高數(shù)中的重要定理與公式及其證明(六)

1、 在這里，沒有考不上的研究生。高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（六）考研數(shù)學(xué)中最讓考生頭疼的當(dāng)屬證明題，而征服證明題的第一關(guān)就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶Υ龜?shù)學(xué)的態(tài)度，一切定理的推導(dǎo)過程都是應(yīng)該掌握的。但考研數(shù)學(xué)畢竟不是數(shù)學(xué)系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復(fù)雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費(fèi)時又費(fèi)力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍?，F(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結(jié)如下。這些證明過程，或是直接的考點(diǎn)，或是蘊(yùn)含了重要的解題思想方法，在復(fù)習(xí)的初期，先掌握這些證明過程是必要的。7）二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在與可微的關(guān)系如果函數(shù)在點(diǎn)可微，

2、則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且兩個偏導(dǎo)數(shù)均存在，并且【點(diǎn)評】：學(xué)到多元函數(shù)時第一個困擾我們的就是多元函數(shù)的可微與可導(dǎo)不再等價，它們與連續(xù)性的關(guān)系也變得更為復(fù)雜了。下面希望能通過幾個定理與反例來將這個關(guān)系說清楚。證明：由可微的定義可知存在只與有關(guān)而與實(shí)數(shù)使得在點(diǎn)附近成立?，F(xiàn)證明，由偏導(dǎo)數(shù)定義可知，這等價于證明。由于成立，因此則。由高階無窮小的定義可知。因此，有。也即。同理，可證。 證畢注1：關(guān)于二元函數(shù)可微，偏導(dǎo)數(shù)存在、連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的關(guān)系可以用下圖來表示：也就是說：偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)必然可微，可微的函數(shù)必然連續(xù)并且存在偏導(dǎo)數(shù)，但連續(xù)和偏導(dǎo)數(shù)存在這兩個概念本身是互不包含的（也就是說連續(xù)的函數(shù)不一定存在偏導(dǎo)數(shù)，偏導(dǎo)數(shù)存在的函數(shù)也不一定連續(xù)）。注二：例如：1）函數(shù)，在連續(xù)，但偏導(dǎo)數(shù)不存在。2）又如函數(shù)，在（0，0）處的偏導(dǎo)數(shù)是存在的。因?yàn)椋砦覀兛梢缘玫蕉簿驼f沿不同路徑趨于得到的極限值是不一樣的。因此二重極限不存在。進(jìn)而可得到在點(diǎn)處不連續(xù)。注三：如果二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在且偏導(dǎo)數(shù)作為二元函數(shù)是連續(xù)的，則該二元函數(shù)是可