第7章-狀態(tài)方程的列寫

1、2021/3/111 1 1 基本概念基本概念 一一 割集割集 連通圖連通圖G G的一個(gè)割集是一個(gè)支路集合，把這些支路移去的一個(gè)割集是一個(gè)支路集合，把這些支路移去 將使將使G G分離為兩部分，但若少移去其中一條支路，圖仍將是分離為兩部分，但若少移去其中一條支路，圖仍將是 連通的。連通的。 7-9 狀態(tài)方程的列寫狀態(tài)方程的列寫 (1) (1) 定義定義 f e d c ba (a, d, e, f ) 是割集是割集 ? (a, b，c，d, e ) 是割集是割集 ? b c e f 2021/3/112 (2) 判斷判斷 、確定割集的方法、確定割集的方法 閉合面法閉合面法 f e d c ba

2、f e d c ba 對一個(gè)割集，其所有支路電流的代數(shù)和為零。對一個(gè)割集，其所有支路電流的代數(shù)和為零。 2021/3/113 (3) 獨(dú)立割集獨(dú)立割集 對應(yīng)于一組線性獨(dú)立的對應(yīng)于一組線性獨(dú)立的KCL方程的割集方程的割集 (4) 確定獨(dú)立割集的方法借助于確定獨(dú)立割集的方法借助于“樹樹”的方法的方法 1) 對連通圖任選一棵樹對連通圖任選一棵樹 2) 由一條樹支和若干連支構(gòu)成一個(gè)單樹支割集由一條樹支和若干連支構(gòu)成一個(gè)單樹支割集 3) 單樹支割集構(gòu)成一組獨(dú)立割集單樹支割集構(gòu)成一組獨(dú)立割集 4) 獨(dú)立割集數(shù)樹支數(shù)獨(dú)立割集數(shù)樹支數(shù) f e d c ba 2021/3/114 二二. . 狀態(tài)變量狀態(tài)變量

3、x 狀態(tài)：狀態(tài)： 選定電路中一組選定電路中一組最少數(shù)量最少數(shù)量的變量的變量 X =x1, ,x2,xnT ， 如果當(dāng)如果當(dāng) t = = t0 時(shí)這組變量時(shí)這組變量X( (t0) )和和 t t0 后的輸入后的輸入e(t)為已知，為已知， 就可以確定就可以確定t0及及t0以后任何時(shí)刻電路的響應(yīng)。以后任何時(shí)刻電路的響應(yīng)。 X(t0) e(t) t t0 稱這一組稱這一組最少數(shù)目最少數(shù)目的變量為狀態(tài)變量。的變量為狀態(tài)變量。 Y(t) t t0 某給定時(shí)刻電路必須具備的最少量信息，它們某給定時(shí)刻電路必須具備的最少量信息，它們 和從該時(shí)刻開始的任意輸入一起就可完全確定和從該時(shí)刻開始的任意輸入一起就可完全

4、確定 之后該電路在任何時(shí)刻的性狀。之后該電路在任何時(shí)刻的性狀。 狀態(tài)變量：狀態(tài)變量：電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量，它們在任何時(shí)刻電路的一組獨(dú)立的動(dòng)態(tài)變量，它們在任何時(shí)刻 的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)。的值組成了該時(shí)刻的狀態(tài)。 2021/3/115 )30sin(20)( 0)0(3)0( o tte iVu LC 已知已知 輸出輸出: uL , iC , uR , iR 選狀態(tài)變量選狀態(tài)變量 uC ， ， iL 解解 由由 V10)0( 0)0( V3)0( e i u L C uL(0)=7V iC(0)= -1.5A iR(0)=1.5A uR(0)=3V 例例1 2 R uL C e(t) + -

5、 uC iL iC uR + - + - +- L iR 2021/3/116 推廣至任一時(shí)刻推廣至任一時(shí)刻 t1 )( )( )( 1 1 1 te ti tu L C uL(t1)=e(t1)-uC(t1) uR(t1)= uC(t1) iC(t1)= iL(t1)- uC(t1)/R iR(t1)= uC(t1)/R 可由可由 可見當(dāng)可見當(dāng) t = = t1 時(shí)時(shí) uC ， ， iL 和 和 t t1 后的輸入后的輸入e(t)為已為已 知，知，就可以確定就可以確定t1及及t1以后任何時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)。以后任何時(shí)刻系統(tǒng)的響應(yīng)。 問題問題: t1時(shí)刻的狀態(tài)變量要求出來。時(shí)刻的狀態(tài)變量要求出來。

6、 2021/3/117 三三. . 狀態(tài)方程狀態(tài)方程求解狀態(tài)變量的方程，即對狀態(tài)變量列出的一求解狀態(tài)變量的方程，即對狀態(tài)變量列出的一 階微分方程階微分方程 設(shè)設(shè) uC , iL 為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 R u i t u Ci C L C C d d C L L ute t i Lu )( d d 列微分方程列微分方程 R C e(t) + - - uC iL + - - L iC + - uL 改寫改寫 LC C i C u RCt u11 d d )( 11 d d te L u Lt i C L 2021/3/118 矩陣形式矩陣形式 )( 1 0 0 1 11 d d d d te L

7、i u L CRC t i t u L C L C x=x1 x2 xnT T 21n xxxx 式中式中 uBxAx 一般形式一般形式 n n n r LC C i C u RCt u11 d d )( 11 d d te L u Lt i C L 特點(diǎn)特點(diǎn) ( (1) ) 聯(lián)列一階微分方程組聯(lián)列一階微分方程組 ( (2) )左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)左端為狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù) ( (3) )右端僅含狀態(tài)變量和輸入量右端僅含狀態(tài)變量和輸入量 n 1 r 1 2021/3/119 四四. 輸出方程輸出方程 )( 0 0 0 1 0/1 01 1/1 01 te i u R R i u i u L

8、C R R C L 特點(diǎn)特點(diǎn) (1) 代數(shù)方程代數(shù)方程 (2) 用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量用狀態(tài)變量和輸入量表示輸出量 一般形式一般形式y(tǒng)=Cx+Du R uL C e(t) + - uC iL iC uR + - + - + - L uL=e(t)-uC(t) uR(t)= uC(t) iC(t)= iL(t)- uC(t)/R iR(t)= uC(t)/R 2021/3/1110 五五. 小結(jié)小結(jié) (1) 狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)系，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于狀態(tài)變量和儲(chǔ)能元件有聯(lián)系，狀態(tài)變量的個(gè)數(shù)等于 獨(dú)立的儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件個(gè)數(shù) (2)一般選擇一般選擇uC和和 iL為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量

9、 (3)對單電容結(jié)點(diǎn)（割集）列寫對單電容結(jié)點(diǎn)（割集）列寫KCL方程方程 (4)對單電感回路列寫對單電感回路列寫KVL方程方程 (5)消去中間變量，并將方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式消去中間變量，并將方程整理為標(biāo)準(zhǔn)形式 注意：注意：狀態(tài)變量的選擇不唯一狀態(tài)變量的選擇不唯一 2021/3/1111 令令 x1 =uC , x2 =duC /dt 即即 )( 1 0 11 10 2 1 2 1 te LC x x RCLC x x 則則 )( 11 d d1 d d d d 2 2 2 21 te LC u LCt u RCt u x x t u x C CC C x1 x2 R C e(t) + - uC i

10、L + - L )( d d d d 2 2 teu t u R L t u LC C CC 2021/3/1112 2 狀態(tài)方程的列寫狀態(tài)方程的列寫 一一. 直觀法直觀法 選選 uC , i1 , i2為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 21 C d d ii t u C SC uRiiu t i L 121 1 1 )( d d R1 - + uS C uC iS iR R2 i2 L2 L1 - + i1 22121 2 2 )()( d d RiiuRiiu t i L SSC 含含duC/dt 電容節(jié)點(diǎn)列電容節(jié)點(diǎn)列KCL 含含diL/dt電感回路列電感回路列KVL 例例3 2021/3/1113

11、S S C C i u L R L L i i u L RR L R L L R L R L CC t i t i t u 2 1 2 1 2 1 2 21 2 1 2 1 1 1 1 1 2 1 1 0 1 00 1 1 11 0 d d d d d d 21 C d d ii t u C SC uRiiu t i L 121 1 1 )( d d 22121 2 2 )()( d d RiiuRiiu t i L SSC 2021/3/1114 例例4 L3 i3 uSR6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 + - + - u1 u2 2021/3/1115 例例4 L3

12、i3 uSR6 R5 C2 C1 L4 + - i5 i6 i4 + - + - u1 u2 選選 u1 , u2 , i3 , i4為狀態(tài)變量為狀態(tài)變量 45 1 1 d d ii t u C 56 2 2 d d ii t u C S uRiu t i L 662 3 3 d d 1266 4 4 d d uuRiu t i L S 消去非狀態(tài)量消去非狀態(tài)量 i5 , i6 i5= (u2-u1)/R5 i6 = i4 -i3 代入上式，整理代入上式，整理 2021/3/1116 S u L L i i u u L R L R LL L R L R L CCCRCR CCRCR i i u

13、 u 4 3 4 3 2 1 4 6 4 6 44 3 6 3 6 3 222525 11515 4 3 2 1 1 1 0 0 11 1 0 1111 1 0 11 2021/3/1117 例例5 + - e(t) 2F +- uC 3 2 4H 3H iL2 iL1 uR1 uR2 + + - - 2021/3/1118 1) 電容節(jié)點(diǎn)列電容節(jié)點(diǎn)列KCL , 電感回路列電感回路列KVL 3d d 2 1 1 R L C u i t u 1 1 d d 3 R L u t i 2 2 d d 4 R L u t i 2) 消去非狀態(tài)量消去非狀態(tài)量uR1， ， uR2 例例5 + - e(t)

14、 2F +- uC 3 2 4H 3H iL2 iL1 uR1 uR2 + + - - 12 21 21 43 LL RR RRC ii uu euuu 2021/3/1119 )( 1 . 0 2 . 0 1 . 0 3 . 03 . 01 . 0 4 . 04 . 02 . 0 2 . 03 . 01 . 0 2 1 2 1 te i i u i i u L L C L L C uR1= - -0.6 uC -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) uR2= -0.4 uC +1.2 iL1 -1.2 iL2 +0.4 e(t) 3d d 2 1 1 R L C u i t

15、u 1 1 d d 3 R L u t i 2 2 d d 4 R L u t i = - -0.2 uC +0.6 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t) . 3iL1= - -0.6 uC - -1.2 iL1 +1.2 iL2 +0.6 e(t) 2uC= iL1 -0.2 uC - -0.4 iL1 +0.4 iL2 +0.2 e(t) . 4iL2= - -0.4 uC +1.2 iL1 - -1.2 iL2 +0.4 e(t) . 2021/3/1120 二二. 列寫狀態(tài)方程的一般方法列寫狀態(tài)方程的一般方法 1）選電感電流、電容電壓為狀態(tài)變量）選電感電流、電容電壓為狀態(tài)變量 2）選一棵特有樹，）選一棵特有樹， 其特點(diǎn)：其特點(diǎn)： 所有電容支路和電壓源支路皆為樹支所有電容支路和電壓源支路皆為樹支 所有電感支路和電流源支路皆為連支所有電感支路和電流源支路皆為連支 3）對單電容樹支割集列寫）對單電容樹支割集列寫KCL方程方