第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值

1、第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 第第7講講 MATLAB解方程與函數(shù)極值解方程與函數(shù)極值 7.1 線性方程組求解線性方程組求解 7.2 非線性方程數(shù)值求解非線性方程數(shù)值求解 7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法 7.4 無(wú)約束最優(yōu)化問題求解無(wú)約束最優(yōu)化問題求解 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.1 線性方程組求解線性方程組求解 7.1.1 直接解法直接解法 1利用左除運(yùn)算符的直接解法利用左除運(yùn)算符的直接解法 對(duì)于線性方程組對(duì)于線性方程組 Ax=b， 可以利用左除運(yùn)算符可以利用左除運(yùn)算符“”求解：求解： x=Ab 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-

2、1 用直接解法求解下列線性方程組用直接解法求解下列線性方程組 命令如下：命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; x=Ab 046 62 975 1352 4321 432 421 4321 xxxx xxx xxx xxxx 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 2利用利用矩陣的分解矩陣的分解求解線性方程組求解線性方程組 矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法矩陣分解是指根據(jù)一定的原理用某種算法 將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。將一個(gè)矩陣分解成若干個(gè)矩陣的乘積。 常見的矩陣分解有常見的矩陣分解有LU分解分解、QR分解分

3、解、 Cholesky分解分解，以及，以及Schur分解分解、 Hessenberg分解分解、奇異分解奇異分解等。等。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 (1) LU分解分解 矩陣的矩陣的LU分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)分解就是將一個(gè)矩陣表示為一個(gè)下三角矩下三角矩 陣陣L和一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣U的乘積的乘積形式。線性代數(shù)中形式。線性代數(shù)中 已經(jīng)證明，只要方陣已經(jīng)證明，只要方陣A是非奇異的，是非奇異的，LU分解總是分解總是 可以進(jìn)行的?？梢赃M(jìn)行的。 MATLAB提供的提供的lu函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行函數(shù)用于對(duì)矩陣進(jìn)行LU分解，其分解，其 調(diào)用格式為：調(diào)用格式為： L,U=lu(A)：產(chǎn)生

4、一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)變換形式和一個(gè)變換形式 的下三角陣的下三角陣L(行交換行交換)，使之滿足，使之滿足A=LU。注意，。注意， 這里的矩陣這里的矩陣A必須是方陣。必須是方陣。 L,U,P=lu(A)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣U和一個(gè)下三角陣和一個(gè)下三角陣 L以及一個(gè)置換矩陣以及一個(gè)置換矩陣P，使之滿足，使之滿足PA=LU。當(dāng)然矩。當(dāng)然矩 陣陣A同樣必須是方陣。同樣必須是方陣。 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)LU分解后，線性方程組分解后，線性方程組Ax=b的解的解x=U(Lb)或或 x=U(LPb)，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。，這樣可以大大提高運(yùn)算速度。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值

5、 例例7-2 用用LU分解求解例分解求解例7-1中的線性方程組。中的線性方程組。 命令如下：命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; L,U=lu(A); x=U(Lb) 或采用或采用LU分解的第分解的第2種格式，命令如下：種格式，命令如下： L,U ,P=lu(A); x=U(LP*b) 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 (2) QR分解分解 對(duì)矩陣對(duì)矩陣A進(jìn)行進(jìn)行QR分解，就是把分解，就是把A分解為分解為一個(gè)正交矩一個(gè)正交矩 陣陣Q和一個(gè)上三角矩陣和一個(gè)上三角矩陣R的乘積的乘積形式。形式。QR分解只分解只 能對(duì)方

6、陣進(jìn)行。能對(duì)方陣進(jìn)行。MATLAB的函數(shù)的函數(shù)qr可用于對(duì)矩陣可用于對(duì)矩陣 進(jìn)行進(jìn)行QR分解，其調(diào)用格式為：分解，其調(diào)用格式為： Q,R=qr(A)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q和一個(gè)上三和一個(gè)上三 角矩陣角矩陣R，使之滿足，使之滿足A=QR。 Q,R,E=qr(A)：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣：產(chǎn)生一個(gè)一個(gè)正交矩陣Q、一個(gè)上、一個(gè)上 三角矩陣三角矩陣R以及一個(gè)置換矩陣以及一個(gè)置換矩陣E，使之滿足，使之滿足 AE=QR。 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)QR分解后，線性方程組分解后，線性方程組Ax=b的解的解x=R(Qb)或或 x=E(R(Qb)。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-3 用用QR分

7、解求解例分解求解例7-1中的線性方程組。中的線性方程組。 命令如下：命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; Q,R=qr(A); x=R(Qb) 或采用或采用QR分解的第分解的第2種格式，命令如下：種格式，命令如下： Q,R,E=qr(A); x=E*(R(Qb) 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 (3) Cholesky分解分解 如果矩陣如果矩陣A是對(duì)稱正定的，則是對(duì)稱正定的，則Cholesky分解將矩陣分解將矩陣A 分解成分解成一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積一個(gè)下三角矩陣和上三角矩陣的乘積。設(shè)。設(shè) 上三角矩陣

8、為上三角矩陣為R，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即，則下三角矩陣為其轉(zhuǎn)置，即 A=RR。MATLAB函數(shù)函數(shù)chol用于對(duì)矩陣用于對(duì)矩陣A進(jìn)行進(jìn)行 Cholesky分解，其調(diào)用格式為：分解，其調(diào)用格式為： R=chol(A)：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣：產(chǎn)生一個(gè)上三角陣R，使，使RR=A。若。若X 為非對(duì)稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。為非對(duì)稱正定，則輸出一個(gè)出錯(cuò)信息。 R,p=chol(A)：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。：這個(gè)命令格式將不輸出出錯(cuò)信息。 當(dāng)當(dāng)A為對(duì)稱正定的，則為對(duì)稱正定的，則p=0，R與上述格式得到的與上述格式得到的 結(jié)果相同；否則結(jié)果相同；否則p為一個(gè)正整數(shù)。如果為一個(gè)正整數(shù)。如果A為滿秩矩為

9、滿秩矩 陣，則陣，則R為一個(gè)階數(shù)為為一個(gè)階數(shù)為q=p-1的上三角陣，且滿足的上三角陣，且滿足 RR=A(1:q,1:q)。 實(shí)現(xiàn)實(shí)現(xiàn)Cholesky分解后，線性方程組分解后，線性方程組Ax=b變成變成RRx=b， 所以所以x=R(Rb)。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-4 用用Cholesky分解求解例分解求解例7-1中的線性方中的線性方 程組。程組。 命令如下：命令如下： A=2,1,-5,1;1,-5,0,7;0,2,1,-1;1,6,-1,-4; b=13,-9,6,0; R=chol(A) ? Error using = chol Matrix must be posit

10、ive definite 命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說明命令執(zhí)行時(shí)，出現(xiàn)錯(cuò)誤信息，說明A為非正定為非正定 矩陣。矩陣。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.1.2 迭代解法迭代解法 迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方迭代解法非常適合求解大型系數(shù)矩陣的方 程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括程組。在數(shù)值分析中，迭代解法主要包括 Jacobi迭代法迭代法、Gauss-Serdel迭代法迭代法、超松超松 弛迭代法弛迭代法和和兩步迭代法兩步迭代法。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 1Jacobi迭代法迭代法 對(duì)于線性方程組對(duì)于線性方程組Ax=b，如果，如果A為非奇異方陣，為非奇異方陣， 即即

11、aii0(i=1,2,n)，則可將，則可將A分解為分解為A=D-L-U， 其中其中D為對(duì)角陣，其元素為為對(duì)角陣，其元素為A的對(duì)角元素，的對(duì)角元素，L 與與U為為A的下三角陣和上三角陣，于是的下三角陣和上三角陣，于是Ax=b 化為：化為： x=D-1(L+U)x+D-1b 與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為：與之對(duì)應(yīng)的迭代公式為： x(k+1) =D-1(L+U)x(k)+D-1b 這就是這就是Jacobi迭代公式。如果序列迭代公式。如果序列x(k+1)收收 斂于斂于x，則，則x必是方程必是方程Ax=b的解。的解。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 Jacobi迭代法的迭代法的MATLAB函數(shù)文件函數(shù)文件J

12、acobi.m如下：如下： function y,n=jacobi(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=B*x0+f; n=n+1; end 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-5 用用Jacobi迭代法求解下列線性方程組。迭代法求解下列線性方程組。 設(shè)迭代初值為設(shè)迭代初值為0，迭代精度為，迭代精度為10-6。 在命令中調(diào)用函數(shù)文件在命令中調(diào)用函數(shù)文件Jacobi.m，命令如下：，命令如下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=jacobi(A,b,0,

13、0,0,1.0e-6) 6102 7210 910 21 321 21 xx xxx xx 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 2Gauss-Serdel迭代法迭代法 在在Jacobi迭代過程中，計(jì)算迭代過程中，計(jì)算xi(k+1)時(shí)，時(shí)， x1(k+1), ,xi-1(k+1) ,已經(jīng)得到已經(jīng)得到,不必再用不必再用 x1(k), ,xi-1(k) ，即原來(lái)的迭代公式，即原來(lái)的迭代公式 Dx(k+1)=(L+U)x(k)+b可以改進(jìn)為可以改進(jìn)為 Dx(k+1)=Lx(k+1)+Ux(k)+b，于是得到：，于是得到： x(k+1)=(D-L)-1Ux(k)+(D-L)-1b 該式即為該式即為Gau

14、ss-Serdel迭代公式。和迭代公式。和Jacobi迭迭 代相比，代相比，Gauss-Serdel迭代用新分量代替舊迭代用新分量代替舊 分量，精度會(huì)高些。分量，精度會(huì)高些。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 Gauss-Serdel迭代法的迭代法的MATLAB函數(shù)文件函數(shù)文件gauseidel.m如下：如下： function y,n=gauseidel(A,b,x0,eps) if nargin=3 eps=1.0e-6; elseif nargin=eps x0=y; y=G*x0+f; n=n+1; end 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-6 用用Gauss-Serdel

15、迭代法求解例迭代法求解例7-5中的中的 線性方程組。線性方程組。 設(shè)迭代初值為設(shè)迭代初值為0，迭代精度為，迭代精度為10-6。 在命令中調(diào)用函數(shù)文件在命令中調(diào)用函數(shù)文件gauseidel.m，命令如，命令如 下：下： A=10,-1,0;-1,10,-2;0,-2,10; b=9,7,6; x,n=gauseidel(A,b,0,0,0,1.0e-6) 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-7 分別用分別用Jacobi迭代和迭代和Gauss-Serdel迭代迭代 法求解下列線性方程組，看是否收斂。法求解下列線性方程組，看是否收斂。 命令如下：命令如下： a=1,2,-2;1,1,1;2,

16、2,1; b=9;7;6; x,n=jacobi(a,b,0;0;0) x,n=gauseidel(a,b,0;0;0) 622 7 922 zyx zyx zyx 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.2 非線性方程數(shù)值求解非線性方程數(shù)值求解 7.2.1 單變量非線性方程求解單變量非線性方程求解 在在MATLAB中提供了一個(gè)中提供了一個(gè)fzero函數(shù)，可以用來(lái)求函數(shù)，可以用來(lái)求 單變量單變量非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為：非線性方程的根。該函數(shù)的調(diào)用格式為： z=fzero(fname,x0,tol,trace) 其中其中fname是待求根的函數(shù)文件名，是待求根的函數(shù)文件名，x0為搜索

17、的起為搜索的起 點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但點(diǎn)。一個(gè)函數(shù)可能有多個(gè)根，但fzero函數(shù)函數(shù)只給出只給出 離離x0最近的那個(gè)根最近的那個(gè)根。tol控制結(jié)果的相對(duì)精度，缺控制結(jié)果的相對(duì)精度，缺 省時(shí)取省時(shí)取tol=eps，trace 指定迭代信息是否在運(yùn)算指定迭代信息是否在運(yùn)算 中顯示，為中顯示，為1時(shí)顯示，為時(shí)顯示，為0時(shí)不顯示，缺省時(shí)取時(shí)不顯示，缺省時(shí)取 trace=0。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-8 求求f(x)=x-10 x+2=0在在x0=0.5附近的根。附近的根。 步驟如下：步驟如下： (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funx.m。 function fx=funx(

18、x) fx=x-10.x+2; (2) 調(diào)用調(diào)用fzero函數(shù)求根。函數(shù)求根。 z=fzero(funx,0.5) z = 0.3758 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.2.2 非線性方程組的求解非線性方程組的求解 對(duì)于非線性方程組對(duì)于非線性方程組F(X)=0，用，用fsolve函數(shù)求其數(shù)值函數(shù)求其數(shù)值 解。解。fsolve函數(shù)的調(diào)用格式為：函數(shù)的調(diào)用格式為： X=fsolve(fun,X0,option) 其中其中X為返回的解，為返回的解，fun是用于定義需求解的非線是用于定義需求解的非線 性方程組的函數(shù)文件名，性方程組的函數(shù)文件名，X0是求根過程的初值，是求根過程的初值， opti

19、on為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱為最優(yōu)化工具箱的選項(xiàng)設(shè)定。最優(yōu)化工具箱 提供了提供了20多個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用多個(gè)選項(xiàng)，用戶可以使用optimset命令將命令將 它們顯示出來(lái)。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可它們顯示出來(lái)。如果想改變其中某個(gè)選項(xiàng)，則可 以調(diào)用以調(diào)用optimset()函數(shù)來(lái)完成。例如，函數(shù)來(lái)完成。例如，Display選選 項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中項(xiàng)決定函數(shù)調(diào)用時(shí)中間結(jié)果的顯示方式，其中 off為不顯示，為不顯示，iter表示每步都顯示，表示每步都顯示，final 只顯示最終結(jié)果。只顯示最終結(jié)果。optimset(Display, off)將設(shè)定將設(shè)定 Di

20、splay選項(xiàng)為選項(xiàng)為off。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-9求下列非線性方程組求下列非線性方程組 在在(0.5,0.5) 附近的數(shù)值解。附近的數(shù)值解。 (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件myfun.m。 function q=myfun(p) x=p(1); y=p(2); q(1)=x-0.6*sin(x)-0.3*cos(y); q(2)=y-0.6*cos(x)+0.3*sin(y); (2) 在給定的初值在給定的初值x0=0.5,y0=0.5下，調(diào)用下，調(diào)用 fsolve函數(shù)求方程的根。函數(shù)求方程的根。 x=fsolve(myfun,0.5,0.5,optimset(D

21、isplay,off) 0sin3 . 0cos6 . 0 0cos3 . 0sin6 . 0 yxy yxx 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 x = 0.6354 0.3734 將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是將求得的解代回原方程，可以檢驗(yàn)結(jié)果是 否正確，命令如下：否正確，命令如下： q=myfun(x) q = 1.0e-009 * 0.2375 0.2957 可見得到了較高精度的結(jié)果?？梢姷玫搅溯^高精度的結(jié)果。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.3 常微分方程初值問題的數(shù)值解法常微分方程初值問題的數(shù)值解法 考慮常微分方程的初值問題考慮常微分方程的初值問題 , 所謂其數(shù)值解法

22、，就是求所謂其數(shù)值解法，就是求它的解它的解y(t)在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn) t0t1tm處的近似值處的近似值y0,y1,ym的方法。的方法。 所求得的所求得的y0,y1,ym稱為常微分方程初值問稱為常微分方程初值問 題的數(shù)值解。一般采用等距節(jié)點(diǎn)題的數(shù)值解。一般采用等距節(jié)點(diǎn)tn=t0+nh, n=0,1,m, h稱為稱為步長(zhǎng)步長(zhǎng)。 常用的有歐拉常用的有歐拉(Euler)法、龍格庫(kù)塔法、龍格庫(kù)塔(Runge- Kutta)法、線性多步法、預(yù)報(bào)校正法等。法、線性多步法、預(yù)報(bào)校正法等。 Tttytfy 0 ),( 00 )(yty 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.3.1 龍格庫(kù)塔法遞推公式龍格庫(kù)塔法遞推公

23、式 其中其中 )22( 6 )( 432110 kkkk h yyihty ii ),( ) 2 , 2 ( ) 2 , 2 ( ),( 3114 2113 1112 111 hkyhtfk k h y h tfk k h y h tfk ytfk ii ii ii ii 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 7.3.2 龍格庫(kù)塔法的實(shí)現(xiàn)龍格庫(kù)塔法的實(shí)現(xiàn) 基于龍格庫(kù)塔法，基于龍格庫(kù)塔法，MATLAB提供了求常提供了求常 微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為：微分方程數(shù)值解的函數(shù)，一般調(diào)用格式為： t,y=ode23(fname,tspan,y0) t,y=ode45(fname,tspan,y0

24、) 其中其中fname是定義是定義f(t,y)的函數(shù)文件名，該函的函數(shù)文件名，該函 數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。數(shù)文件必須返回一個(gè)列向量。tspan形式為形式為 t0,tf,表示求解區(qū)間。表示求解區(qū)間。y0是初始狀態(tài)列向量。是初始狀態(tài)列向量。 t和和y分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。分別給出時(shí)間向量和相應(yīng)的狀態(tài)向量。 第7講MATLAB解方程與函數(shù)極值 例例7-10 設(shè)有初值問題設(shè)有初值問題 求其數(shù)值解，并與精確解比較求其數(shù)值解，并與精確解比較(精確解為精確解為 )。 (1) 建立函數(shù)文件建立函數(shù)文件funt.m。 function yp=funt(t,y) yp=(y2-t-2)/4/(t+1); (2) 求解微分方程。求解微分方程。 t0=0;tf=10; y0=2; t,y=ode23(funt,t0,tf,y0); %求數(shù)值解求數(shù)值解 y1=sqrt(t+1)+1; %求精確解求