黎卡提方程與最優(yōu)控制

1、Riccati 最優(yōu)控制 變分法 控制系統(tǒng)的狀態(tài)可由觀測決定，而觀測值 總是近似的，若要求近似值能任意逼近準(zhǔn) 確值，需要在狀態(tài)之間定出距離量度，以 便確切規(guī)定“任意逼近”。 泛函 函數(shù)的函數(shù)J=Jx(t)， 最優(yōu)控制問題中的性 能指標(biāo)，取決于 u(t),x(t),必定也是個泛 函，所以上式稱為性 能泛函。x(t)是宗量 n Rtxtxtxtxx)(),(),()( 00 ),(),()()()(xxrxxLxJxxJxJ 泛函的變分 泛函極值 設(shè)J(x)是線性賦泛空間 R上的連續(xù)泛函，在x0 處可微，其變分為 若 則 10 , ),( ),( 0 0 0 xxJ xxJ dtx x L x x

2、 L dttxxxxLJ dttxxLJ f f f t t t t t t 0 0 0 ),( ),( 歐拉方程 無約束及有約束泛函 極值的必要條件 歐拉方程。使泛函取 極值的必要條件是： 0 x L dt d x L 0 0 f t t T x x L 橫截條件： 用變分法解最優(yōu)控制問題 對于時變非線性系統(tǒng)，狀態(tài)方程及初始條件如下： 性能泛函取為： ),(),()(ttuyxftx )0()( 0 xtx f t t ff dttuxLttxJ 0 ),(),( 用變分法解最優(yōu)控制問題 u(t)不受約束，設(shè)要求的，目標(biāo)集為 需求一個最優(yōu)的控制和狀態(tài)使得目標(biāo)集達(dá)到極值。上 式問題可表述為：

3、0),( ff ttx 0)( )0()(,0)(),(. ),(),(min 0 )( 0 f t t ff tu tx xtxtxtuxtfs dttuxLttxJ f 構(gòu)造廣義泛函 f t t T f T fa dttxtuxfttuxLtxttxJ 0 )(),()(),()()()( dttxttuxHtxttxtxJ dttxttxtdttxt tuxfttuxLtuxH f f f f f t t t t T f T fa t t t t T t t T )()(),()()()()( )()()()()()(- ),()(),(),( 0 0 0 0 0 T TT 則廣義泛函可

4、表示為： 分項因為上式中最后一個積 引入哈密頓函數(shù)： 泛函極值條件 f t t TT ff f T f f T a dtu u H x x H tt txtx txJ 0 )()( )()( )( 0 )( u H x H t 歐拉方程 橫截條件 )( )()( )( f ff f t txtx t 引入哈密頓函數(shù)后，似的極值必要條件的兩個正則 方程 最優(yōu)控制問題 1.滿足正則方程 2.邊界條件 3.極值條件 0)( )( )()( )( )( 00 f f f T f f tx t txtx t xtx x H t H tx )( )( 0 u H 狀態(tài)調(diào)節(jié)問題 狀態(tài)方程 X(K+1)=AX

5、(K)+BU(K),x(t0)=x0 要求確定最優(yōu)控制u(t),使得下列性能指標(biāo)極?。?dttutRtutxtQtxtFxtxJ f t t TT ff T 0 )()()()()()( 2 1 )()( 2 1 )()()()()()()()()( 2 1 )()()( 2 1 tutBttxtAttutRtutxtQtxH TTTT 證明： 由于u(t)不受約束，所以極小值條件是哈密頓函數(shù)對 u(t)取條件極小，根據(jù)駐值條件 )()()()( 0)()()()( 1 ttBtRtu ttBtutR u H T T )(),(ttR 由于 是伴隨變量，實際系統(tǒng)中不存在，自然也檢測不到，工程中

6、 很難實現(xiàn)，所以我們把u(t)表示成x(t)的函數(shù) 因為下式滿足極值條件 0)( 2 2 tR u H )()()()()( )()()()()()()( 1 ttAtxtQ x H t ttBtRtBtxtA H tx T )()()( 2 1 )( )( fff f f tFxtFxtx tx t )()()()()( )()()( txtPtxtPt txtPt 求導(dǎo) )()()()()()( 1 txtPtBRtBtAtx T (5-18) (5-19) (5-20) (5-21) (5-22) (5-23) 正則方程 橫截條件 協(xié)態(tài)方程（5- 19）的解 5-21帶 入5-18 把（5-23）代入（5-22），協(xié)態(tài)方程為 )()()()()()()(A) t (P) t (P)( 1 txtPtBtRtBtPtt T 把（5-21）代入（5-19），協(xié)態(tài)方程又可以表示為 )()()()()(txtPtAtQt T 兩式對應(yīng)相等，使得P(t)滿足黎卡提方程 )()()()()()()()()()()( 1 tQtPtBtRtBtPtPtAtAtPtP TT 由（5-21），令t=tf，可得 )()()( fff txtPt 則黎卡提方程應(yīng)滿足的邊界條件 FtP f )( 解得P后代入控制u(t) )()()