研究生入學(xué)考試線性代數(shù)二次型PPT學(xué)習(xí)教案

1、會計學(xué)1 研究生入學(xué)考試線性代數(shù)二次型研究生入學(xué)考試線性代數(shù)二次型 nn xxaxxaxaf 112112 2 111 nn xxaxaxxa 22 2 2221221 2 2211nnnnnnn xaxxaxxa )( )( )( 2211 22221212 12121111 nnnnnn nn nn xaxa xax xaxa xax xaxa x a x nnnnn nn nn n xaxa xa xaxa xa xaxa x a xxx 2211 2222121 1212111 21 ),( 2、二次型的表示方法、二次型的表示方法 第1頁/共48頁 ., 為對稱矩陣為對稱矩陣其中其中則

2、二次型可記作則二次型可記作AAx x f T , 2 1 21 22221 11211 nnnnn n n x x x x aaa aaa aaa A 記記 nnnnn n n n x x x aaa aaa aaa xxx 2 1 21 22221 11211 21 , 第2頁/共48頁 例例1、將二次型、將二次型 yzxyzxf43 22 用矩陣表示。用矩陣表示。 z y x zyxf 3 2 1 0 2 1 02 021 ),( 第3頁/共48頁 3、二次型的矩陣及秩、二次型的矩陣及秩 在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型，在二次型的矩陣表示中，任給一個二次型， 就唯一地確定一個對稱矩陣

3、；反之，任給一個對就唯一地確定一個對稱矩陣；反之，任給一個對 稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二稱矩陣，也可唯一地確定一個二次型這樣，二 次型與對稱矩陣之間存在次型與對稱矩陣之間存在一一對應(yīng)一一對應(yīng)的關(guān)系的關(guān)系 ; 的矩陣的矩陣叫做二次型叫做二次型對稱矩陣對稱矩陣fA ; 的二次型的二次型叫做對稱矩陣叫做對稱矩陣Af . 的秩的秩的秩叫做二次型的秩叫做二次型對稱矩陣對稱矩陣fA 第4頁/共48頁 解解,a,a,a321 332211 ,aa2 2112 ,aa0 3113 .aa3 3223 . 330 322 021 A . 6432 3221 2 3 2 2 2 1 的的矩矩陣陣 寫

4、寫出出二二次次型型 xxxxxxxf 例例2 第5頁/共48頁 nnnnnn nn nn ycycycx ycycycx ycycycx 2211 22221212 12121111 , , 4、合同變換、合同變換 設(shè)有一個可逆的線性變換，設(shè)有一個可逆的線性變換， ),(cC ij 記記記作記作則上述可逆線性變換可則上述可逆線性變換可 Cyx 第6頁/共48頁 Axxf T 有有將其代入將其代入, Ax x f T . yACCy TT CyACy T , , T T TTT BC ACAC BC ACC ACBB 記其中 為對稱矩陣， 可逆，則 即 也為對稱矩陣， -1-1 (),( )(

5、), ( )( )( )( ), TT BC ACACBCR BR A R AR BR AR B 又且可得 同時成立，所以， () TT yC AC y由此可見，經(jīng)過上述可逆線性變換， 仍為二次型，而且二次型的秩不變，變換前后 的兩個二次型的矩陣有下面所定義的合同關(guān)系： 第7頁/共48頁 定義定義5.2. 對于對于n階矩陣階矩陣A和和B,如果存在如果存在n階可逆矩階可逆矩 陣陣C,使得使得B=CTAC,就稱就稱A合同于合同于B,記作記作A B，對，對 A進(jìn)行運算稱為對進(jìn)行運算稱為對A進(jìn)行合同變換進(jìn)行合同變換. 矩陣間的合同關(guān)系具有反身性矩陣間的合同關(guān)系具有反身性,對稱性對稱性,和和 傳遞性傳遞

6、性. 第8頁/共48頁 定義定義5.3 5.3 只含有平方項的二次型只含有平方項的二次型 22 22 2 11nn ykykykf 稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式）稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形（或法式） 2 3 2 2 2 1321 44,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形. . 5.2 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型 例如例如 若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只取若標(biāo)準(zhǔn)形的系數(shù)只取1，-1，0，即，即 2222 11ppr fzzzz 稱為二次型的規(guī)范形稱為二次型的規(guī)范形 。 第9頁/共48頁 要使二次型要使二次型 經(jīng)可逆線經(jīng)可逆線 性變換性變換x=Cy化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形,就是要使就是要使 12 (,)

7、T n fx xxx Ax 222 12 12 T T n n ACyyyy y Ckkk ,),( 2 1 2 1 21 y y y k k k yyy nn n .成成為為對對角角矩矩陣陣也也就就是是要要使使AC C T (,)()() 12 TT fxxxxAxCyA Cy n 因此，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形就是對于對稱矩陣因此，化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形就是對于對稱矩陣A尋尋 找可逆矩陣找可逆矩陣C，使與，使與A合同的矩陣合同的矩陣CTAC為對角陣。為對角陣。 第10頁/共48頁 有有型型 把此結(jié)論應(yīng)用于二次把此結(jié)論應(yīng)用于二次即即使使 總有正交矩陣總有正交矩陣陣陣由于對任意的實對稱矩由于對任意的實對稱矩

8、 , ., , 1 AP P AP P PA T 1 正交變換法正交變換法 定理定理5.1 對于任一個對于任一個n元二次型元二次型 12 11 (,) nn T nijij ii fx xxa x xx Ax 總有正交變換總有正交變換x=Py(P為為n階正交矩陣），使階正交矩陣），使 f(x1,x2,xn)化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形 常見的化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法常見的化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的方法 第11頁/共48頁 12 (,)() T TTT n fx xxx AxPyA PyyP AP y 222 1122 , nn yyy 其中其中1, 2， n是實對稱矩陣是實對稱矩陣A的特征值，的特征值，P的的n

9、 個列向量個列向量p1,p2,pn是是A的對應(yīng)于特征值的對應(yīng)于特征值1, 2， n的兩兩正交的單位特征向量的兩兩正交的單位特征向量. 推論推論5.1 對于任一個對于任一個n元二次型元二次型 12 (,) T n fx xxx Ax 總有可逆線性變換總有可逆線性變換x=Cz，使，使f(Cz)為規(guī)范形。為規(guī)范形。 第12頁/共48頁 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的具體步驟 ;,. 1AAx x f T 求求出出將將二二次次型型表表成成矩矩陣陣形形式式 ;,. 2 21n A 的所有特征值的所有特征值求出求出 ;,. 3 21n 征征向向量量求求出出對對應(yīng)應(yīng)于于特特

10、征征值值的的特特 ;, ,. 4 2121 21 nn n C 記記 得得單單位位化化正正交交化化將將特特征征向向量量 . ,. 5 22 11nn yyf fCyx 的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)形形則則得得作作正正交交變變換換 第13頁/共48頁 解解1 1寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值寫出對應(yīng)的二次型矩陣，并求其特征值 1442 4142 2217 A 1442 4142 2217 AE 918 2 ., 844141417 323121 2 3 2 2 2 1 化成標(biāo)準(zhǔn)形化成標(biāo)準(zhǔn)形通過正交變換通過正交變換 將二次型將二次型 Pyx xxxxxxxxxf 例例3 3 第14頁/共48頁 從而得特征值從

11、而得特征值 .18, 9 321 得基礎(chǔ)解系代入將,09 1 xAE 2 2求特征向量求特征向量 得基礎(chǔ)解系代入將, 018 32 xAE ,)0 , 1 , 2( 2 T .)1 , 0 , 2( 3 T 3 3將特征向量正交化將特征向量正交化 , 1 1 取取 . 1 1 2 1 1 , 22 , , , 2 22 32 33 得正交向量組得正交向量組 .)1 , 54, 52( 3 T ,)0 , 1 , 2( 2 T ,)1 , 1 , 21( 1 T 第15頁/共48頁 ,3 , 2 , 1, i i i i 令令 得得 , 0 51 52 2 , 32 32 31 1 . 455

12、454 452 3 . 455032 4545132 4525231 P 所所以以 4 4將正交向量組單位化，得正交矩陣將正交向量組單位化，得正交矩陣P 第16頁/共48頁 于是所求正交變換為于是所求正交變換為 , 455032 4545132 4525231 3 2 1 3 2 1 y y y x x x .18189 2 3 2 2 2 1 yyyf 且有且有 第17頁/共48頁 2 2 配方法配方法 32 2 331 2 221 2 1 65222xxxxxxxxxf 例例5、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 1 x 解：將解：將 的項歸并起來，得的項歸并起來，得 2 32 2 321

13、 32 2 3 2 2 2 321 )2()( 44)( xxxxx xxxxxxxf 第18頁/共48頁 33 322 3211 33 322 3211 22 yx yyx yyyx xy xxy xxxy 令令 3 2 1 100 210 111 y y y CYX 2 2 2 1 yyf 經(jīng)過可逆線性變換經(jīng)過可逆線性變換 將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型：將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)型： 第19頁/共48頁 323121 622xxxxxxf 33 212 211 yx yyx yyx 3213212121 )(6)(2)(2yyyyyyyyyyf 3231 2 2 2 1 8422yyyyyy 例例5、化二次型

14、為標(biāo)準(zhǔn)形、化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形 解解 f不含平方項，含有不含平方項，含有x1,x2的乘積項，的乘積項， 因此先用代換產(chǎn)生平方項因此先用代換產(chǎn)生平方項 第20頁/共48頁 2 3 2 32 2 31 6)2(2)(2yyyyyf 33 322 311 33 322 311 22 zy zzy zzy yz yyz yyz 2 3 2 2 2 1 62zzzf 100 210 101 100 011 011 C 再配方，得再配方，得 則有則有 令令 所求得可逆變換矩陣為所求得可逆變換矩陣為 第21頁/共48頁 說明：用配方的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法：說明：用配方的方法化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型方法： 1）、若二

15、次型不含平方項，僅含乘積項，先引入）、若二次型不含平方項，僅含乘積項，先引入 代換產(chǎn)生平方項后，再配方；代換產(chǎn)生平方項后，再配方； 2）、若二次型含平方項，集中含有平方項的某一）、若二次型含平方項，集中含有平方項的某一 個變量所有項的平方，對余下的變量同樣進(jìn)行配方個變量所有項的平方，對余下的變量同樣進(jìn)行配方 作平方和。作平方和。 注：用配方法作的變換是可逆變換，但是不一定是注：用配方法作的變換是可逆變換，但是不一定是 正交變換，因此標(biāo)準(zhǔn)型中平方項前的系數(shù)不一定是正交變換，因此標(biāo)準(zhǔn)型中平方項前的系數(shù)不一定是 特征值。特征值。 第22頁/共48頁 化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出化為標(biāo)準(zhǔn)型，并指出 表示何種二次

16、表示何種二次 1, 321 xxxf 曲面曲面. 323121 2 3 2 2 2 1 321 662355 , xxxxxxxxx xxxf 求一正交變換，將二次型求一正交變換，將二次型 思考題思考題 第23頁/共48頁 思考題解答思考題解答 , 333 351 315 A二次型的矩陣為二次型的矩陣為解解 ),9)(4()det(AE可求得 , 9, 4, 0 321 的特征值為的特征值為于是于是A . 1 1 1 , 0 1 1 , 2 1 1 321 ppp 對應(yīng)特征向量為對應(yīng)特征向量為 第24頁/共48頁 將其單位化得將其單位化得 , 62 61 61 1 1 1 p p q , 0

17、21 21 2 2 2 p p q . 31 31 31 3 3 3 p p q 第25頁/共48頁 故正交變換為故正交變換為 , 3 1 0 6 2 3 1 2 1 6 1 3 1 2 1 6 1 3 2 1 3 2 1 y y y x x x .94 2 3 2 2 yyf 化二次型為化二次型為 .1),( 321 表示橢圓柱面表示橢圓柱面可知可知 xxx f 第26頁/共48頁 一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo)一個實二次型，既可以通過正交變換化為標(biāo) 準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形，準(zhǔn)形，也可以通過拉格朗日配方法化為標(biāo)準(zhǔn)形， 顯然，其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形顯然，

18、其標(biāo)準(zhǔn)形一般來說是不唯一的，但標(biāo)準(zhǔn)形 中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩中所含有的項數(shù)是確定的，項數(shù)等于二次型的秩 下面我們限定所用的變換為下面我們限定所用的變換為實變換實變換，來研究，來研究 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形所具有的性質(zhì) 5.3 正定二次型正定二次型 1、慣性定理、慣性定理 第27頁/共48頁 . , ,0 ,0 , , )( 1 11 22 22 2 11 22 22 2 11 相等相等 中正數(shù)的個數(shù)中正數(shù)的個數(shù)中正數(shù)的個數(shù)與中正數(shù)的個數(shù)與則則 及及 使使 及及 有兩個實的可逆變換有兩個實的可逆變換為為 它的秩它的秩設(shè)有實二次型設(shè)有實二次型慣性定理慣性定理定

19、理定理 rr irr irr T kk zzzf kykykykf PzxCyx r Ax x f 第28頁/共48頁 1 ( ),0, (1)0, ; (2)0, (3)0, ; (2)0, T f xx Axx fxf A fxf A fxf A fxf A 定義設(shè)有實二次型對任何 如果都有則稱 為正定二次型 并稱 對稱矩陣 是正定的 如果都有則稱 為半正定二次型 并稱 對稱矩陣 是半正定的 如果都有則稱 為負(fù)定二次型 并稱 對稱矩陣 是負(fù)定的 如果都有則稱 為半負(fù)定二次型 并稱 對稱矩陣 是半負(fù)定的 第29頁/共48頁 . ,:1 為正定二次型 證明為可逆矩陣設(shè)例 AXXf UUAU T

20、 T AXXf T :證明 UXUX TT UXUX T )(0 例如例如 222 164zyxf 為為正定二次型正定二次型 2 2 2 1 3xxf 為為負(fù)定二次型負(fù)定二次型 第30頁/共48頁 .,:2也是正定矩陣證明階正定矩陣為設(shè)例BAnBA TT BBAA nBA , ,:知階正定矩陣為因為證明 , 0, 0, 0BxxAxxx TT 有又對 為對稱矩陣即BA BABABA TTT )( 第31頁/共48頁 0)(BxxAxxxBAx TTT 則 .,階正定矩陣也是所以nBA 第32頁/共48頁 ), 2 , 1(0 :,)(:3 nia naA ii ij 證明階正定矩陣為設(shè)例 ,

21、0),(0 )( : AxxRxx naA Tn ij 有即對 階正定矩陣為因為證明 i T i T i AAxx nix ), 2 , 1(則依次取 第33頁/共48頁 ), 2 , 1(0niaii 0 1 0 010 1 1111 iniii ni aaa aaa 第34頁/共48頁 證明證明使使設(shè)設(shè)可可逆逆變變換換Cyx .)()( 2 1 i n i i TT ykCyfCyACyAxxxf 充分性充分性 ., 10nik i 設(shè)設(shè), 0 x任給任給 , 0 xCy 1- 則則 故故 . 0 2 1 i n i i ykxf .: 2 個系數(shù)全為正個系數(shù)全為正它的標(biāo)準(zhǔn)形的它的標(biāo)準(zhǔn)形的

22、件是件是 為正定的充分必要條為正定的充分必要條實二次型實二次型定理定理 n Ax x f T 第35頁/共48頁 必要性必要性 , 0 s k假假設(shè)設(shè)有有 , )(時時單單位位坐坐標(biāo)標(biāo)向向量量則則當(dāng)當(dāng) s ey . 0 ss kCef , 0 s Ce顯然顯然.為正定相矛盾為正定相矛盾這與這與 f 故故 ., 10niki 推論對稱矩陣推論對稱矩陣 為正定的充分必要條件是：為正定的充分必要條件是： 的特征值全為正的特征值全為正 AA 第36頁/共48頁 2 ,:4 BA BnnA 使 階正定矩陣則存在階正定矩陣是若例 , 0),(0 ,: AxxRxx nA Tn 有對 即階正定矩陣為因為證明

23、 0 ),( , 21 1 i n diagAPP PA 使得 則存在正交矩陣為實對稱矩陣其中 第37頁/共48頁 0,),(: 1 21 in PPdiagA得 1 2 1 PP n n M 1 令 第38頁/共48頁 )(: 1112 PMPPMPPPMA得 , , 11T PPPPMPB 的正交性知由取 ,)(為對稱矩陣即BBPMPPMPB TTTT . , 正定所以 有相同的特征值與的形式知且由 B MBB 證畢. 第39頁/共48頁 例例5 5 判別二次型判別二次型 31 2 3 2 2 2 1321 4542,xxxxxxxxf 是否正定是否正定. 解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣

24、為 , 502 040 202 A 用用特征值判別法特征值判別法. 0 AE 令令. 6, 4, 1 321 故此二次型為正定二次型故此二次型為正定二次型.即知即知 是正定矩陣是正定矩陣，A 第40頁/共48頁 , 0 11 a , 0 2221 1211 aa aa , ; 0 1 111 nnn n aa aa ., 2 , 1, 01 1 111 nr aa aa rrr r r 這個定理稱為這個定理稱為霍爾維茨定理霍爾維茨定理 定理定理3 3 對稱矩陣對稱矩陣 為為正定正定的的充分必要條件充分必要條件是：是： 的各階主子式為正，即的各階主子式為正，即 AA 對稱矩陣對稱矩陣 為為負(fù)定負(fù)定的的充分必要條件充分必要條件是：奇數(shù)階主是：奇數(shù)階主 子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即子式為負(fù)，而偶數(shù)階主子式為正，即 A 第41頁/共48頁 正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì)正定矩陣具有以下一些簡單性質(zhì) ; ,A, . 1 1T 定定矩矩陣陣 均均為為正正則則為為正正定定實實對對稱稱陣陣設(shè)設(shè) AAA . , . 2 矩矩陣陣 也也是是正正定定則則階階正正定定矩矩陣陣均均為為若若BAnBA 第42頁/共48頁 例例6 6 判別二次型判別二次型 323121 2 3 2 2 2 1321 48455,xxxxxxxxxxxxf 是否正定是否正定. 解解 的矩陣為的矩陣為 321 ,xxxf