第五章穩(wěn)定性定義

1、1841年年Liouville證明了證明了Riccati方程方程: 2 ( )( )( ) dy r x yp x yq x dx 解的存在，但不能用公式求解，所以解的存在，但不能用公式求解，所以 微分方程研究的主流發(fā)生了變化，不微分方程研究的主流發(fā)生了變化，不 解方程去判斷解的形式，即定性理論解方程去判斷解的形式，即定性理論 和穩(wěn)定性理論。盡管是很古老的學(xué)科，和穩(wěn)定性理論。盡管是很古老的學(xué)科， 但 這 里 還 有 很 多 問(wèn) 題 需 要 研 究但 這 里 還 有 很 多 問(wèn) 題 需 要 研 究 . . 非線性微分方程非線性微分方程 實(shí)際問(wèn)題中所研究的對(duì)象往往是非常復(fù)雜的，需要 非線性微分方程

2、(組)來(lái)描述，非線性方程能求出解 析解的很少，需要進(jìn)行數(shù)值計(jì)算或理論分析。 微分方程的研究?jī)?nèi)容微分方程的研究?jī)?nèi)容 求解：解析解、近似解、數(shù)值解求解：解析解、近似解、數(shù)值解 基本理論：解的存在惟一性、連續(xù)性基本理論：解的存在惟一性、連續(xù)性 定性穩(wěn)定性：時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài)定性穩(wěn)定性：時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài) 分支理論：解性態(tài)發(fā)生改變的一些參數(shù)值分支理論：解性態(tài)發(fā)生改變的一些參數(shù)值 本章介紹非線性微分方程的基本研究辦法，其出發(fā)本章介紹非線性微分方程的基本研究辦法，其出發(fā) 點(diǎn)是在無(wú)法求出解析解的情況下通過(guò)方程本身的形點(diǎn)是在無(wú)法求出解析解的情況下通過(guò)方程本身的形 式來(lái)分析時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài)。式來(lái)分

3、析時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài)。 不求解微分方程而通過(guò)方程右端函數(shù)的不求解微分方程而通過(guò)方程右端函數(shù)的 信息探討時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài)信息探討時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)解的性態(tài) 2 228 0 (1) (1)(1sin () (0)( ),lim ( )? t dx x dt dx xx dt dx xxxxt dt xxxx tx t 例 滿足的解為 00 0 0 22 22 (0), 1,(0), 1 ( /1) 0,0,0 (),lim( )? (),lim( )? rt rt t t dx rxxxxx e dt dxxk rxxxx dtkk xe xkxxkx dx yy xyx t dt dy x

4、x xyy t dt 幾個(gè)例子：， 利用極坐利用極坐 標(biāo)將方程標(biāo)將方程 組組 22 22 (1) (1) dx yx xy dt dy xy xy dt 化為化為 2 (1) 1 dr rr dt d dt ),;( ),;( ),;( );(, ) 1 ();( 21 212 211 2 1 nn n n n yyytg yyytg yyytg ytg y y y y ytg dt dy 其其中中 ),( ),( ),( );(, )2()( 21 212 211 2 1 nn n n n yyyg yyyg yyyg ytg y y y y yg dt dy 其其中中 非自治系統(tǒng) 或非定常

5、系 統(tǒng) 自治系統(tǒng)或 定常系統(tǒng) 2121 );();(yyLytgytg 0 h 00 )( );( yty ytg dt dy htt | 0 );(max),min( ),( ytgM M b ah Ryt . );(ytg dt dy );(ytg byyattR 00 ,|:|（1）在）在n+1維空間的區(qū)域維空間的區(qū)域 上連續(xù)；上連續(xù)； （2）在）在R上關(guān)于上關(guān)于 滿足李普希茲條件，即存在滿足李普希茲條件，即存在L 0,使對(duì)使對(duì) y ),( 2 yt，有，有R上任意兩點(diǎn)上任意兩點(diǎn), ),( 1 yt );(ytg dt dy )(ty 思思 路路 )(tyx );( dt d xtf x

6、 0)0;(, )(;()(;( )( );();( tf ttgtxtg dt td ytgxtf 顯顯然然有有 );(ytg dt dy )(ty );( xtf dt dx 0 x 1892 () 年，李雅普諾夫就如何判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的問(wèn)題， 歸納成兩種方法簡(jiǎn)稱(chēng)第一法和第二法。第一法是通過(guò)求 解系統(tǒng)的微分方程，然后根據(jù)解的性質(zhì)來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn) 定性，同時(shí)，他還指出非線性系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近的一定 范圍內(nèi)可以用線性化了的微分方程來(lái)近似地加以描述。 如果線性化的特征方程式的根全部是負(fù)實(shí)數(shù)根，或者是 具有負(fù)實(shí)數(shù)部分的復(fù)根，則該系統(tǒng)在工作點(diǎn)附近周?chē)?穩(wěn)定的，否則便是不穩(wěn)定的。 t 李氏第二法（亦稱(chēng)直接

7、法）的特點(diǎn)是不必 求解系統(tǒng)的微分方程就可以對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn) 行分析和判斷。它是從能量的觀點(diǎn)出發(fā)得來(lái)的 他指出：若系統(tǒng)有一個(gè)平衡點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)， 系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到平衡點(diǎn)時(shí)，則系統(tǒng)積蓄的能量必達(dá) 到一個(gè)極小值。由此，李雅普諾夫創(chuàng)造了一個(gè) 輔助函數(shù)，可以用它來(lái)衡量系統(tǒng)積蓄的能量， 但它并非是一個(gè)真正的能量函數(shù)。只要這一 函數(shù)符合李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論準(zhǔn)則 就能用來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。因此應(yīng)用李氏 o 的的。李李雅雅普普諾諾夫夫意意義義下下穩(wěn)穩(wěn)定定是是的的零零解解則則稱(chēng)稱(chēng)方方程程組組 均均有有確確定定的的解解的的由由初初始始條條件件方方程程組組 時(shí)時(shí)滿滿足足使使當(dāng)當(dāng)任任一一給給定定的的若若對(duì)對(duì) 0(*) ),

8、(t )( )()(*) , 0),(, 0 0 00 000 x ttx txxtx xxt (*) 0)0 ;( );( tf xtf dt dx 1/2 2 1 n i i xx 穩(wěn)穩(wěn)定定的的。李李雅雅普普諾諾夫夫意意義義下下漸漸近近是是則則稱(chēng)稱(chēng)零零解解 均均有有確確定定的的解解滿滿足足初初始始條條件件 時(shí)時(shí)使使當(dāng)當(dāng)且且穩(wěn)穩(wěn)定定的的零零解解若若方方程程組組 0 0)(lim )()( , 0,0(*) t 00 000 x tx txxtx xx o 0 漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定 = =穩(wěn)定穩(wěn)定+ +吸吸 引引 o 稱(chēng)稱(chēng)為為不不穩(wěn)穩(wěn)定定的的。 的的零零解解則則方方程程組組使使得得某某個(gè)個(gè) 至至少

9、少確確定定的的解解使使由由初初始始條條件件 滿滿足足總總有有一一個(gè)個(gè)怎怎樣樣小小無(wú)無(wú)論論若若對(duì)對(duì)某某個(gè)個(gè)給給定定的的 0(*) , )( , ),()(, ,0 101 000 0 xtxtt txxtxx x . 0 ,. , 0)(lim )( )(, ,0(*) 0 0 t 0000 0 穩(wěn)穩(wěn)定定的的 稱(chēng)稱(chēng)全全局局為為全全局局漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定的的或或簡(jiǎn)簡(jiǎn)則則稱(chēng)稱(chēng)零零解解 即即若若穩(wěn)穩(wěn)定定域域?yàn)闉槿湛臻g間定定域域或或吸吸引引域域 稱(chēng)稱(chēng)為為漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)則則域域均均有有的的解解 滿滿足足初初始始條條件件時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng) 域域且且漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定的的零零解解若若方方程程組組 x Dtxt

10、x xtxDx Dx o . 0(*), 0 ,(*) 圍圍內(nèi)內(nèi)漸漸近近穩(wěn)穩(wěn)定定的的 稱(chēng)稱(chēng)為為在在大大范范的的零零解解那那么么方方程程組組于于 都都收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)?shù)牡拿棵恳灰粋€(gè)個(gè)解解如如果果方方程程組組 xx t 0 0 0 1 ( ,0,) (0) 0 1 0 1 0 0 rt dxx rx k xyx x t xxx yx xdtk k x y xe x yyy 一般解的穩(wěn)定 例的零解 是漸近 ， 性的定義類(lèi)似，只需要做一個(gè) 平 例的零解 是穩(wěn)定而不是漸 移變 穩(wěn)定的 換 近 穩(wěn)定的 例例 用用Maple命令畫(huà)出下邊捕食被捕食系統(tǒng)的命令畫(huà)出下邊捕食被捕食系統(tǒng)的 方向場(chǎng)及一些軌線圖方向場(chǎng)及

11、一些軌線圖 20.08, 0.001. dx xxy dt dy yxy dt (圖圖5.1) 用用Maple命令畫(huà)出的圖形命令畫(huà)出的圖形 從計(jì)算機(jī)的模擬看出系統(tǒng)有多個(gè)周期解。從計(jì)算機(jī)的模擬看出系統(tǒng)有多個(gè)周期解。 取取t t的變化范圍的變化范圍 -100t100, 100t100, 選取下面選取下面6 6組初始值組初始值 x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25,x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25, x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,y(0)=25.x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,y(0)=25. 輸入Malpe命令如下 DEtoolsphaseportrait (diff(x(t),t)=2*x(t)-0.08*x(t)*y(t), diff(y(t),t)=-y(t)+0.01*x(t)*y(t), x(t),y(t), t=-100.100, x(0)=1,y(0)=0, x(0)=0,y(0)=4, x(0)=20,y(0)=25, x(0)=40,y(0)=25, x(0)=60,y(0)=25, x(0)=80,