 22 2 222 22 2 2 1 (1) 3 1 3(1) . 11 1 30 .1 3 10 2 33 ()( 1)4 ( ). 24 3 n n n n n qq cnn q qq n qq q q q qc 令 所以存在， ， 應用遞推公式時要注意下標是正 整數(shù)，即要注意n的取值范圍；對等 差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式和前n 項求和公式的特征要熟練掌握并且能 夠應用本題(3)也可以從特殊到一 般，先由c1，c2，c3成等比數(shù)列，求 出(，

5、q)，再代入檢驗 14222 * . 114 24 299 2010 2 n nnn nn ad nSbnT aSSbT nSTN 已知數(shù)列是公差為 的等差數(shù)列，它的 前 項和為 ；等比數(shù)列的前 項和為 若 ， 【變 ， ， ，是否 存在，使得 ？若存在，求 出來；若不存在，說 式練習 】 明理由 42 11 2 11 221 24 464241. 1(1) 222 141 993 1 3 11 (1) 11 33 (1). 1 23 1 3 n n n n n SS adadd n nn aSnad bTb bq T 由 ， 得 ，解得 又 ，所以 ； 由 ， ，得 ， 所以等比數(shù)列的公比

6、， 所以 【解析】 * 2 * 2010 1 4019 3 2010 nn n nn nST n nn ST N NN 若存在，使得 ， 代入化簡得 ， 顯然時無解，即不存在， 使得 ， 數(shù)列的實際應用數(shù)列的實際應用 2009500 2010 20.2010 600 (2010) 1 500(1)() 2n n n 某企業(yè)年的純利潤為萬元，因設備老化 等原因，企業(yè)的生產能力將逐年下降，若不進 行技術改造，預計從年起每年比上一年純 利潤減少萬元年初該企業(yè)一次性投入資 金萬元進行技術改造，預計在未扣除技術改 造資金的情況下，第 年年為第一年 的利潤 為萬元 為 【例3 整數(shù) 】 (1)從2010年

7、起的前n年，若該企業(yè)不進行 技術改造的累計純利潤為An萬元，進行技 術改造后的累計純利潤為Bn萬元(需扣除技 術改造資金)，求An和Bn的表達式； (2)依據(jù)上述預計，從2010年起該企業(yè)至少 經過多少年，進行技術改造后的累計純利 潤超過不進行技術改造的累計純利潤？ 2 2 (50020)(500220)(50020) 1 5002049010 2 111 500(1)(1)(1) 600 222 11 1 22 500500600 1 1 2 500 50. 1 0100 2 n n n n n An n n nnn B n n 由題意知： ， 解】 【析 2 3 4 500 (500100

8、)(49010) 2 500 10 (1)10 2 500 (1)10(0) 2 13 500500 (1)103 (31)100 22 500500 4(1)104(41)100; 22 . 1 2 4 20 0 nn n n x n n nn BAnnn n n yx x n n n nn n nBA 因為函數(shù) 在 ，上是增函數(shù)， 故當時， ； 當時， 即當時， 所以，從年起該企4業(yè)至少經過 年，進行技術改造 后的累計純利潤超過不進行技術改造的累計純利潤 本題考查利用等差、等比數(shù)列的基本知 識解決實際問題的能力“每年比上一年純 利潤減少20萬元”是等差數(shù)列模型，“累計 純利潤”是求和，因此

9、，本題用等差、等比 數(shù)列求和的方法求得累計純利潤；“至少經 過多少年，進行技術改造后的累計純利潤超 過不進行技術改造的累計純利潤”就是要求 出BnAn的最小正整數(shù)n.本題是用構造函數(shù)， 利用單調性的方法解決這個問題的 * (1) () 2 1 2104000 n n ab nn b n Sn ab N 某產品具有一定的時效性，在這個時效期 內，由市場調查可知，在不作廣告宣傳且 每件獲利 元的前提下，可賣出 件；若作 廣告宣傳，廣告費為 千元比廣告費為 【變式 千元時多賣出件 試寫出銷售量與 的函數(shù)關系式； 當 ， 時，廠家應生產多少件 這種產品，作幾千元的廣告，才能獲 練習3】 利最大？ 0

10、112 1 2110 2 2 1 0 22 22 22 1 1 1 2 (2) 1 2 1 2 1 nnnn nn n n n n S bb SSSS bb SSSS bb Sb b b 設表示廣告費為 元時的銷售量 由題意知 ， ， ， ， 將上述各式 【解 相加，得 析】 1 1 5 104000 101000 1 40000 (1) 1000 . 2 5. 5 57875. 78755 2 n nn n n nn nn abT TSn n T TTn TTn nS 當 ， 時，設獲利為 元 由題意知 欲使 最大， 則，代入解得 所以 ，此時 即廠家應生產件這種產品，作 千元 的廣告，才能

11、獲利最大 1.如果執(zhí)行下面的流程圖，那么輸出的S _.2550 2. 設曲線yxn1(nN*)在點(1,1)處的 切線與x軸的交點的橫坐標為xn，令an l g x n ， 則 a 1 a 2 a 9 9 的 值 為 _.2 12991299 1299 (1)1 1(1)(1) 0.lg 1 lglglg 1 lg()lg2. 100 n nnn ynxkn ynx n yxax n aaaxxx xxx ，所以 ， 切線方程 令 ， 因為 ， 所以 解析 【】 3. 在數(shù)列an中，已知a12，a23，當 n2時，an1是anan1的個位數(shù)，則a2010 _. 【解析】列舉出數(shù)列a n的前幾項

12、： 2,3,6,8,8,4,2,8,6,8,8,4,2,8,6，從第3項 開始呈周期為6的重復出現(xiàn)，所以a2010 a64. 4 345 34 4. 111 345 11 1 34 n n n n an SSSS SSa nSn 已知公差不為零的等差數(shù)列的前 項和為 ，若與的等比中項為， 與的等差中項為 ，當數(shù)列的 前 項和取得最大值時 _ 2 1 2 345 34 1 2 1 1 1 111 345 (0). 11 2 34 1 2 4350 . 125 22 52 n n aa SSS d d SS n n Snad aa dd dad 設等差數(shù)列的首項為 ，公差 為由題意得 由求和公式

13、并整理， 得，解得 【解析】 1 1 * 1232 (1). 55 1232 0 55 1232 10 55 58 . 33 2. n n n aandn an an n nn N 所以 又由， 得 而，所以 2 424324 5.(2) 13 2. 48 ij n nn naij aaa 個正數(shù)排列如下表所示的 行 列：表示第 行第 列的數(shù)，其中 第一行的每個數(shù)從左到右成等差數(shù)列， 每一列從上到下成等比數(shù)列，且公比 相等，若 ， ， 1112131 2122232 3132333 123 112233 1() 2 n n n nnnnn ij nnn aaaa aaaa aaaa aaaa

14、aij SaaaaS 求 的表達式 用， 表示 ； 設 ，求 的值 33 421211 11 33 431311 241411 11-1 111 1 () 4 1 3 (2 ),1 , 8 1 (3 )2 2 1 (1) ( 2 1 ) . iii ijj d q aa qad q a aa qad qd aa qad qq aa qajd qj 設第一行等差數(shù)列的公差為 ，每 一列的等比數(shù)列的公比為 ，則由題意有， 解得 所以 【 解析】 -1 112233 21 23 21 1 1 1( ) 2 111 1 23 ( )( ) 222 11111 12( )3 ( )( ) 22222 2

15、 11111 1( )( )( ) , 22222 1 4(2)( ) 2 n nn nnn n n n nn n n n an Saaaa n Sn Sn Sn 由， 得 ， 所以 由得 故 本節(jié)內容主要從三個方面考查： 一是等差、等比數(shù)列的混合運算， 要在熟記公式的基礎上，巧用等差、等 比數(shù)列的一些性質，正確列出方程(組)， 再靈活、巧妙地運用運算法則，減少運 算量，提高解題速度； 二是與函數(shù)、不等式結合，運用 函數(shù)的性質求最值或證明不等式； 三是解決生活中的實際問題，關 鍵是從等差、等比數(shù)列的定義出發(fā)思 考、分析，建立適當?shù)臄?shù)學模型，再 用通項公式求解，或者通過歸納、驗 證得出結論，再用數(shù)列知識求解 1在解決數(shù)列實際問題時，首先要弄 清需要哪些數(shù)列知識，是求通項，還是求和， 或是遞推關系問題，先將問題數(shù)學化，再函 數(shù)化，最后數(shù)列化，即建立恰當?shù)臄?shù)列模型， 進行合理的推理和運算，以得出實際問題所 需要的結論 (1)一個實際問題，可建立等差數(shù)列的模 型的必要條件是：離散型的變量問題，且變 量取相鄰兩個值的差是同一個常數(shù)(如：利 息中的單利問題)