醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)第一章隨機(jī)事件與概率PPT課件

1、2021/3/101 第一節(jié)第一節(jié) 隨機(jī)事件及其運(yùn)算隨機(jī)事件及其運(yùn)算 第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 2021/3/102 醫(yī)藥數(shù)理統(tǒng)計(jì)，是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn) 象規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。 一、基本概念一、基本概念 2021/3/103 在一定的條件下，并不總是出現(xiàn)相 同結(jié)果的現(xiàn)象稱為隨機(jī)現(xiàn)象。 （一）隨機(jī)現(xiàn)象（一）隨機(jī)現(xiàn)象 例如：拋一枚硬幣；新藥對(duì)某疾病的治療 效果 2021/3/104 隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)：隨機(jī)現(xiàn)象的特點(diǎn)： 1、結(jié)果不止一個(gè)； 2、哪一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)，人們事先并不知道。 如果，發(fā)生了只出現(xiàn)一種結(jié)果的現(xiàn)象，那 我們稱它為確定性現(xiàn)象確定性現(xiàn)象。 2021/3/105 例例1-1

2、你能舉出哪些隨機(jī)現(xiàn)象的例子？你能舉出哪些隨機(jī)現(xiàn)象的例子？ 1、拋一枚硬幣，有可能正面朝上，也有可能 反面朝上。 2、擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)。 3、一天內(nèi)進(jìn)入超市的顧客數(shù)。 4、某種型號(hào)電視機(jī)的壽命。 5、測(cè)量某物理量（長度、直徑等）的誤差。 2021/3/106 在相同條件下，可以重復(fù)的隨機(jī)現(xiàn) 象稱為隨機(jī)試驗(yàn)。簡稱試驗(yàn)，用字母E 表示。 （二）隨機(jī)試驗(yàn)（二）隨機(jī)試驗(yàn) 例如， ：從一批含有合格品和次品的 藥品中任意抽取一個(gè)藥品，抽得的藥品質(zhì) 量。 2021/3/107 （三）樣本空間（三）樣本空間 對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)E，盡管在每次試驗(yàn)之前不 能預(yù)知試驗(yàn)的結(jié)果，但試驗(yàn)的所有可能的基 本結(jié)果是已知的，我們

3、將隨機(jī)試驗(yàn)E的所有 可能的基本結(jié)果組成一個(gè)集合，那么這個(gè)集 合稱為E的樣本空間，記為 。其中 表示基本結(jié)果。 2021/3/108 例1-2 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間。 1、拋一枚硬幣。 2、擲一顆骰子。 3、電視機(jī)的壽命。 2021/3/109 4、測(cè)量誤差。 樣本空間的元素，就是隨機(jī)試驗(yàn)E 的每個(gè)基本結(jié)果，稱為樣本點(diǎn)樣本點(diǎn)。 2021/3/1010 （四）隨機(jī)事件（四）隨機(jī)事件 在進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，人們常常關(guān)心 滿足某種條件的那些樣本點(diǎn)所組成的集 合，稱這個(gè)集合為隨機(jī)事件。簡稱事件 ，常用大寫字母A，B，C，表示。 擲一顆骰子中，“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”是一個(gè)事件， 記作 2021/3/1011 必

4、然事件必然事件 樣本空間 包含所有樣本點(diǎn)，它是 自身的 子集，在每次試驗(yàn)中它總是發(fā)生。 不可能事件不可能事件 空集 不包含任何樣本點(diǎn)，它也作為樣本 空間的子集，它在每次試驗(yàn)中都不發(fā)生。 2021/3/1012 事件發(fā)生事件發(fā)生 在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)這一子集中 的一個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱這一事件發(fā)生。 基本事件基本事件 由一個(gè)樣本點(diǎn)組成的單點(diǎn)集合。 例如，拋一枚硬幣這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，樣本空間 該試驗(yàn)有兩個(gè)基本事 件 。 2021/3/1013 Venn圖表示事件圖表示事件 在概率論中，常用一個(gè)長方形表示樣 本空間，用其中一個(gè)圓或其他幾何圖形表 示事件A，這類圖形稱為Venn圖。 圖1-1 樣本空間 樣

5、本點(diǎn) 兩個(gè)或兩個(gè)以上樣本點(diǎn)需表示成： 2021/3/1014 例1-3 擲一顆骰子的樣本空間為 事件A=“出現(xiàn)1點(diǎn)”，它由 的單樣本點(diǎn)“1”組成。 事件B=“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，它由 的三個(gè)樣本點(diǎn)“2”， “4”，“6”組成。 事件C=“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于7”，它由 的全部樣本點(diǎn) “1”“2”“3”“4”“5”“6”組成，即必然事件。 事件D=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于6”， 中任一樣本點(diǎn)都不 在D中，所以D是空集，即不可能事件。 2021/3/1015 （五）隨機(jī)變量（五）隨機(jī)變量 用來表示隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果的變量稱為 隨機(jī)變量，常用字母X，Y，Z表示。 2021/3/1016 例1-4 1、擲一顆骰子，出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是一

6、 個(gè)隨機(jī)變量，記作X，則事件“出現(xiàn)3點(diǎn)” 可用“X=3”表示，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不 小于3”可用“ ”表示；又如出現(xiàn) “X3”表示事件“ ” 出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)小于3 2021/3/1017 2、擲兩顆骰子的樣本空間為 共有36個(gè)樣本點(diǎn)。 若記X表示第一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，Y表示第 二顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，那么事件“點(diǎn)數(shù)之和等 于5”可表示成“X+Y=5”= 事件“ ”表示事件“最大點(diǎn)數(shù)為6” 2021/3/1018 3、檢查10件產(chǎn)品，其中不合格品數(shù)為X 是一個(gè)隨機(jī)變量，它可以取值： 0,1,2,3,4，10。事件“不合格品數(shù) 不多于1件”可以表示成“ ”； “ ”表示事件“ ” 不合格品數(shù)超過2件 2021

7、/3/1019 4、電視機(jī)的壽命T是一個(gè)隨機(jī)變量， 則事件“壽命超過40 000h”可表示成 “ ”。 事件“壽命不超過10000h”可表示成 “ ” 2021/3/1020 在不少場合，用隨機(jī)變量表示事件較 為簡潔明了，這樣一來，事件有三種表 示方法： 1、用集合表示。 2、用語言表示，但語言要明白無誤。 3、用隨機(jī)變量表示。 2021/3/1021 二、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算二、事件間的關(guān)系及其運(yùn)算 2021/3/1022 （一）事件間的關(guān)系（一）事件間的關(guān)系 下面的討論總是假設(shè)在同一個(gè)樣本 空間 （即同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)）中進(jìn)行， 事件間的關(guān)系與集合的關(guān)系一樣有以下 幾種： 2021/3/102

8、3 1、包含關(guān)系、包含關(guān)系 圖1-2 如果屬于A的樣本點(diǎn)必 屬于B，則稱A被包含在B 中，記為 （或稱B包 含A，記為 ）。 用概率論的語言說：事件A發(fā)生必然導(dǎo)致事 件B發(fā)生。 2021/3/1024 2、相等關(guān)系、相等關(guān)系 如果事件A與事件B滿足：屬于A的樣本點(diǎn) 必屬于B，而且屬于B的樣本點(diǎn)也屬于A，即 且 ,則稱事件A與B相等，記作A=B。 例如，擲兩顆骰子，記事件A=“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)之 和為奇數(shù)”，事件B=“兩顆骰子的點(diǎn)數(shù)為一奇一 偶”，顯然A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，并且B發(fā)生也必然 導(dǎo)致A發(fā)生，所以A=B 2021/3/1025 3、互不相容關(guān)系、互不相容關(guān)系 圖1-3 如果A與B沒有相同

9、的樣 本點(diǎn)，則稱A與B互不相容 （互斥）。 在電視壽命試驗(yàn)中，“壽命小于1萬小時(shí)”與“壽命大于5 萬小時(shí)”是兩個(gè)互不相容的事件，因?yàn)樗鼈儾豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生。 用概率論的語言說：A與B互不相容就是A與 B不可能同時(shí)發(fā)生。 2021/3/1026 （二）事件運(yùn)算（二）事件運(yùn)算 事件的運(yùn)算與集合的運(yùn)算相當(dāng)，有 并、交、差、余等四種。 2021/3/1027 1 1、事件、事件A A與與B B的并（和），記為的并（和），記為 （或（或 A+BA+B） 圖1-4 含義：事件A與事件B中所 有的樣本點(diǎn)組成的新事件。 用概率論的語言說：事件A與事件B中至少有一 個(gè)發(fā)生。 2021/3/1028 例如，在擲一顆骰

10、子的試驗(yàn)中， 記事件A=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”=1,3,5， 事件B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”=1,2，3， 則事件A與B的并為 2021/3/1029 2 2、事件、事件A A與與B B的交（積），記為的交（積），記為 （或（或ABAB） 圖1-5 含義：由事件A與事件B中 公共的樣本點(diǎn)組成的新事 件。 用概率論的語言說：事件A與事件B同時(shí)發(fā)生。 2021/3/1030 例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中， 記事件A=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”=1,3,5， 事件B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”=1,2，3， 則事件A與B的交為 2021/3/1031 若事件A與B為互不相容，其交為不可能事 件，即 ；反之亦然。這表明： 就

11、意味著A與B是互不相容事件。 2021/3/1032 3 3、事件、事件A A對(duì)對(duì)B B的差，記為的差，記為A-BA-B。 含義：由事件A中而不在事 件B中的樣本點(diǎn)組成的新事 件。 用概率論的語言說：事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生。 圖1-6 2021/3/1033 例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中， 記事件A=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”=1,3,5， 事件B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”=1,2，3， 則事件A對(duì)B的差為 再如，設(shè)X為隨機(jī)變量，則有： 2021/3/1034 4 4、對(duì)立事件、對(duì)立事件 事件A的對(duì)立事件，記為 ， 即“由在 中而不在A中的樣 本點(diǎn)組成的新事件”。 用概率論的語言說：事件A不發(fā)生。即 圖1-

12、7 注意：對(duì)立事件是相互的，即A的對(duì)立事件是 ，而 的對(duì)立事件是A；必然事件與不可能事件互為對(duì) 立事件。 2021/3/1035 例如，在擲一顆骰子的試驗(yàn)中， 記事件A=“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”=1,3,5， A的對(duì)立事件是 事件B=“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3”=1,2，3， B的對(duì)立事件是 2021/3/1036 A與B互為對(duì)立事件的充要條件是： 2021/3/1037 （三）事件的運(yùn)算性質(zhì)（三）事件的運(yùn)算性質(zhì) 2021/3/1038 例1-5 依次檢查三人的肝臟功能，記A=第一 人正常，B =第二人正常，C =第三人正 常，試寫出這一試驗(yàn)的下列事件： （1）只有第一人正常； （2）只有一人正常； （3）三

13、人都不正常； （4）至少有一人正常； （5）只有第三人不正常。 2021/3/1039 第二節(jié)第二節(jié) 事件的概率及其運(yùn)算事件的概率及其運(yùn)算 第一章第一章 隨機(jī)事件與概率隨機(jī)事件與概率 2021/3/1040 一、排列與組合一、排列與組合 （一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 1 1、加法原理（分類計(jì)數(shù)原理）、加法原理（分類計(jì)數(shù)原理） 2021/3/1041 （一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理（一）兩個(gè)計(jì)數(shù)原理 2 2、乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理）、乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理） 2021/3/1042 （二）排列與組合公式（二）排列與組合公式 排列與組合都是計(jì)算“從n個(gè)不同 的元素中任取m個(gè)元素”的取法總數(shù)式， 其主要

14、區(qū)別在于：如果不講究取出元素的 次序，則用組合公式，否則用排列。 2021/3/1043 1、排列 從n個(gè)不同的元素中任取m 個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從 n個(gè)不同的元素中任取m個(gè)元素的一個(gè)排列。 此種排列的總數(shù)（排列數(shù)）記為： 當(dāng) 時(shí)，稱為全排列，記為 ，顯然 2021/3/1044 2、組合 從n個(gè)不同的元素中任取m 個(gè)元素并成一組，叫做從n個(gè)不同的元素中 任取m個(gè)元素的一個(gè)組合。 此種組合的總數(shù)（組合數(shù)）記為： 規(guī)定 ， 2021/3/1045 二、概率的定義二、概率的定義 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)事件來說，它在一 次試驗(yàn)中可能發(fā)生，也可能不發(fā)生。 但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，我們還是可以 發(fā)現(xiàn)它

15、的內(nèi)在規(guī)律，也就是說它發(fā)生 的可能性的大小是可以“度量”。 2021/3/1046 拋硬幣試驗(yàn)拋硬幣試驗(yàn) 表示試驗(yàn)次 數(shù) n 表示正面 發(fā)生的頻數(shù) H nH 表示 發(fā)生的頻率 n fH H 但隨著 逐漸增大， 總是在0.5附近擺動(dòng)，逐 漸穩(wěn)定于0.5。 n n fH 2021/3/1047 （一）概率的統(tǒng)計(jì)定義（一）概率的統(tǒng)計(jì)定義 2021/3/1048 性質(zhì)1 對(duì)于任意事件，有 01P A 性質(zhì)2 必然事件概率： 1P 不可能事件概率： 0P 由概率的統(tǒng)計(jì)定義，可以得到如下性質(zhì)： 2021/3/1049 如果隨機(jī)試驗(yàn)具有下述兩個(gè)特點(diǎn)： （二）概率的古典定義（二）概率的古典定義 1、試驗(yàn)的樣本

16、空間只包含有限個(gè)樣本點(diǎn)； 2、試驗(yàn)中每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。 這種試驗(yàn)稱為等可能概型。它在概率論發(fā)展初期 是主要的研究對(duì)象，所以也稱為古典概型。 2021/3/1050 定義定義1-21-2設(shè)是 古典概型的隨機(jī)試驗(yàn)， 是它的樣本空間 E 事件 由 個(gè)不同的基本事件組成， 則 的概率為 A m mn A mA PA n 中包含的基本事件數(shù) 基本事件總數(shù) 稱上述定義為概率的古典定義概率的古典定義。 2021/3/1051 例例2-1 2-1 擲兩枚硬幣，求出現(xiàn)一個(gè)正面一個(gè) 反面的概率。 2021/3/1052 例例2-2 2-2 將一將一枚硬幣拋擲三次，試求： （1）事件恰有一次出現(xiàn)正面的概

17、率； （2）事件至少一次出現(xiàn)正面的概率？ （1）事件 包含的基本事件數(shù) ，得A 3m 3 8 m P A n （2）事件 中包含的基本事件數(shù) ， 得 7m B 7 8 m P B n 解：解：將一枚硬幣拋擲三次，每種結(jié)果就是一個(gè)基本事件，則其 基本事件總數(shù)為 ，則8n 2021/3/1053 例例2-3 2-3 從10件藥品（其中次品3件）中，任 意取出4件，求4件中恰有1件次品的概率。 分析分析：從10件藥品中任取4件的樣本空間含 有個(gè)基本事件，事件A=從10件藥品中任取4件 恰有1件為次品中含有個(gè)基本事件，所以事件 A發(fā)生的概率為： 2021/3/1054 三、概率的運(yùn)算三、概率的運(yùn)算 2

18、021/3/1055 （一）概率的加法公式（一）概率的加法公式 1 1、互斥事件和的概率公式、互斥事件和的概率公式 2 2、對(duì)立事件的概率公式、對(duì)立事件的概率公式 1P AP A 設(shè) 、 為兩個(gè)互斥事件，其和的概率公式 為 P ABP AP B A B 2021/3/1056 3 3、概率的加法公式、概率的加法公式 設(shè) 、 兩個(gè)任意事件，則 通常稱為和事件概率加法公式和事件概率加法公式。 P ABP AP BP AB AB 2021/3/1057 例例2-4 2-4 某班組織數(shù)學(xué)和英語兩個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組，全 班共45人。其中15人參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，18人參加英 語學(xué)習(xí)小組，而參加兩個(gè)學(xué)習(xí)小組的有

19、6人，在該班 中任意抽查1名學(xué)生，求他參加學(xué)習(xí)興趣小組的概率 是多少？ 分析：設(shè)A=參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組，B=參加英語學(xué)習(xí) 小組，由題可知，參加興趣小組是參加數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小 組和英語學(xué)習(xí)小組兩事件之和，即A+B，事件A與B是 相容的。 2021/3/1058 例例2-5 2-5 36只燈泡中4只是60瓦，其余都是40瓦 的，現(xiàn)從中任取3只，求至少取到一只60瓦燈 泡的概率。 解：記事件A=取出的3只中至少有一只60瓦，那么 其對(duì)立事件 =取到了3只都是40瓦 2021/3/1059 （二）條件概率公式（二）條件概率公式 在實(shí)際問題中不僅存在“求某事 件發(fā)生的概率”這類問題，還需要解決 “在某事件發(fā)生的

20、條件下，求另一事件發(fā) 生的概率”問題。 2021/3/1060 類似地，如果 ，那么我們稱 0P A P AB P B A P A 為事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率。AB 定義定義1-31-3 設(shè) 和 為試驗(yàn) 中兩事件， 且 ，則稱 ABE 0P B 為事件 發(fā)生的條件下事件 發(fā)生的條件概率。 AB P AB P A B P B 2021/3/1061 例2-6 考察有兩個(gè)小孩的家庭，其樣本空間 為=bb，bg，gb，gg，試求： （1）事件A=家中至少有一個(gè)女孩的概率； （2）事件B=家中至少有一個(gè)男孩發(fā)生，再 求事件A發(fā)生的概率。 2021/3/1062 例2-7 一批產(chǎn)品中有N件

21、正品，M件次品，無 放回地抽取兩次，每次取1件，求： （1）在第1次取到正品的條件下，第2次取到 正品的概率； 解：設(shè)A=在第1次取到正品，B=第2次取到正品 （1）共有產(chǎn)品（N+M）件，第1次取到正品后，還 有（M+N-1）件產(chǎn)品，其中（N-1）件正品，故 2021/3/1063 例2-7 一批產(chǎn)品中有N件正品，M件次品，無 放回地抽取兩次，每次取1件，求： （2）在第1次取到次品的條件下，第2次取到 正品的概率。 解：設(shè)A=在第1次取到正品，B=第2次取到正品 （2）共有產(chǎn)品（N+M）件，第1次取到次品后，還 有（M+N-1）件產(chǎn)品，其中N件正品，故 2021/3/1064 （三）概率的乘法公式（三）概率的乘法公式 當(dāng) 時(shí)，有 0