第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法則

1、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 第二節(jié) 函數(shù)的求導法則 一一. . 和、差、積、商的求導法則和、差、積、商的求導法則 二二. .反函數(shù)的求導法則反函數(shù)的求導法則 三三. .復合函數(shù)的求導法則復合函數(shù)的求導法則 四四. 基本求導法則與導數(shù)公式基本求導法則與導數(shù)公式 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 并并且且可可導導 處處也也在在點點分分母母不不為為零零們們的的和和、差差、積積、商商 則則它它處處可可導導在在點點如如果果函函數(shù)數(shù) , ) ( ,)(),( x xxvxu 一

2、、和、差、積、商的求導法則 【定理】【定理】 ).0)( )( )()()()( )( )( )3( );()()()( )()( )2( );()( )()( )1( 2 xv xv xvxuxvxu xv xu xvxuxvxuxvxu xvxuxvxu 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【證】【證】( (3) ) ),0)( , )( )( )( xv xv xu xf設設 h xfhxf xf h )()( lim)( 0 hxvhxv hxvxuxvhxu h )()( )()()()( lim 0 h xv xu hxv

3、 hxu h )( )( )( )( lim 0 【證】【證】( (1) )、( (2) )略略 ( (自己證明自己證明).). 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 hxvhxv xvhxvxuxvxuhxu h )()( )()()()()()( lim 0 )()( )()( )()( )()( lim 0 xvhxv h xvhxv xuxv h xuhxu h 2 )( )()()()( xv xvxuxvxu .)(處可導處可導在在xxf 【證完】【證完】 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函

4、數(shù)和、差、積、商求導法 則 【推論】【推論】 ; )( )()1( 11 n i i n i i xfxf );( )()2(xfCxCf ; )()( )()()( )()()( )()3( 11 21 21 1 n i n ik k ki n n n i i xfxf xfxfxf xfxfxfxf 有限項有限項 有限項有限項 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例1】 .2lnsin2 23 的的導導數(shù)數(shù)求求 xxxy 【解】【解】 2 3xy x4 【例【例2】.ln2sin的的導導數(shù)數(shù)求求xxy 【解】【解】 xxxy

5、lncossin2 xxxylncoscos2 xxxln)sin(sin2 x xx 1 cossin2 .cos x .2sin 1 ln2cos2x x xx 注意注意)2(ln 2 1 ) 3 (sin 3 cos 例題分析例題分析 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例3】.tan的的導導數(shù)數(shù)求求xy 【解】【解】 ) cos sin ()(tan x x xy x xxxx 2 cos )(cossincos)(sin x xx 2 22 cos sincos x x 2 2 sec cos 1 .sec)(tan

6、2 xx .csc)(cot 2 xx 同理可得同理可得 即即 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例4】 .sec的導數(shù)的導數(shù)求求xy 【解】【解】)(sec xy x x 2 cos )(cos .tansecxx x x 2 cos sin .cotcsc)(cscxxx 同理可得同理可得 【例【例5】 .sh的的導導數(shù)數(shù)求求xy 【解】【解】 )( 2 1 )(sh xx eexy)( 2 1 xx ee .chx 同理可得同理可得 xxsh)(ch x x 2 ch 1 )(th ) cos 1 ( x .tansec

7、)(secxxx 即即 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例6】 ).(, 0),1ln( 0, )(xf xx xx xf 求求設設 【解】【解】, 1)( x f,0時時當當 x ,0時時當當 x h xhx xf h )1ln()1ln( lim)( 0 ) 1 1ln( 1 lim 0 x h h h , 1 1 x x h h h 1 1 lim 0 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 ,0時時當當 x h h f h )01ln()0( lim)0( 0

8、, 1 h h f h )01ln()0(1ln lim)0( 0 , 1 . 1)0( f . 0, 1 1 0, 1 )( x x x xf 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 dy dx dx dy yf xf I xfyyf Iyfx x y 1 . )( 1 )( , )(,0)( )( 1 1 或或 且有且有內也可導內也可導對應區(qū)間對應區(qū)間 在在那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且 內單調、可導內單調、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) 二、反函數(shù)的求導法則 【定理】【定理】 【結論】反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)【結論

9、】反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù). . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【證】【證】 , x Ix 任任取取 xx 以以增增量量給給 的單調性可知的單調性可知由由)( 1 xfy , 0 y 于是有于是有, 1 y x x y ,)( 1 連連續(xù)續(xù)xfy ),0(0 xy0)( y f又又知知 x y xf x 0 1 lim )( y x y 1 lim 0 )( 1 y f . )( 1 )( 1 yf xf 即即 ), 0( x Ixxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、

10、商求導法 則 【例如】【例如】 本節(jié)作業(yè)題三、本節(jié)作業(yè)題三、6 設設g是是f 的反函數(shù)，且的反函數(shù)，且f (4)= 5 , f (4)=2/3 則則g (5)=( ) (A)2/3;(B)1;(C)0;(D)3/2 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例7】 .arcsin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 【解】【解】,) 2 , 2 (sin內內單單調調、可可導導在在 y Iyx , 0cos)(sin yy且且內內有有在在)1 , 1( x I )(sin 1 y ycos 1 y 2 sin1 1 . 1 1 2 x . 1

11、1 )(arccos 2 x x 同理可得同理可得 ; 1 1 )(arctan 2 x x )(arcsin x . 1 1 )cotarc( 2 x x 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例8】 .log的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy a , 0ln)( aaa yy 且且,), 0(內內有有在在 x I )( 1 )(log y a a x aa y ln 1 . ln 1 ax 【解】【解】,),(內單調、可導內單調、可導在在 y y Iax 特別地特別地. 1 )(ln x x 即即)(log x a . ln 1 a

12、x 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 三、復合函數(shù)的求導法則三、復合函數(shù)的求導法則 對于對于 ln，tgx 3 ， x e2 1 2 sin x x 等復合函數(shù)，等復合函數(shù)， 存在兩個問題：存在兩個問題： (1) 它們是否可導？它們是否可導？(2) 若可導，如何求導？若可導，如何求導？ 以下法則回答了這兩個問題以下法則回答了這兩個問題. . dx du du dy dx dy xguf dx dy xxgfy xguufyxxgu xx ).()( ,)(, )()(,)( 00 0 000 0 或或 且其導數(shù)為且其導數(shù)為可導可導在

13、點在點則復合函數(shù)則復合函數(shù)可導可導 在點在點而而可導可導在點在點如果函數(shù)如果函數(shù) 【定理】【定理】 即即 因變量對自變量求導因變量對自變量求導, ,等于因變量對中間變等于因變量對中間變 量求導量求導, ,乘以中間變量對自變量求導乘以中間變量對自變量求導.(.(鏈式法則鏈式法則) ) 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【證】【證】,)( 0可導 可導在點在點由由uufy )(lim 0 0 uf u y u )0lim()( 0 0 u uf u y 故故 uuufy )( 0 則則 x y x 0 lim)(lim 0 0 x u

14、x u uf x x u x u uf xxx 000 0 limlimlim)( ).()( 00 xguf ), 0(否否則則上上式式無無意意義義時時 u 從而當從而當 u=0時，有時，有 y=f (u+ u) f (u)=0，上式右端也為，上式右端也為0. . 規(guī)定：當規(guī)定：當 u=0時，時， =0， 總有總有 uuufy )( 0 【證完】【證完】 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【推廣】【推廣】),(),(),(xvvuufy 設設 . d d d d d d d d )( x v v u u y x y xfy 的導數(shù)

15、為的導數(shù)為則復合函數(shù)則復合函數(shù) 【例【例9】 .sinln的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xy 【解】【解】.sin,lnxuuy dx du du dy dx dy x u cos 1 x x sin cos xcot 【關鍵】【關鍵】 搞清復合函數(shù)結構搞清復合函數(shù)結構, 由外向內逐層求導由外向內逐層求導. 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例10】.)1( 102 的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) xy 【解】【解】)1()1(10 292 xx dx dy xx2)1(10 92 .)1(20 92 xx 【例【例11】的的導導數(shù)數(shù)求求

16、函函數(shù)數(shù) a xa xa x yarcsin 22 2 22 【解】【解】 )arcsin 2 () 2 ( 2 22 a xa xa x y 22 2 22 2 22 22 1 2 1 xa a xa x xa . 22 xa )0( a 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例12】.)2( 2 1 ln 3 2 的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) x x x y 【解】【解】 ),2ln( 3 1 )1ln( 2 1 2 xxy )2(3 1 2 1 1 2 1 2 x x x y )2(3 1 1 2 xx x 【例【例13】 .

17、1 sin 的的導導數(shù)數(shù)求求函函數(shù)數(shù) x ey 【解】【解】 ) 1 (sin 1 sin x ey x ) 1 ( 1 cos 1 sin xx e x . 1 cos 1 1 sin 2 x e x x 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例14】 0 ，設設 x 證明冪函數(shù)的導數(shù)公式證明冪函數(shù)的導數(shù)公式 1 )( xx 【證】【證】 因為因為 )( ln x ex x e ln 所以所以)()( ln x ex )ln( ln xe x 1 x x 1 x 證完證完 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結

18、束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【思考題】【思考題】 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【思考題解答】【思考題解答】 正確地選擇是正確地選擇是（3） 例例|)(uuf 在在 處不可導處不可導 0 u 取取 xxgusin)( 在在 處可導，處可導， 0 x |sin|)(xxgf 在在 處不可導，處不可導， 0 x )1( 取取 4 )(xxgu 在在 處可導，處可導， 0 x 44 |)(xxxgf 在在 處可導，處可導，0 x )2( （角點）（角點） xysin x y o 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回

19、返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 四、基本求導法則與導數(shù)公式 xxx xx xx C tansec)(sec sec)(tan cos)(sin 0)( 2 1. .【常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式】【常數(shù)和基本初等函數(shù)的導數(shù)公式】 xxx xx xx xx cotcsc)(csc csc)(cot sin)(cos )( 2 1 ax x aaa a xx ln 1 )(log ln)( x x ee xx 1 )(ln )( 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 2 2 1 1 )(arctan 1 1 )(arcs

20、in x x x x 2 2 1 1 )cot( 1 1 )(arccos x x x x arc 2.【函數(shù)的和、差、積、商的求導法則】【函數(shù)的和、差、積、商的求導法則】 設設)(),(xvvxuu 可導，則可導，則 （1） vuvu )(, （2）uccu )( （3）vuvuuv )(, （4） )0()( 2 v v vuvu v u . ( ( 是常數(shù)是常數(shù)) )C 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 3.【反函數(shù)的求導法則】【反函數(shù)的求導法則】 dy dx dx dy yf xf I xfyyf Iyfx x y 1 .

21、)( 1 )( , )(,0)( )( 1 1 或或 且有且有內也可導內也可導 在對應區(qū)間在對應區(qū)間那末它的反函數(shù)那末它的反函數(shù)且且 內單調、可導內單調、可導在某區(qū)間在某區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù) 4.【復合函數(shù)的求導法則】【復合函數(shù)的求導法則】 ).()()( )()(),( xgufxy dx du du dy dx dy xgfyxguufy 或或導導數(shù)數(shù)為為 的的則則復復合合函函數(shù)數(shù)而而設設 利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決利用上述公式及法則初等函數(shù)求導問題可完全解決. . 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例1

22、5】 .的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù)xxxy 【解】【解】)( 2 1 xxx xxx y )( 2 1 1( 2 1 xx xxxxx ) 2 1 1( 2 1 1( 2 1 xxx xxx . 8 124 2 2 xxxxxx xxxx 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 【例【例16】 .)(sin的導數(shù)的導數(shù)求函數(shù)求函數(shù) nnn xfy 【解】【解】)(sin)(sin 1nnnnn xfxnfy )(sin)(sin 1nnn xxn 1 cos nn nxx )(sin)(sin)(sin )(sincos 1 113 nnnnn nnnnn xxfx xfxxn 機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 第二節(jié)函數(shù)和、差、積、商求導法 則 xxch)(sh xxsh