高中數(shù)學(xué)排列組合相關(guān)公式

1、高中數(shù)學(xué)排列組合相關(guān)公式排列組合公式排列定義 從n個(gè)不同的元素中，取r個(gè)不重復(fù)的元素，按次序排列，稱為從n個(gè)中取r個(gè)的無重排列。排列的全體組成的集合用 P(n,r)表示。排列的個(gè)數(shù)用P(n,r)表示。當(dāng)r=n時(shí)稱為全排列。一般不說可重即無重?？芍嘏帕械南鄳?yīng)記號(hào)為 P(n,r),P(n,r)。組合定義 從n個(gè)不同元素中取r個(gè)不重復(fù)的元素組成一個(gè)子集，而不考慮其元素的順序，稱為從n個(gè)中取r個(gè)的無重組合。組合的全體組成的集合用C(n,r)表示，組合的個(gè)數(shù)用C(n,r)表示，對(duì)應(yīng)于可重組合有記號(hào)C(n,r),C(n,r)。一、排列組合部分是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，原因在于 (1)從千差萬別的實(shí)際問題中抽

2、象出幾種特定的數(shù)學(xué)模型，需要較強(qiáng)的抽象思維能力； (2)限制條件有時(shí)比較隱晦，需要我們對(duì)問題中的關(guān)鍵性詞(特別是邏輯關(guān)聯(lián)詞和量詞)準(zhǔn)確理解； (3)計(jì)算手段簡(jiǎn)單，與舊知識(shí)聯(lián)系少，但選擇正確合理的計(jì)算方案時(shí)需要的思維量較大； (4)計(jì)算方案是否正確，往往不可用直觀方法來檢驗(yàn)，要求我們搞清概念、原理，并具有較強(qiáng)的分析能力。 二、兩個(gè)基本計(jì)數(shù)原理及應(yīng)用 (1)加法原理和分類計(jì)數(shù)法 1加法原理 2加法原理的集合形式 3分類的要求 每一類中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成此任務(wù)；兩類不同辦法中的具體方法，互不相同(即分類不重)；完成此任務(wù)的任何一種方法，都屬于某一類(即分類不漏) (2)乘法原理和分步計(jì)數(shù)法

3、 1乘法原理 2合理分步的要求 任何一步的一種方法都不能完成此任務(wù)，必須且只須連續(xù)完成這n步才能完成此任務(wù)；各步計(jì)數(shù)相互獨(dú)立；只要有一步中所采取的方法不同，則對(duì)應(yīng)的完成此事的方法也不同 例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù) 集合A為數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)的集合，S（A）=9！ 集合B為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。 把集合A分為子集的集合，規(guī)則為前6位數(shù)相同的元素構(gòu)成一個(gè)子集。顯然各子集沒有共同元素。每個(gè)子集元素的個(gè)數(shù)，等于剩余的3個(gè)數(shù)的全排列，即3！ 這時(shí)集合B的元素與A的子集存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則 S（A）=S（B）*3！ S（B）=9！/3！ 這就是我們用以前的方法求出

4、的P（9，6） 例2：從編號(hào)為1-9的隊(duì)員中選6人組成一個(gè)隊(duì)，問有多少種選法？ 設(shè)不同選法構(gòu)成的集合為C，集合B為數(shù)字不重復(fù)的六位數(shù)的集合。把集合B分為子集的集合，規(guī)則為全部由相同數(shù)字組成的數(shù)組成一個(gè)子集，則每個(gè)子集都是某6個(gè)數(shù)的全排列，即每個(gè)子集有6！個(gè)元素。這時(shí)集合C的元素與B的子集存在一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，則 S（B）=S（C）*6！ S（C）=9！/3！/6！ 這就是我們用以前的方法求出的C（9，6） 以上都是簡(jiǎn)單的例子，似乎不用弄得這么復(fù)雜。但是集合的觀念才是排列組合公式的來源，也是對(duì)公式更深刻的認(rèn)識(shí)。大家可能沒有意識(shí)到，在我們平時(shí)數(shù)物品的數(shù) 量時(shí)，說1，2，3，4，5，一共有5個(gè)，這時(shí)我們

5、就是在把物品的集合與集合（1，2，3，4，5）建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，正是因?yàn)槲锲窋?shù)量與集合（1， 2，3，4，5）的元素個(gè)數(shù)相等，所以我們才說物品共有5個(gè)。我寫這篇文章的目的是把這些潛在的思路變得清晰，從而能用它解決更復(fù)雜的問題。 例3：9個(gè)人坐成一圈，問不同坐法有多少種？ 9個(gè)人排成一排，不同排法有9！種，對(duì)應(yīng)集合為前面的集合A 9個(gè)人坐成一圈的不同之處在于，沒有起點(diǎn)和終點(diǎn)之分。設(shè)集合D為坐成一圈的坐法的集合。以任何人為起點(diǎn)，把圈展開成直線，在集合A中都對(duì)應(yīng)不同元素，但在集合D中相當(dāng)于同一種坐法，所以集合D中每個(gè)元素對(duì)應(yīng)集合A中9個(gè)元素，所以S（D）=9！/9 我在另一篇帖子中說的方法是先固定

6、一個(gè)人，再排其他人，結(jié)果為8！。這個(gè)方法實(shí)際上是找到了一種集合A與集合D之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。用集合的思路解決問題的關(guān)鍵就是尋找集合之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使一個(gè)集合的子集與另一個(gè)集合的元素形成一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。 例4：用1、2、3、4、5、6、7、8、9組成數(shù)字不重復(fù)的九位數(shù)，但要求1排在2前面，求符合要求的九位數(shù)的個(gè)數(shù)。 集合A為9個(gè)數(shù)的全排列，把集合A分為兩個(gè)集合B、C，集合B中1排在2前面，集合C中1排在2后面。則S（B）+S（C）=S（A） 在集合B、C之間建立以下對(duì)應(yīng)關(guān)系：集合B中任一元素1和2位置對(duì)調(diào)形成的數(shù)字，對(duì)應(yīng)集合C中相同數(shù)字。則這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系為一一對(duì)應(yīng)。因此S（B）=S（C）=9！/2 以

7、同樣的思路可解出下題： 從1、2、3，9這九個(gè)數(shù)中選出3個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)y=ax*x+bx+c的系數(shù)，且要求abc，問這樣的函數(shù)共有多少個(gè)？ 例5：M個(gè)球裝入N個(gè)盒子的不同裝法，盒子按順序排列。 這題我們已經(jīng)討論過了，我再用更形象的方法說說。 假設(shè)我們把M個(gè)球用細(xì)線連成一排，再用N-1把刀去砍斷細(xì)線，就可以把M個(gè)球按順序分為N組。則M個(gè)球裝入N個(gè)盒子的每一種裝法都對(duì)應(yīng)一種砍線的方法。而 砍線的方法等于M個(gè)球與N-1把刀的排列方式（如兩把刀排在一起，就表示相應(yīng)的盒子里球數(shù)為0）。所以方法總數(shù)為C（M+N-1，N-1） 例6：7人坐成一排照像, 其中甲、乙、丙三人的順序不能改變且不相鄰, 則共有_排法. 解：甲、乙、丙三人把其他四人分為四部分，設(shè)四部分人數(shù)分別為X1，X2，X3，X4，其中X1，X4=0，X2，X30 先把其余4人看作一樣，則不同排法為方程 X1+X2+X3+X4=4的解的個(gè)數(shù)，令X2=Y2+1，X3=Y3+1 化為求X1+Y2+