高三數學 3.1《空間向量及運算》教案 舊人教版

1、空間向量及運算 復習教案【考試要求】1 理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數乘2 了解空間向量的基本定理。3 掌握空間向量的數量積的定義及其性質?！净A知識】一、基本概念 向量：在空間具有大小和方向的量。相等向量：大小相等，方向相同的向量。平行向量或共線向量：表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合。二、空間向量加、減法及數乘運算1 2、運算律： 三、基本定理1、共線向量基本定理：對空間任意兩個向量，的充要條件是存在唯一實數，使。2、共線向量基本定理如果兩個向量不共線，則向量與向量共面的充要條件是存在實數對(x,y),使推論1 空間一點位于平面內的充分必要條件是存在有序實數對

2、（）使，或對空間任一定點,有 在平面內，點對應的實數對（）是唯一的，式叫做平面的向量表示式 。推論2 對空間任一點和不共線的三點，滿足向量關系式 (其中=1)的四點共面（當且僅當=1時）。 兩推論的作用:證明四點共面 3.空間向量的基本定理 如果三個向量不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序實數組，使。 如果三個向量不公面，那么所有空間所組成的集合就是，這個集合可看作是由向量生成的，所以我們把叫做空間的一個基低，都叫做基向量，（）叫做對基底下的坐標。 推論 設是不共面的四點，則對空間任一點P,都存在唯一的三個有序實數使。四、兩向量的數量積1、空間兩向量的夾角 如圖，已知兩個非零向量，在

3、空間任取一點O，作，則角叫做的夾角，記作。，并且2、=則稱互相垂直，并記作。3已知空間兩個向量,則叫做向量的數量積，記作。即=。4、性質： 5、運算律 【基礎訓練】1.有4個命題：若p=xa+yb，則p與a、b共面；若p與a、b共面，則p=xa+yb；若=x+y，則P、M、A、B共面；若P、M、A、B共面，則=x+y.其中真命題的個數是 .2.下列是真命題的命題序號是 .分別表示空間向量的有向線段所在的直線是異面直線，則這兩個向量不是共面向量若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反若向量，滿足|，且與同向，則若兩個非零向量與滿足+=0，則3.在四面體O-ABC中，=a,=b, =c

4、,D為BC的中點,E為AD的中點，則= (用a,b,c表示).4.已知向量a,b滿足|a|=2，|b|=3，|2a+b|=，則a與b的夾角為 .5.如圖所示，已知空間四邊形ABCD，F(xiàn)為BC的中點，E為AD的中點，若=（+），則 = 【典型列題】一、空間向量的基本運算例1 如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設=a，=b，=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點，試用a，b，c表示以下各向量： （1）；（2）；（3）+.二、應用空間向量證明線面關系、求空間角和距離例2 已知E、F、G、H分別是空間四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，（1）求證：E、F、G、

5、H四點共面；（2）求證：BD平面EFGH；（3）設M是EG和FH的交點，求證：對空間任一點O，有=（+）.例3 如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都等于a，點M、N分別是AB、CD的中點.（1）求證：MNAB，MNCD；（2）求MN的長；（3）求異面直線AN與CM所成角的余弦值.三、空間向量的綜合運用例4 如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且當的值為多少時，能使？請給出證明。例5 在平行六在面體ABCD-中已知數AB=5，AD=4，=3 ， ，（1）試用向量法證明：頂點在底面ABCD上的射影在BAD的平分線上；（2）若M、N分別在上且=2，求所成的角?！拘?結

6、】1、 空間向量在立幾中應用，既可以證明垂直和平行，又可以計算角和距離，其主要依據是向量運算的幾何意義。2、 用向量方法解決立體幾何問題時，關鍵是一個幾何問題向量化的轉化過程，從建立基向量，到表示相關向量，到應用向量的有關運算，構成一個非常嚴密的推理過程。鞏固練習1、已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點，則的值為 .2、A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足=0，=0，=0，則BCD是 三角形（用“銳角”、“直角”、“鈍角”填空）.3、已知六面體ABCDABCD是平行六面體.（1）化簡+,并在圖上標出其結果；（2）設M是底面ABCD的中心，N是側面BCCB對角線BC上的分點，設 =+，試求,的值.4、.已知ABCD是平行四邊形，P點是ABCD所在平面外的一點，連接PA、PB、PC、PD.設點