成比例線段第四章 圖形的相似

1、第四章第四章 圖形的相似圖形的相似 a c b d = ， 我們把我們把 a、b、c、d 這四個(gè)數(shù)這四個(gè)數(shù)成比例成比例， a、d 叫做叫做比例外項(xiàng)比例外項(xiàng)， 如果兩個(gè)數(shù)的比值與另兩個(gè)數(shù)的比值相等如果兩個(gè)數(shù)的比值與另兩個(gè)數(shù)的比值相等,就說就說 這四個(gè)數(shù)成比例這四個(gè)數(shù)成比例. bcad d c b a (a,b,c,d均不為零均不為零) 比例有如下性質(zhì)比例有如下性質(zhì): 一般地一般地,如果四條線段如果四條線段a,b,c,d中，中，a與與b的比等于的比等于c與與d的的 比比, 即即,那么這四條線段叫做那么這四條線段叫做成比例線段成比例線段， 簡稱簡稱比例線段比例線段 d c b a 結(jié)論結(jié)論1：比例的

2、基本性質(zhì)：比例的基本性質(zhì)： bcad d c b a 結(jié)論結(jié)論2：合比性質(zhì)：合比性質(zhì)： d dc b ba d c b a 結(jié)論結(jié)論3: 等比性質(zhì)：等比性質(zhì)： b a ndb mca ndb n m d c b a )0( 判斷四條線段是否成比例的方法有兩種：判斷四條線段是否成比例的方法有兩種： (1)(1)把四條線段按大小排列好，判斷前兩條線把四條線段按大小排列好，判斷前兩條線 段的比和后兩條線段的比是否相等。段的比和后兩條線段的比是否相等。 (2)(2)查看是否有兩條線段的積等于其余兩查看是否有兩條線段的積等于其余兩 條線段的積條線段的積 。 試一試試一試 ，如圖在平行四邊形中，如圖在平行

3、四邊形中， .找出圖中的一組比例找出圖中的一組比例 線段（用小寫字母表示）線段（用小寫字母表示）,并說明理由并說明理由 d c b a BCDFABDE, 新課講授新課講授 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 締締 造造 完完 美美 取一張長與寬之比為的長方形，將它對折取一張長與寬之比為的長方形，將它對折 ，請判斷圖中兩個(gè)長方形長與寬這條線段是否成比，請判斷圖中兩個(gè)長方形長與寬這條線段是否成比 例，如果成比例，請寫出比例式例，如果成比例，請寫出比例式 1:2 a b b c 這個(gè)比例式這個(gè)比例式 有什么有什么特別特別 之處之處嗎？嗎？ 一、動(dòng)手折一折一、動(dòng)手折一折 , 1 2 b a 1 2 2 2 1 c b c

4、b b a 解：這四條線段成比例解：這四條線段成比例 一般地，如果三個(gè)數(shù)一般地，如果三個(gè)數(shù)a,b,c滿足比例式滿足比例式 ， 則則b就就 叫叫a,c的的比例中項(xiàng)比例中項(xiàng) ):(cbba c b b a acb c b b a 2 用符號語言表示為：用符號語言表示為： 定義：定義： 例題例題分析分析 例例1. (1) 1是不是是不是 的比例中項(xiàng)？如果是比例的比例中項(xiàng)？如果是比例 中項(xiàng)，請寫出相應(yīng)的比例式中項(xiàng)，請寫出相應(yīng)的比例式. (2) 2和和8的比例中項(xiàng)是的比例中項(xiàng)是_ 3 2 2 1 1 和和 溫馨提示溫馨提示: .,33, 3. 2的的比比例例中中項(xiàng)項(xiàng)，求求線線段段已已知知線線段段例例ba

5、ba 線段比例中項(xiàng)與數(shù)的比例中項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念線段比例中項(xiàng)與數(shù)的比例中項(xiàng)是兩個(gè)不同的概念,前者前者 是一個(gè)正數(shù)是一個(gè)正數(shù),而后者是一對互為相反數(shù)而后者是一對互為相反數(shù). 她的上半身她的上半身( (以肚臍以肚臍 眼為分界點(diǎn)眼為分界點(diǎn)) )和下半身的比和下半身的比 值接近值接近0.6180.618. . 世界藝術(shù)珍品世界藝術(shù)珍品維納斯維納斯 女神女神, , 她是西元前一百多她是西元前一百多 年希年希臘臘雕塑雕塑鼎鼎盛盛時(shí)時(shí)期的代期的代 表作表作， 一、請你欣賞一、請你欣賞 感受勻稱感受勻稱 協(xié)調(diào)之美協(xié)調(diào)之美 欣賞之一欣賞之一: 芭蕾舞演員的身段是苗條芭蕾舞演員的身段是苗條 的，但下半身與身高的比

6、的，但下半身與身高的比 值也只有值也只有0.580.58左右，演員左右，演員 在表演時(shí)掂起腳尖，身高在表演時(shí)掂起腳尖，身高 就可以增加就可以增加6-8cm.6-8cm.這時(shí)比這時(shí)比 值就接近值就接近0.6180.618了了, ,給人以給人以 更為優(yōu)美的藝術(shù)形象更為優(yōu)美的藝術(shù)形象. . 芭蕾舞芭蕾舞 欣賞之二欣賞之二: 468m468m 289.2m 上海東方明珠電視塔高上海東方明珠電視塔高 468m,上球體到塔底的上球體到塔底的 距離約為距離約為289.2m, 289.2 與與468的比值是一個(gè)神奇的比值是一個(gè)神奇 的數(shù)字的數(shù)字,這個(gè)塔的設(shè)計(jì)精這個(gè)塔的設(shè)計(jì)精 巧巧,外型勻稱、漂亮、美外型勻稱、

7、漂亮、美 觀、大方觀、大方. 欣賞之三欣賞之三:上海東方明珠塔上海東方明珠塔 A BC D EF 欣賞之四欣賞之四: 蒙娜麗莎蒙娜麗莎 欣賞之后欣賞之后,請同學(xué)們思考請同學(xué)們思考: 以上圖案為什么這樣美麗以上圖案為什么這樣美麗? 它們與數(shù)學(xué)中的一種神圣的分它們與數(shù)學(xué)中的一種神圣的分 割和一個(gè)神奇的數(shù)有關(guān)割和一個(gè)神奇的數(shù)有關(guān). 同學(xué)們你知道這種神圣同學(xué)們你知道這種神圣 的分割和神奇的數(shù)是什么嗎的分割和神奇的數(shù)是什么嗎 ? 著名畫家達(dá)著名畫家達(dá)芬奇的蒙娜麗芬奇的蒙娜麗 莎莎,拉斐爾筆下溫和、俊秀的圣拉斐爾筆下溫和、俊秀的圣 像像,其漂亮的面部是矩形其漂亮的面部是矩形ABCD 的寬的寬BC與長與長A

8、B的比也是一個(gè)的比也是一個(gè) 神奇的數(shù)神奇的數(shù). 著名畫家達(dá)著名畫家達(dá)芬奇的名畫蒙娜麗莎，芬奇的名畫蒙娜麗莎， 畫中臉部被圍在矩形中，圖中畫中臉部被圍在矩形中，圖中 四邊形為正方形，而在線段四邊形為正方形，而在線段AB 上的點(diǎn)把線段上的點(diǎn)把線段AB分成兩條線段，其中分成兩條線段，其中 如圖，如果點(diǎn)把線段分成條線段和，使如圖，如果點(diǎn)把線段分成條線段和，使 ，那么稱線段被點(diǎn)，那么稱線段被點(diǎn)黃金分割黃金分割，線段，線段 與的比叫與的比叫黃金比黃金比，點(diǎn)叫線段的，點(diǎn)叫線段的黃金分割點(diǎn)黃金分割點(diǎn) AB AP AP BP AB BF BF AF AB AP 設(shè)設(shè)a,AP=x oaaxx axax ABAPA

9、BABBPAP AB AP AP BP 22 2 2 )( )( ax 2 51 1 ax 2 51 2 0 51 2 x xa 618. 0 2 15 AB AP 如何來求如何來求 的值呢？的值呢？ 分割分割 與生活與生活 由黃金分割畫出的正五角星形由黃金分割畫出的正五角星形,有莊嚴(yán)雄健之美有莊嚴(yán)雄健之美. 思考思考: 一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？一顆五一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？一顆五 角星中有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？角星中有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？ ABPABP 例例3.3.已知點(diǎn)已知點(diǎn)C C是線段是線段ABAB的黃金分割點(diǎn)，且的黃金分割點(diǎn)，且ACCBACCB則下列等式成則下列等式成 立的是立的是（ ） (

10、A) AB=ACCB (B) CB=ACAB(A) AB=ACCB (B) CB=ACAB (C) AC=CBAB (D) AC(C) AC=CBAB (D) AC2 2=ABBC=ABBC 例題分析例題分析 例例4.如圖如圖,點(diǎn)點(diǎn)P是線段是線段AB的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn)，且且APBP （1）請寫出黃金分割的比例式，并指出比例中項(xiàng)）請寫出黃金分割的比例式，并指出比例中項(xiàng) 個(gè)個(gè)有有效效數(shù)數(shù)字字）的的值值（結(jié)結(jié)果果保保留留）求求（22 PB AP （3）若）若AB=2，求，求PBABP 例，已知線段例，已知線段a,用直尺和圓規(guī)作出它用直尺和圓規(guī)作出它 的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn) a 作法作法: 1

11、.過線段過線段AB的端點(diǎn)的端點(diǎn)B作作BCAB,使使BC= AB 2 1 2.連結(jié)連結(jié)AC,在在AC上截取上截取CD=CB; 3.在在AB上截取上截取AP=AD. 點(diǎn)點(diǎn)P就是線段就是線段AB的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn). 生活中的黃金分割生活中的黃金分割 1.小明家的房間高小明家的房間高3M,他打算在四周墻中他打算在四周墻中 涂上涂料美化居室涂上涂料美化居室,從地面算起從地面算起,涂到多高涂到多高 時(shí)才使人感到舒適時(shí)才使人感到舒適? 2在人體下半身與身高的比例上，越接近在人體下半身與身高的比例上，越接近 0.618，越給人美感，遺憾的是，即使是身體，越給人美感，遺憾的是，即使是身體 修長的芭蕾舞演員

12、也達(dá)不到如此的完美。某修長的芭蕾舞演員也達(dá)不到如此的完美。某 女士身高女士身高1.68米，下半身米，下半身1.02米，她應(yīng)該選米，她應(yīng)該選 擇多高的高跟鞋看起來更美呢？擇多高的高跟鞋看起來更美呢？ 黃金分割的深遠(yuǎn)意義黃金分割的深遠(yuǎn)意義 歷史上，人們視黃金分割為歷史上，人們視黃金分割為“最美麗最美麗”的的 幾何比率，廣泛應(yīng)用于建筑和雕刻中，如幾何比率，廣泛應(yīng)用于建筑和雕刻中，如 古代希臘的帕特農(nóng)神廟、埃及金字塔、上古代希臘的帕特農(nóng)神廟、埃及金字塔、上 海東方明珠塔等，一些長方形的畫框，寬海東方明珠塔等，一些長方形的畫框，寬 與長之比也設(shè)計(jì)成與長之比也設(shè)計(jì)成0.618，在自然界中也有，在自然界中也

13、有 很多例子，美麗的蝴蝶身長與雙翅展開后很多例子，美麗的蝴蝶身長與雙翅展開后 的長度之比約為的長度之比約為0.618.許多美麗的形狀都與許多美麗的形狀都與 0.618這個(gè)比值有關(guān)。這個(gè)比值有關(guān)。 古希臘的一些神廟，在建筑時(shí)高和寬也是按古希臘的一些神廟，在建筑時(shí)高和寬也是按 黃金比黃金比0.618來建立，他們認(rèn)為這樣的長方形來建立，他們認(rèn)為這樣的長方形 看來是較美觀；其大理石柱廓，就是根據(jù)黃金看來是較美觀；其大理石柱廓，就是根據(jù)黃金 分割律分割整個(gè)神廟的分割律分割整個(gè)神廟的. 應(yīng)用新知應(yīng)用新知 體驗(yàn)成功體驗(yàn)成功 你能用所學(xué)你能用所學(xué) 的知識解釋的知識解釋 積累就是知識積累就是知識 請用請用所學(xué)知

14、識所學(xué)知識回答上面的問題回答上面的問題 AEBC AB BC BC BE ，）解：（1 AB AE AE BE 的黃金分割點(diǎn)是點(diǎn)ABE AB CD E F 618. 02 AB BC BC BE ）（ 的寬與長的比是黃金比矩形 ABCD 這時(shí)的矩形這時(shí)的矩形ABCD稱稱黃金矩形黃金矩形 1.1.作頂角為作頂角為3636的等腰的等腰ABC;ABC;量出量出 底底BCBC與腰與腰ABAB的長度的長度, ,計(jì)算計(jì)算: : ; ; 2.2.作作BB的平分線的平分線, ,交交ACAC于點(diǎn)于點(diǎn)D,D,量出量出CDCD的長度的長度, , 再計(jì)算再計(jì)算: : . (. (精確到精確到0.001)0.001)

15、DD C C A A B B E E BC AB CD BC 0.6180.618 0.6180.618 黃金三角形黃金三角形 點(diǎn)點(diǎn)D D是線段是線段ACAC的黃金分割點(diǎn)的黃金分割點(diǎn). . 拓展新知拓展新知 讀一讀讀一讀 神奇的神奇的0.6180.618 打開地圖，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)那些好茶產(chǎn)地大多位于北緯打開地圖，你就會(huì)發(fā)現(xiàn)那些好茶產(chǎn)地大多位于北緯 3030度左右。特別是紅茶中的極品度左右。特別是紅茶中的極品“祁紅祁紅”，產(chǎn)地在，產(chǎn)地在 安徽的祁門，也恰好在此緯度上。這不免讓人聯(lián)想安徽的祁門，也恰好在此緯度上。這不免讓人聯(lián)想 起許多與起許多與北緯北緯3030度度有關(guān)的地方。奇石異峰，名川秀有關(guān)的地方

16、。奇石異峰，名川秀 水的黃山，廬山，九寨溝等等。銜遠(yuǎn)山，吞長江的水的黃山，廬山，九寨溝等等。銜遠(yuǎn)山，吞長江的 中國三大淡水湖也恰好在中國三大淡水湖也恰好在這黃金分割的緯度這黃金分割的緯度上。上。 蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比蝴蝶身長與雙翅展開后的長度之比, , 普通樹葉普通樹葉 的寬與長之比也接近的寬與長之比也接近0.6180.618; ; 節(jié)目主持人報(bào)幕，絕對不會(huì)站在舞臺的中央，節(jié)目主持人報(bào)幕，絕對不會(huì)站在舞臺的中央，而而 總是站在舞臺的總是站在舞臺的1 13 3處，站在處，站在舞臺上側(cè)近于舞臺上側(cè)近于0.6180.618的的 位置才是最佳的位置位置才是最佳的位置; ; 生活中用的紙為黃金矩形，這樣的長方形讓人看生活中用的紙為黃金矩形，這樣的長方形讓人看 起來舒服順眼，起來舒服順眼，正規(guī)裁法得到的紙張正規(guī)裁法得到的紙張，不管其大小，不管其大小 ，如對于，如對于8 8開、開、1616開、開、3232開等，都仍然是近似