“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”教學案例.doc

1、“平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義”教學案例一、教學任務分析在前面學過的向量的線性運算的基礎上， 以物理中功為背景引入向量的另一個運算 - 數(shù)量積。教科書以物體受力做功為背景引入數(shù)量積的概念， 既使向量數(shù)量積運算與學生已有的知識建立了聯(lián)系， 又使學生看到向量數(shù)量積與向量模的大小及夾角有關， 同時與前面的向量運算不同，其計算結(jié)果不是向量而是數(shù)量。在建立了數(shù)量積的概念后，進一步探究了有關的特性、幾何意義和運算律。使學生在探究中加深對有關概念、性質(zhì)的理解和運用。二、教學重點、難點重點： 平面向量的數(shù)量積的概念和特性；平面向量數(shù)量積的運算律的探究及應用。難點：平面向量的數(shù)量積的定義及對運算律的探究、理

2、解，平面向量數(shù)量積的應用。三、教學情景設計教師引言： 前面我們學習了向量的相線性運算，即向量的加法、減法和數(shù)乘運算。 我們知道這些運算有個共同的特點， 就是他們運算的結(jié)果仍然是一個向量， 并且這些結(jié)果都有明確的幾何意義，即是一些與平行四邊形的邊、對角線、三角形的邊以及平行、共線有關的向量。下面我們一起思考這樣一個問題。（出示思考問題）情景 1思考：既然平面向量能進行加減運算，那自然會想到兩個向量能否進行乘法運算？假如能的話那運算的結(jié)果又會是什么呢？ 設計意圖 由加減聯(lián)想到乘法這是個很自然的問題，明確本節(jié)課的任務，激發(fā)學生的探求欲望。情景 2問題假如一個物體在力F 的作用下產(chǎn)生的位移為s，那么力

3、F 所做的功w 等于多少？ 設計意圖 以物理問題為背景，使學生從中受到啟發(fā)，為引入向量的數(shù)量積的概念做預備。 師生互動 生：其中 是 F 和 s 夾角。師：功是一個矢量還是標量？它的大小由那些量來確定？互動： 功是一個標量，它由力和位移兩個向量來確定，這給我們一個啟發(fā)：能不能將功看成是這兩個向量的一種運算的結(jié)果呢？為此，引入平面向量的“數(shù)量積”的概念。情景 3仿照“功”的概念引入平面向量數(shù)量積的概念；并對概念進行有關熟悉、分析和探究。 設計意圖 1、在學生已有的物理中“功”的概念的背景下，建構數(shù)學模型，引入平面向量數(shù)量積的概念，突出物理背景的意義，便于學生自然過度和理解。2、通過對概念的熟悉、

4、分析和探究，使學生加深理解，熟悉、把握有關的特性及幾何意義。 師生互動 1、首先仿照物理問題構建數(shù)學模型。對照功的表達式寫出類似的平面向量的表達式，引出平面向量數(shù)量積的概念：把數(shù)量稱為與的數(shù)量積，記作：即=（其中 為與的夾角）。對于定義中的“非零向量”的要求為了建立對任意向量的數(shù)量積的概念，規(guī)定：（其中為任意向量）2、討論數(shù)量積的運算與前面三種線性運算的區(qū)別（運算的結(jié)果是數(shù)量而不再是向量）。3、研究數(shù)量積運算結(jié)果的符號取決于與的夾角。4、探究特性：（ =時的情況）（、為非零向量）此處可與實數(shù)進行對比：對時而此特性給我們提供了證實有關垂直問題的一個很好的方法。此特性給我們提供了很好的求長度的方法

5、。5、投影的概念。為研究數(shù)量積的幾何意義作預備。討論：投影一定是正數(shù)嗎？師生共同完成例1，加一問：求在方向上的投影并作圖。6、數(shù)量積的幾何意義。使學生明確數(shù)量積的運算結(jié)果其實就是有關投影的倍數(shù)。聯(lián)系引入部分 “功 ”的概念不難理解它是力 F 在位移 s 上的投影。情景 4運算律和運算是緊密相關的，類比實數(shù)運算中的運算律，探究平面向量數(shù)量積的運算律。 設計意圖 通過類比、 探究使學生對數(shù)量積的概念有更深的熟悉，進一步培養(yǎng)學生嚴謹?shù)膶W習態(tài)度和研究問題的能力。 師生互動 師生共同回顧實數(shù)運算中有關乘法的運算律。請學生自己先寫出有關的運算律：根據(jù)上面的運算律，類似的改寫出相關的數(shù)量積的式子：引導學生探

6、究上面運算律的真假。學生易得真。 對的真假可由學生自主討論，然后通過交流達到統(tǒng)一熟悉的方法進行，得到是假命題。對三個向量間的結(jié)合律不成立，若兩個向量一個實數(shù)情況會怎樣呢？引導學生討論：的真假。由數(shù)乘運算的特點就 0； 0；=0 分別研究討論不難得到其的正確性。對的真假探究可采用分析法引導學生進行：要探究的真假， 由數(shù)量積的概念即探究（其中、分別是與、與、與的夾角）的真假。若顯然成立，若即探究的真假。 根據(jù)投影的概念可知即探究、在方向上的投影之間的關系，利用多媒體動畫演示易得證。從而探究出數(shù)量積的運算律：師生共同完成例2、 3、 4。情景 5小結(jié)部分： 讓學生回顧總結(jié)本節(jié)課的學習內(nèi)容及研究、解決

7、問題的方法。 設計意圖 使學生整理相關內(nèi)容，體會所學知識的引入基礎及研究、解決問題時用到的數(shù)學思想和數(shù)學方法，培養(yǎng)學生思考、解決問題的能力。四、課后反思本節(jié)課以物理知識為背景， 建立了數(shù)學的平面向量數(shù)量積的概念和運算。 知識系統(tǒng)完備， 使學生很好的體驗了知識的產(chǎn)生、 發(fā)展和完善的全過程，有利于培養(yǎng)學生分析、思考、解決問題的能力， 為進一步形成良好的數(shù)學思想、 數(shù)學思維奠定基礎。 采用多媒體輔助教學使教學效果和教學內(nèi)容的容量充分的得以體現(xiàn)和展示，提高了課堂效率，取得了較好的教學效果。針對教學班級學生的具體情況可在后面的例 3、 4 中作刪減。在難點運算律的探究中，應注重主次之分，不必面面俱到。 如：對的真假探究應