第3章氣體動(dòng)理論§3.1平衡態(tài)溫度狀態(tài)方程§3.2理想氣體壓[共67頁(yè)]

1、1 2 基本要求基本要求 v1、了解氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的圖像。理解理想氣體的壓強(qiáng)、了解氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的圖像。理解理想氣體的壓強(qiáng) 公式和溫度公式。通過(guò)推導(dǎo)氣體壓強(qiáng)公式，了解從提公式和溫度公式。通過(guò)推導(dǎo)氣體壓強(qiáng)公式，了解從提 出模型、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均、建立宏觀量與微觀量的聯(lián)系出模型、進(jìn)行統(tǒng)計(jì)平均、建立宏觀量與微觀量的聯(lián)系 到闡明宏觀量的微觀本質(zhì)的思想和方法。能從宏觀和到闡明宏觀量的微觀本質(zhì)的思想和方法。能從宏觀和 統(tǒng)計(jì)意義上理解壓強(qiáng)、溫度、內(nèi)能等概念。了解系統(tǒng)統(tǒng)計(jì)意義上理解壓強(qiáng)、溫度、內(nèi)能等概念。了解系統(tǒng) 的宏觀性質(zhì)是微觀運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)表現(xiàn)。的宏觀性質(zhì)是微觀運(yùn)動(dòng)的統(tǒng)計(jì)表現(xiàn)。 v2、了解麥克斯韋速率分布律及速率

2、分布函數(shù)和速率分、了解麥克斯韋速率分布律及速率分布函數(shù)和速率分 布曲線的物理意義。了解氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的三種速率。布曲線的物理意義。了解氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的三種速率。 v3、理解氣體分子能量按自由度均分原理，并會(huì)應(yīng)用該、理解氣體分子能量按自由度均分原理，并會(huì)應(yīng)用該 定理計(jì)算理想氣體的定壓熱容、定容熱容和內(nèi)能。定理計(jì)算理想氣體的定壓熱容、定容熱容和內(nèi)能。 3 重點(diǎn)內(nèi)容重點(diǎn)內(nèi)容 1 1、理想氣體的微觀模型，理想氣體狀態(tài)方程；理想氣、理想氣體的微觀模型，理想氣體狀態(tài)方程；理想氣 體的壓強(qiáng)公式；溫度的統(tǒng)計(jì)解釋；自由度。體的壓強(qiáng)公式；溫度的統(tǒng)計(jì)解釋；自由度。 2 2、理想氣體的內(nèi)能；麥克斯韋速率分布律。、理想

3、氣體的內(nèi)能；麥克斯韋速率分布律。 難點(diǎn)內(nèi)容難點(diǎn)內(nèi)容 理想氣體的壓強(qiáng)公式；理想氣體的內(nèi)能；麥克斯韋理想氣體的壓強(qiáng)公式；理想氣體的內(nèi)能；麥克斯韋 速率分布律。速率分布律。 4 一、熱力學(xué)系統(tǒng)一、熱力學(xué)系統(tǒng) 平衡態(tài)平衡態(tài) 1 1、（熱力學(xué)）系統(tǒng)、（熱力學(xué)）系統(tǒng) 熱力學(xué)系統(tǒng)分類熱力學(xué)系統(tǒng)分類 根據(jù)系統(tǒng)與外界交換能量或物質(zhì)的特點(diǎn)，可以分為三種：根據(jù)系統(tǒng)與外界交換能量或物質(zhì)的特點(diǎn)，可以分為三種： 孤立系統(tǒng)與外界既無(wú)能量交換，又無(wú)物質(zhì)交換的系統(tǒng)孤立系統(tǒng)與外界既無(wú)能量交換，又無(wú)物質(zhì)交換的系統(tǒng) 實(shí)際不存在，當(dāng)外界影響可忽略時(shí)，宏觀性質(zhì)只有很小變化實(shí)際不存在，當(dāng)外界影響可忽略時(shí)，宏觀性質(zhì)只有很小變化 (2) 封閉

4、系統(tǒng)與外界只有能量交換，但無(wú)物質(zhì)交換的系統(tǒng)封閉系統(tǒng)與外界只有能量交換，但無(wú)物質(zhì)交換的系統(tǒng) (3) 開放系統(tǒng)與外界既有能量交換，又有物質(zhì)交換的系統(tǒng)開放系統(tǒng)與外界既有能量交換，又有物質(zhì)交換的系統(tǒng) 由大量微觀粒子（分子、原子等微觀粒子）所組成的宏觀由大量微觀粒子（分子、原子等微觀粒子）所組成的宏觀 物體或系統(tǒng)。物體或系統(tǒng)。 、平衡態(tài)、平衡態(tài) 指在不受外界影響（或不變的）的條件下，系統(tǒng)的宏觀性指在不受外界影響（或不變的）的條件下，系統(tǒng)的宏觀性 質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài)質(zhì)不隨時(shí)間變化的狀態(tài) 稱熱平衡態(tài)。稱熱平衡態(tài)。 5 系統(tǒng)在熱平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)任一宏觀體元均處于力學(xué)平衡、系統(tǒng)在熱平衡時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)任一宏觀體元均處

5、于力學(xué)平衡、 熱平衡、相平衡中。熱平衡、相平衡中。 從微觀的角度應(yīng)理解為動(dòng)態(tài)平衡態(tài)（熱動(dòng)平衡態(tài)）從微觀的角度應(yīng)理解為動(dòng)態(tài)平衡態(tài)（熱動(dòng)平衡態(tài)） 若在我們所討論的問(wèn)題中，氣體活動(dòng)的高度空間不是很若在我們所討論的問(wèn)題中，氣體活動(dòng)的高度空間不是很 大，即大，即重力加速度重力加速度隨高度的隨高度的變化變化可以可以忽略忽略，則在達(dá)到熱力學(xué)平，則在達(dá)到熱力學(xué)平 衡態(tài)時(shí)，上述宏觀量不僅是衡態(tài)時(shí)，上述宏觀量不僅是穩(wěn)定的穩(wěn)定的（指不隨時(shí)間變化）（指不隨時(shí)間變化）還是還是均均 勻的勻的（即不隨位置變化）（即不隨位置變化）。 平衡態(tài)是一種理想概念平衡態(tài)是一種理想概念 處于熱平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的宏觀屬性具有確定的值。因此處

6、于熱平衡態(tài)時(shí)，系統(tǒng)的宏觀屬性具有確定的值。因此 可以用一些確定的物理量來(lái)表征系統(tǒng)的這些宏觀屬性。用來(lái)可以用一些確定的物理量來(lái)表征系統(tǒng)的這些宏觀屬性。用來(lái) 描寫熱平衡態(tài)下各種宏觀屬性的物理量叫描寫熱平衡態(tài)下各種宏觀屬性的物理量叫系統(tǒng)的宏觀參量。系統(tǒng)的宏觀參量。 6 我們可以從這些參量中，選取不多的相互獨(dú)我們可以從這些參量中，選取不多的相互獨(dú) 立的幾個(gè)物理量作為描述系統(tǒng)熱平衡態(tài)的參量，立的幾個(gè)物理量作為描述系統(tǒng)熱平衡態(tài)的參量， 叫叫系統(tǒng)的狀態(tài)參量。系統(tǒng)的狀態(tài)參量。 主要的參量有：幾何參量，力學(xué)參量，熱學(xué)主要的參量有：幾何參量，力學(xué)參量，熱學(xué) 參量，參量， 化學(xué)參量，電磁參量化學(xué)參量，電磁參量; 體

7、積體積V，壓強(qiáng)，壓強(qiáng)P，熱，熱 力學(xué)溫度力學(xué)溫度 T，摩爾數(shù)，摩爾數(shù)v。 二、溫度二、溫度 溫標(biāo)溫標(biāo) 、溫度概念、溫度概念 溫度是表征物體冷熱程度的宏觀狀態(tài)參量。溫度是表征物體冷熱程度的宏觀狀態(tài)參量。 溫度概念的建立是以熱平衡為基礎(chǔ)的。溫度概念的建立是以熱平衡為基礎(chǔ)的。 7 ABAB 絕熱壁絕熱壁 導(dǎo)熱壁導(dǎo)熱壁 AB C AB C 如果兩個(gè)系統(tǒng)分別與第三個(gè)系統(tǒng)達(dá)到熱平衡，那么，這如果兩個(gè)系統(tǒng)分別與第三個(gè)系統(tǒng)達(dá)到熱平衡，那么，這 兩個(gè)系統(tǒng)彼此也處于熱平衡。這個(gè)結(jié)論稱兩個(gè)系統(tǒng)彼此也處于熱平衡。這個(gè)結(jié)論稱熱力學(xué)第零定律熱力學(xué)第零定律。 8 處在相互熱平衡狀態(tài)的系統(tǒng)必定擁有某一個(gè)共同的物理性處在相互熱

8、平衡狀態(tài)的系統(tǒng)必定擁有某一個(gè)共同的物理性 質(zhì)質(zhì)(據(jù)有一個(gè)數(shù)字相等的狀態(tài)函數(shù)），我們把據(jù)有一個(gè)數(shù)字相等的狀態(tài)函數(shù)），我們把描述系統(tǒng)這一共描述系統(tǒng)這一共 同宏觀性質(zhì)的物理量（同宏觀性質(zhì)的物理量（數(shù)字相等的狀態(tài)函數(shù)）數(shù)字相等的狀態(tài)函數(shù)）稱為系統(tǒng)的溫稱為系統(tǒng)的溫 度度 。 、溫標(biāo)溫度計(jì)、溫標(biāo)溫度計(jì) 溫度計(jì)要能定量表示和測(cè)量溫度，還需要建立溫標(biāo)溫度計(jì)要能定量表示和測(cè)量溫度，還需要建立溫標(biāo) 其一、要選定一種合適物質(zhì)（稱測(cè)溫質(zhì)）的某一測(cè)溫特性；其一、要選定一種合適物質(zhì)（稱測(cè)溫質(zhì)）的某一測(cè)溫特性； 其二、規(guī)定測(cè)溫質(zhì)的測(cè)溫特性與溫度的依賴關(guān)系（線性）；其二、規(guī)定測(cè)溫質(zhì)的測(cè)溫特性與溫度的依賴關(guān)系（線性）； 其三、

9、選定溫度的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)（固定點(diǎn)），并把一定間隔的冷其三、選定溫度的標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)（固定點(diǎn)），并把一定間隔的冷 熱程度分為若干度。熱程度分為若干度。 溫標(biāo)的建立包括主要有三個(gè)要素：溫標(biāo)的建立包括主要有三個(gè)要素： 溫標(biāo)：是溫度的標(biāo)尺，為量度物體溫度高低而對(duì)溫度零點(diǎn)和溫標(biāo)：是溫度的標(biāo)尺，為量度物體溫度高低而對(duì)溫度零點(diǎn)和 分度方法所做的一種規(guī)定分度方法所做的一種規(guī)定即溫度的數(shù)值表示法即溫度的數(shù)值表示法。 。 9 、熱力學(xué)溫標(biāo)、熱力學(xué)溫標(biāo) 規(guī)定水的三相點(diǎn)（水，冰和水蒸汽平衡共存的狀態(tài)）為規(guī)定水的三相點(diǎn)（水，冰和水蒸汽平衡共存的狀態(tài)）為 273.16K。 一種與測(cè)溫質(zhì)和測(cè)溫特性無(wú)關(guān)的溫標(biāo)。開爾文（一種與測(cè)溫質(zhì)和測(cè)溫特性

10、無(wú)關(guān)的溫標(biāo)。開爾文（lord Kelvin）在熱力學(xué)第二定律的基礎(chǔ)上建立了這種溫標(biāo)，稱熱）在熱力學(xué)第二定律的基礎(chǔ)上建立了這種溫標(biāo)，稱熱 力學(xué)溫標(biāo)。力學(xué)溫標(biāo)。 攝氏溫標(biāo)：液體（酒精或汞）攝氏溫標(biāo)：液體（酒精或汞）液柱高度隨溫度液柱高度隨溫度 的變化的變化純水的冰點(diǎn)為純水的冰點(diǎn)為0；汽點(diǎn)為；汽點(diǎn)為100 由熱力學(xué)溫標(biāo)可導(dǎo)出攝氏溫度由熱力學(xué)溫標(biāo)可導(dǎo)出攝氏溫度 t+. 選用不同的測(cè)溫物質(zhì)或不同的測(cè)溫特性，測(cè)量同一系統(tǒng)所選用不同的測(cè)溫物質(zhì)或不同的測(cè)溫特性，測(cè)量同一系統(tǒng)所 得的溫度數(shù)值，一般情況下并不完全相同。得的溫度數(shù)值，一般情況下并不完全相同。 10 三、理想氣體及其狀態(tài)方程三、理想氣體及其狀態(tài)方程

11、1、理想氣體、理想氣體 2、理想氣體的狀態(tài)方程、理想氣體的狀態(tài)方程 熱平衡態(tài)下，系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)參量之間滿足一定的關(guān)系，這樣熱平衡態(tài)下，系統(tǒng)各個(gè)狀態(tài)參量之間滿足一定的關(guān)系，這樣 的關(guān)系叫系統(tǒng)的狀態(tài)方程的關(guān)系叫系統(tǒng)的狀態(tài)方程 。 。 彈彈性性碰碰撞撞分分子子與與器器壁壁間間碰碰撞撞視視為為分分子子間間, ,忽忽略略分分子子間間作作用用力力, ,: :從從微微觀觀定定義義 理理想想化化三三大大實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)定定律律所所得得結(jié)結(jié)論論P(yáng) P不不太太高高, ,不不太太大大, ,在在室室溫溫下下, ,: :從從宏宏觀觀定定義義 克拉珀龍方程克拉珀龍方程 RT M M PV mol 式中是氣體普適常量，在中式中是氣體

12、普適常量，在中 8.31 (Jmol-1K-1), Mmol是氣體的摩爾質(zhì)量。是氣體的摩爾質(zhì)量。 過(guò)程方程過(guò)程方程 2 22 1 11 T VP T VP 11 、狀態(tài)圖（圖、圖、圖）、狀態(tài)圖（圖、圖、圖） 氣體的平衡態(tài)除了可用一組狀態(tài)參量來(lái)描述，還可用狀態(tài)氣體的平衡態(tài)除了可用一組狀態(tài)參量來(lái)描述，還可用狀態(tài) 圖來(lái)表示，而一組狀態(tài)參量在狀態(tài)圖中對(duì)應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)。不同圖來(lái)表示，而一組狀態(tài)參量在狀態(tài)圖中對(duì)應(yīng)的是一個(gè)點(diǎn)。不同 的狀態(tài)在狀態(tài)圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)不同的狀態(tài)在狀態(tài)圖中對(duì)應(yīng)點(diǎn)不同。 在狀態(tài)圖中，一條光滑的曲在狀態(tài)圖中，一條光滑的曲 線代表一個(gè)由無(wú)窮多個(gè)平衡態(tài)線代表一個(gè)由無(wú)窮多個(gè)平衡態(tài) 所組成的變化過(guò)程，如

13、右圖所所組成的變化過(guò)程，如右圖所 示。示。 111 TVPA, 222 TVPB, 曲線上的箭頭表示過(guò)程進(jìn)曲線上的箭頭表示過(guò)程進(jìn) 行的方向。行的方向。 由于非平衡態(tài)不能用一組確切的狀態(tài)參量來(lái)描述，因此在由于非平衡態(tài)不能用一組確切的狀態(tài)參量來(lái)描述，因此在 狀態(tài)圖中，非平衡態(tài)過(guò)程也就無(wú)法找到相應(yīng)的過(guò)程曲線與之狀態(tài)圖中，非平衡態(tài)過(guò)程也就無(wú)法找到相應(yīng)的過(guò)程曲線與之 對(duì)應(yīng)。對(duì)應(yīng)。 12 一、理想氣體分子的微觀模型一、理想氣體分子的微觀模型 3、分子間，分子與器壁間的碰撞是完全彈性的，遵守、分子間，分子與器壁間的碰撞是完全彈性的，遵守 動(dòng)量和能量守恒定律。動(dòng)量和能量守恒定律。 即：即： 理想氣體分子可看作

14、彼此間無(wú)相互作用的遵守理想氣體分子可看作彼此間無(wú)相互作用的遵守 經(jīng)典力學(xué)規(guī)律的彈性質(zhì)點(diǎn)。經(jīng)典力學(xué)規(guī)律的彈性質(zhì)點(diǎn)。 1、分子可以看作質(zhì)點(diǎn)（、分子可以看作質(zhì)點(diǎn)（分子本身的線度與分子間平均距離 相比可忽略） 。 2、除碰撞外，分子之間，分子與器壁不計(jì)相互作用力。、除碰撞外，分子之間，分子與器壁不計(jì)相互作用力。 則分子作勻速直線運(yùn)動(dòng)則分子作勻速直線運(yùn)動(dòng) 13 二、氣體分子的統(tǒng)計(jì)假設(shè)二、氣體分子的統(tǒng)計(jì)假設(shè) 每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)具有偶然性，然而正是由于每個(gè)分子的偶每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)具有偶然性，然而正是由于每個(gè)分子的偶 然性，才使得大量分子運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了規(guī)律性。這種規(guī)律性具然性，才使得大量分子運(yùn)動(dòng)出現(xiàn)了規(guī)律性。這種規(guī)律性具

15、有統(tǒng)計(jì)平均意義，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。有統(tǒng)計(jì)平均意義，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 在平衡態(tài)，當(dāng)重力的影響可以忽略時(shí)，容積內(nèi)各處的壓在平衡態(tài)，當(dāng)重力的影響可以忽略時(shí)，容積內(nèi)各處的壓 強(qiáng)、密度、溫度都相同，而分子始終在作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)，強(qiáng)、密度、溫度都相同，而分子始終在作無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)， 故我們可以認(rèn)為：故我們可以認(rèn)為： 6 1 (1) 每個(gè)分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等每個(gè)分子向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的機(jī)會(huì)均等（ ）； 6 N (2) 對(duì)于大量分子，向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)平均相等對(duì)于大量分子，向各個(gè)方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)平均相等( )( )； 14 以上就是用統(tǒng)計(jì)平均的觀點(diǎn)所得出的氣體分子的性質(zhì)。以上就是用統(tǒng)計(jì)平均的觀點(diǎn)所得出的

16、氣體分子的性質(zhì)。 (4) (4) 每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速度不盡相同，由于分子不停地發(fā)生碰每個(gè)分子運(yùn)動(dòng)速度不盡相同，由于分子不停地發(fā)生碰 撞而發(fā)生變化，因而分子具有各種可能的速度。對(duì)于全同撞而發(fā)生變化，因而分子具有各種可能的速度。對(duì)于全同 分子，不會(huì)因碰撞而丟失具有某一速度的分子。分子，不會(huì)因碰撞而丟失具有某一速度的分子。 2222 3 1 vvvv zyx 例如例如： 2222 zyx vvvv (3)(3) 分子速度在各個(gè)方向上的分量的各種平均值相等；分子速度在各個(gè)方向上的分量的各種平均值相等； 15 三、壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)解釋三、壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)解釋 設(shè)器壁光滑，考慮速度為設(shè)器壁光滑，考慮速度為 v vi i的

17、分子的分子 , ,現(xiàn)討論其對(duì)于現(xiàn)討論其對(duì)于 面的碰撞。面的碰撞。 i v x v y v z v x y z 1 l 2 l 3 l 1 A2 A 0 設(shè)一容器，邊長(zhǎng)為設(shè)一容器，邊長(zhǎng)為 1、 2、 3，內(nèi)有個(gè)分子。，內(nèi)有個(gè)分子。 ixixixix mvmvmvP2)( 對(duì)于對(duì)于i i分子分子： 、先考察一個(gè)分子（例如、先考察一個(gè)分子（例如i分子）一次碰撞中給予器壁分子）一次碰撞中給予器壁A1的的 沖量沖量 ix mv2由牛頓第三定律，由牛頓第三定律，i分子給予器壁的沖量為分子給予器壁的沖量為 氣體對(duì)器壁壓強(qiáng)的微觀解釋氣體對(duì)器壁壓強(qiáng)的微觀解釋：是大量：是大量 分子對(duì)容器不斷碰撞的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果分子

18、對(duì)容器不斷碰撞的統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果 推導(dǎo)壓強(qiáng)公式的基本思路推導(dǎo)壓強(qiáng)公式的基本思路 16 、i分子在單位時(shí)間內(nèi)施于分子在單位時(shí)間內(nèi)施于A1面的平均沖力面的平均沖力 i i分子單位時(shí)間內(nèi)與分子單位時(shí)間內(nèi)與A A1 1面碰撞的次數(shù)為面碰撞的次數(shù)為 1 2l v ix 則則 i分子單位時(shí)間內(nèi)施于分子單位時(shí)間內(nèi)施于A1面的總沖量（沖力）為面的總沖量（沖力）為 1 2 2 l v mv ix ix 力） 秒 次 秒其量綱關(guān)系為（力 、所有分子在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)器壁的沖力、所有分子在單位時(shí)間內(nèi)對(duì)器壁的沖力對(duì)對(duì)i求和求和 2 1 1 1ix N i A v l m F 22 2 2 1 1 2 Nxxx N i ix

19、vvvv N vvv v Nxxx x 22 2 2 1 2 故若令故若令 表示分子在表示分子在X方向速率平方向速率平 方的平均值，方的平均值， 2 1 1 ix mv l N i ix v l m 1 2 1 17 2 1 2 x N i ix vNv 那么那么 于是所有分子在單位時(shí)間內(nèi)施于于是所有分子在單位時(shí)間內(nèi)施于A1面的沖力為面的沖力為 2 1 x vN l m N i ixix N i A v l m v l m F 1 2 1 2 1 1 1 、求壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)平均值、求壓強(qiáng)的統(tǒng)計(jì)平均值 321 lll N n 令令 為分子數(shù)密度（即單位體積內(nèi)的分子數(shù)）為分子數(shù)密度（即單位體積內(nèi)的分子

20、數(shù)） 又由統(tǒng)計(jì)平均的觀點(diǎn)有又由統(tǒng)計(jì)平均的觀點(diǎn)有 22 3 1 vv x 所以所以 2 3 1 vnmP 32 1 ll F P A 由壓強(qiáng)的定義由壓強(qiáng)的定義 2 321 x vm ll l N ) 2 1 ( 3 2 2 vmn 18 引入引入分子平均平動(dòng)動(dòng)能分子平均平動(dòng)動(dòng)能 2 2 1 vmw 壓強(qiáng)的微觀解釋壓強(qiáng)的微觀解釋: 氣體壓強(qiáng)是指：容器壁的單位面積上受到的大量分子碰撞氣體壓強(qiáng)是指：容器壁的單位面積上受到的大量分子碰撞 沖力的時(shí)間平均值。沖力的時(shí)間平均值。 因此，對(duì)少量分子或個(gè)別分子上述公式不成立因此，對(duì)少量分子或個(gè)別分子上述公式不成立。 氣體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)的區(qū)別：氣體壓強(qiáng)與大氣壓強(qiáng)的

21、區(qū)別： 前者如上所述，后者則是空氣重量所致。前者如上所述，后者則是空氣重量所致。 wnP 3 2 (1) 壓強(qiáng)是對(duì)大量分子的分子數(shù)密度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能的壓強(qiáng)是對(duì)大量分子的分子數(shù)密度和分子平均平動(dòng)動(dòng)能的 統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。統(tǒng)計(jì)平均結(jié)果。-這就是宏觀量這就是宏觀量P P與微觀量與微觀量 之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。 w 19 三、理想氣體溫度的統(tǒng)計(jì)解釋三、理想氣體溫度的統(tǒng)計(jì)解釋 RT M M PV mol RT MV M P mol NmM mNM omol （N No o為阿伏加德羅常數(shù)）為阿伏加德羅常數(shù)） RT mNV Nm P 0 1 理想氣體方程理想氣體方程nkTP o N R k 玻爾茲曼恒量

22、玻爾茲曼恒量 123 23 1038. 1 10022. 6 31. 8 KJk在在中中 T N R V N o nkT 從宏觀上講溫度表征了物體冷熱狀態(tài)的程度從宏觀上講溫度表征了物體冷熱狀態(tài)的程度 （溫度的微觀本質(zhì)）（溫度的微觀本質(zhì)） 20 wnnkTP 3 2 則有則有：KTw 2 3 KTvm 2 3 2 1 2 或或 w 、溫度是描述熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)的一個(gè)物理量。、溫度是描述熱力學(xué)系統(tǒng)平衡態(tài)的一個(gè)物理量。 、宏觀量溫度、宏觀量溫度T是一是一 統(tǒng)計(jì)概念統(tǒng)計(jì)概念， 上式給出的是上式給出的是“動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)”的含義，非平衡態(tài)系統(tǒng)不能用溫的含義，非平衡態(tài)系統(tǒng)不能用溫 度度 來(lái)描述。來(lái)描述。 是是大量

23、分子大量分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)的集體表現(xiàn)，是分子平均平動(dòng)分子平均平動(dòng) 動(dòng)能的量度。動(dòng)能的量度。 此即宏觀量此即宏觀量T T與微觀量與微觀量 的關(guān)系，這說(shuō)明的關(guān)系，這說(shuō)明 21 4、溫度所描述的運(yùn)動(dòng)是分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)（熱運(yùn)動(dòng)，是相對(duì)質(zhì)溫度所描述的運(yùn)動(dòng)是分子無(wú)規(guī)則運(yùn)動(dòng)（熱運(yùn)動(dòng)，是相對(duì)質(zhì) 心參照系，平動(dòng)動(dòng)能是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能）心參照系，平動(dòng)動(dòng)能是系統(tǒng)的內(nèi)動(dòng)能）， 、 上式結(jié)果與分子的種類無(wú)關(guān)，即只要溫度相同，則分子上式結(jié)果與分子的種類無(wú)關(guān)，即只要溫度相同，則分子 的平均平動(dòng)動(dòng)能就相同。的平均平動(dòng)動(dòng)能就相同。 nKTP 6、阿伏加德羅定律的一種表述阿伏加德羅定律的一種表述， 即在相同的壓

24、強(qiáng)，相同的溫度下，各種氣體的分子數(shù)密即在相同的壓強(qiáng)，相同的溫度下，各種氣體的分子數(shù)密 度相同度相同這是一個(gè)很有用的公式這是一個(gè)很有用的公式 溫度和系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。溫度和系統(tǒng)的整體運(yùn)動(dòng)無(wú)關(guān)。 例如銅塊中的自由電子在時(shí)平均平動(dòng)動(dòng)能為例如銅塊中的自由電子在時(shí)平均平動(dòng)動(dòng)能為4.23eV。 3、零點(diǎn)能的問(wèn)題、零點(diǎn)能的問(wèn)題 （粒子無(wú)平動(dòng)能量，卻有振動(dòng)的能量）（粒子無(wú)平動(dòng)能量，卻有振動(dòng)的能量） 22 四、氣體分子的方均根速率四、氣體分子的方均根速率 kTvm 2 3 2 1 2 m KT v 3 2 稱之為氣體分子的方均根速率。稱之為氣體分子的方均根速率。 mol M RT3 23 例例3-1 求求 時(shí)

25、氫分子和氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和方均根 時(shí)氫分子和氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能和方均根 速率速率 解：已知解：已知 molkgM H 3 102 2 molkgM O 3 1032 2 氫分子和氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等，均為氫分子和氧分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等，均為 eVJ kT 221 23 1053310655 27310381 2 3 2 3 . . 氫分子的方均根速率氫分子的方均根速率 3 3 2 1084. 1 102 27331. 833 2 2 H H M RT v 24 氧分子的方均根速率氧分子的方均根速率 2 3 0 2 1061. 4 1032 27331. 833 2 2 M RT v

26、o 25 例例32在一密閉容器中，儲(chǔ)有在一密閉容器中，儲(chǔ)有A A、B B、C C三種理想氣體，處于三種理想氣體，處于 平衡狀態(tài)。平衡狀態(tài)。A A種氣體的分子數(shù)密度為種氣體的分子數(shù)密度為n n1 1，它產(chǎn)生的壓強(qiáng)為，它產(chǎn)生的壓強(qiáng)為P P1 1，B B 種氣體的分子數(shù)密度為種氣體的分子數(shù)密度為2n2n1 1，C C種氣體的分子數(shù)密度為種氣體的分子數(shù)密度為3n3n1 1，則，則 混合氣體的壓強(qiáng)混合氣體的壓強(qiáng)P P為為 (A)3P(A)3P1 1 (B)4P (B)4P1 1 (C)5P (C)5P1 1 (D)6P (D)6P1 1 答答 DD RTPV 0 / NN RT N N PV 0 RT

27、N n RT VN N P 00 RT N n P 0 1 1 1 0 1 2 2 2 PRT N n P 13 3PP 1321 6PPPPP 26 例例33在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式中，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)意義的兩條在推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式中，體現(xiàn)統(tǒng)計(jì)意義的兩條 假設(shè)是假設(shè)是 (1) . (2) . 沿空間各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目相等沿空間各方向運(yùn)動(dòng)的分子數(shù)目相等 222 zyx vvv 27 例例34推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式可分四步：推導(dǎo)理想氣體壓強(qiáng)公式可分四步： (1) 求任一分子求任一分子i一次碰撞器壁施于器壁的沖量一次碰撞器壁施于器壁的沖量2mvix； (2)求分子求分子i在單位時(shí)間內(nèi)施于器壁的沖量的總和（

28、在單位時(shí)間內(nèi)施于器壁的沖量的總和（m/l1）(vix)2 (3)求所有求所有N個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)施于器壁的總沖量個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)施于器壁的總沖量 N（m/l1） (vix)2； (4)求所有分子在單位時(shí)間內(nèi)施于單位面積器壁的總沖量求所有分子在單位時(shí)間內(nèi)施于單位面積器壁的總沖量壓強(qiáng)。壓強(qiáng)。 wnVlllmP ix N i 3 2 )/( 2 1 321 在上述四步過(guò)程中，哪幾步用到了理想氣體的假設(shè)？哪幾步用在上述四步過(guò)程中，哪幾步用到了理想氣體的假設(shè)？哪幾步用 到了平衡態(tài)的條件？哪幾步用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念？到了平衡態(tài)的條件？哪幾步用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念？(l1、l2、l3 分別為長(zhǎng)方形容器的三個(gè)

29、邊長(zhǎng)分別為長(zhǎng)方形容器的三個(gè)邊長(zhǎng)) 答答：(1),(2),(3) 用到了理想氣體的假設(shè)用到了理想氣體的假設(shè), (2),(4) 用到了平衡態(tài)的條件，用到了平衡態(tài)的條件， (4) 用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念。用到了統(tǒng)計(jì)平均的概念。 28 一、自由度一、自由度 、什么叫自由度：、什么叫自由度： 決定一個(gè)物體在空間位置所需的最少的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。決定一個(gè)物體在空間位置所需的最少的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。 x y z0 zyxP, 例如，例如， 一個(gè)自由質(zhì)一個(gè)自由質(zhì) 點(diǎn)的自由度是點(diǎn)的自由度是3 3個(gè)平動(dòng)自由度個(gè)平動(dòng)自由度 確定分子的各種能量時(shí)，兩個(gè)以上原子組成的分子確定分子的各種能量時(shí)，兩個(gè)以上原子組成的分子 不僅有平動(dòng)，而且

30、還有轉(zhuǎn)動(dòng)和分子內(nèi)原子間的振動(dòng)，其不僅有平動(dòng)，而且還有轉(zhuǎn)動(dòng)和分子內(nèi)原子間的振動(dòng)，其 能量不能忽略。能量不能忽略。 29 X Y Z A B C 一個(gè)自由剛體的自由度是一個(gè)自由剛體的自由度是6 3 3個(gè)平動(dòng)自由度，個(gè)平動(dòng)自由度， 以確定質(zhì)心的位置；以確定質(zhì)心的位置； 3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度， 以確定軸和繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的以確定軸和繞軸轉(zhuǎn)動(dòng)的 角度。角度。 注意：當(dāng)物體運(yùn)動(dòng)注意：當(dāng)物體運(yùn)動(dòng) 受到一定限制或約束受到一定限制或約束 時(shí)，自由度減少。時(shí)，自由度減少。 結(jié)論：一個(gè)自由度對(duì)應(yīng)著一個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)，結(jié)論：一個(gè)自由度對(duì)應(yīng)著一個(gè)獨(dú)立的坐標(biāo)， 表明一種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)。表明一種獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)。 30 X Y Z X

31、Y Z C c 理想氣體的剛性分子理想氣體的剛性分子 A：?jiǎn)卧臃肿樱簡(jiǎn)卧臃肿?3個(gè)自由度個(gè)自由度 （視作質(zhì)點(diǎn)）（視作質(zhì)點(diǎn)） B：雙原子分子：雙原子分子 決定質(zhì)心決定質(zhì)心-3個(gè)自由度個(gè)自由度 確定轉(zhuǎn)軸方位確定轉(zhuǎn)軸方位-2個(gè)自由度個(gè)自由度 ),(中的兩個(gè) C：三原子以上的分子：三原子以上的分子 6 6個(gè)自由度個(gè)自由度-視為剛體視為剛體 實(shí)際氣體實(shí)際氣體-不能看成剛性分子，因原子之間還有振動(dòng)。不能看成剛性分子，因原子之間還有振動(dòng)。 5i 、氣體分子的自由度、氣體分子的自由度與氣體分子的結(jié)構(gòu)有關(guān)與氣體分子的結(jié)構(gòu)有關(guān) 6i 剛性分子自由度：剛性分子自由度：i=t+r 31 二、能量按自由度均分原理二

32、、能量按自由度均分原理 kTvm 2 3 2 1 2 2222 3 1 vvvv zyx 而 ) 2 1 ( 3 1 2 1 2 1 2 1 2222 vmvmvmvm zyx 1 1、分子的平均平動(dòng)能平均地分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上，且、分子的平均平動(dòng)能平均地分配在每一個(gè)平動(dòng)自由度上，且 每一個(gè)平動(dòng)自由度上的平均平動(dòng)能的大小都是每一個(gè)平動(dòng)自由度上的平均平動(dòng)能的大小都是(1/2)kT(1/2)kT。 之所以會(huì)出現(xiàn)上述結(jié)果，是因?yàn)榉肿訜o(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，相互碰之所以會(huì)出現(xiàn)上述結(jié)果，是因?yàn)榉肿訜o(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)，相互碰 撞后達(dá)熱平衡的結(jié)果。撞后達(dá)熱平衡的結(jié)果。 ) 2 3 ( 3 1 kT kT 2 1 32

33、2、能均分原理、能均分原理 上述結(jié)果可推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)自由度（這是因?yàn)樗麄冎g上述結(jié)果可推廣到轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)自由度（這是因?yàn)樗麄冎g 都能通過(guò)碰撞而交換能量）。即得：都能通過(guò)碰撞而交換能量）。即得： 在平衡態(tài)下，分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)碰撞的結(jié)果，使得沒(méi)有那在平衡態(tài)下，分子無(wú)規(guī)則熱運(yùn)動(dòng)碰撞的結(jié)果，使得沒(méi)有那 一個(gè)自由度上的能量比其它自由度上的能量更占優(yōu)勢(shì)。一個(gè)自由度上的能量比其它自由度上的能量更占優(yōu)勢(shì)。 在平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能相在平衡態(tài)下，氣體分子的每一個(gè)自由度的平均動(dòng)能相 等，每一個(gè)自由度的能量均為等，每一個(gè)自由度的能量均為 。 kT 2 1 這就是能均分原理這就是能均分原理 3、

34、氣體分子的平均總動(dòng)能，氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)能量、氣體分子的平均總動(dòng)能，氣體分子的熱運(yùn)動(dòng)能量 （1 1）一個(gè)自由度為）一個(gè)自由度為i i的剛性分子所具有的平均總動(dòng)能為的剛性分子所具有的平均總動(dòng)能為 kT i k 2 33 單原子分子單原子分子 kT k 2 3 全為平均平動(dòng)能全為平均平動(dòng)能 雙原子分子雙原子分子 kT k 2 5 kT 2 3 平均平動(dòng)能為平均平動(dòng)能為 平均平動(dòng)能為平均平動(dòng)能為 多原子分子多原子分子 kT k 2 6 平均轉(zhuǎn)動(dòng)能為平均轉(zhuǎn)動(dòng)能為 kT 2 3 kT 2 3 。 。 動(dòng)動(dòng)動(dòng)動(dòng)能能和和振振動(dòng)動(dòng)勢(shì)勢(shì)能能包包括括振振動(dòng)動(dòng)自自由由度度上上的的振振 還還應(yīng)應(yīng)其其熱熱運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能能量量

35、因因其其還還有有振振動(dòng)動(dòng)自自由由度度, ,對(duì)對(duì)于于非非剛剛性性分分子子, , 就就是是分分子子的的熱熱運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)能能量量分分子子的的平平均均總總動(dòng)動(dòng)能能, ,對(duì)對(duì)于于剛剛性性分分子子, , )2( 34 三、理想氣體分子的內(nèi)能三、理想氣體分子的內(nèi)能 、什么是內(nèi)能：、什么是內(nèi)能： 內(nèi)能是指系統(tǒng)內(nèi)所有分子的熱運(yùn)動(dòng)能量和分子間相互作用內(nèi)能是指系統(tǒng)內(nèi)所有分子的熱運(yùn)動(dòng)能量和分子間相互作用 勢(shì)能之總和。勢(shì)能之總和。 、內(nèi)能是態(tài)函數(shù)、內(nèi)能是態(tài)函數(shù) 、理想氣體內(nèi)能、理想氣體內(nèi)能 （）（） 由于理想氣體不計(jì)分子間相互作用力，因此由于理想氣體不計(jì)分子間相互作用力，因此理想氣體理想氣體 的內(nèi)能僅為熱運(yùn)動(dòng)能量之總和。的

36、內(nèi)能僅為熱運(yùn)動(dòng)能量之總和。 是熱力學(xué)狀態(tài)參量是熱力學(xué)狀態(tài)參量P P、V V、T T的函數(shù)，即的函數(shù)，即= =（P P、V V、T T），）， 是相對(duì)量。是相對(duì)量。因?yàn)闋顟B(tài)參量是相對(duì)量。因?yàn)闋顟B(tài)參量是相對(duì)量。 35 （ ） 設(shè)設(shè) 熱熱 力力 學(xué)學(xué) 體體 系系 內(nèi)內(nèi) 有有 N 個(gè)個(gè) 剛剛 性性 分分 子子 ， 則則 N 個(gè)個(gè) 分分 子子 的的 平平 均均 總總 動(dòng)動(dòng) 能能 的的 總總 和和 即即 內(nèi)內(nèi) 能能 為為 由于我們只討論剛性分子，所以由于我們只討論剛性分子，所以理想氣體剛性分子的內(nèi)能理想氣體剛性分子的內(nèi)能 只是：所有分子的平均總動(dòng)能之總和。只是：所有分子的平均總動(dòng)能之總和。 RT i M

37、M E mol 2 kTN i mN Nm o o 2 RT i M M mol 2 kT i NE 2 36 (I)這說(shuō)明理想氣體的內(nèi)能僅為溫度的單值函數(shù)，因此當(dāng)理這說(shuō)明理想氣體的內(nèi)能僅為溫度的單值函數(shù)，因此當(dāng)理 想氣體的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，其內(nèi)能的增量?jī)H與始末狀態(tài)的想氣體的狀態(tài)發(fā)生變化時(shí)，其內(nèi)能的增量?jī)H與始末狀態(tài)的 溫度有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)，即溫度有關(guān)，而與過(guò)程無(wú)關(guān)，即 TR i TR i M M E mol 22 (II)單原子氣體單原子氣體 雙原子氣體雙原子氣體 多原子氣體子多原子氣體子 RTE 2 3 RTE 2 5 RTE 2 6 37 * 幾個(gè)概念的說(shuō)明：幾個(gè)概念的說(shuō)明： 1、概率、概

38、率 （1）離散型隨機(jī)變量的概率（如擲骰子）離散型隨機(jī)變量的概率（如擲骰子）等可能事件的概率等可能事件的概率 N N所所有有可可能能的的試試驗(yàn)驗(yàn)結(jié)結(jié)果果數(shù)數(shù) m m有有利利于于A A的的結(jié)結(jié)果果數(shù)數(shù) AP 事件事件A A出現(xiàn)的概率出現(xiàn)的概率 （2）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率（如麥克斯韋速率分布）連續(xù)型隨機(jī)變量的概率（如麥克斯韋速率分布） 隨機(jī)變量在隨機(jī)變量在X+dX間隔內(nèi)的概率間隔內(nèi)的概率 dXXXdP （X）稱之為隨機(jī)變量稱之為隨機(jī)變量X的概率密度。的概率密度。 概率具有以下性質(zhì)概率具有以下性質(zhì) （1）概率的取值域?yàn)椋└怕实娜≈涤驗(yàn)?P（A）1； （2）各種可能發(fā)生事件的概率總和等于）各種可能發(fā)生事

39、件的概率總和等于1，即，即 38 考慮事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)，個(gè)別事件的考慮事件的統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)，個(gè)別事件的 偶然性和其自身所遵從的規(guī)律退居次要地偶然性和其自身所遵從的規(guī)律退居次要地 位，而且一般說(shuō)來(lái)，不可能從個(gè)別事件所位，而且一般說(shuō)來(lái)，不可能從個(gè)別事件所 遵從的規(guī)律導(dǎo)出其所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。遵從的規(guī)律導(dǎo)出其所遵從的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。 對(duì)于隨機(jī)變量，則為對(duì)于隨機(jī)變量，則為 1 dXX 1 所有可能的試驗(yàn)結(jié)果 的結(jié)果數(shù) i 于A i 有利 i i AP 此式稱為概率歸一化條件。此式稱為概率歸一化條件。 2、統(tǒng)計(jì)分布律、統(tǒng)計(jì)分布律 一種對(duì)于大量偶然事件的整體起作用的規(guī)律。一種對(duì)于大量偶然事件的整體起作用的規(guī)律。 3、

40、概率和統(tǒng)計(jì)值都遵從漲落規(guī)律、概率和統(tǒng)計(jì)值都遵從漲落規(guī)律 39 一、氣體分子的速率分布一、氣體分子的速率分布 分布函數(shù)分布函數(shù) 如果我們將氣體分子在平衡態(tài)下，所有可能的運(yùn)動(dòng)如果我們將氣體分子在平衡態(tài)下，所有可能的運(yùn)動(dòng) 速率速率(在經(jīng)典物理中為在經(jīng)典物理中為0 )，按照從小到大的排列，分，按照從小到大的排列，分 成一系列相等的速率區(qū)間，例如從：成一系列相等的速率區(qū)間，例如從： 0100m/s，100200m/s，200300m/s， （i）如果跟蹤考察某些個(gè)別分子，在某一瞬間，到底在）如果跟蹤考察某些個(gè)別分子，在某一瞬間，到底在 哪個(gè)速率區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，那么，我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)動(dòng)完全是哪個(gè)速率區(qū)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)，

41、那么，我們發(fā)現(xiàn)這種運(yùn)動(dòng)完全是 偶然的，無(wú)規(guī)則的偶然的，無(wú)規(guī)則的(即隨機(jī)的），毫無(wú)意義的。即隨機(jī)的），毫無(wú)意義的。 對(duì)某一分子，其任一時(shí)刻的速度具有偶然性，但對(duì)對(duì)某一分子，其任一時(shí)刻的速度具有偶然性，但對(duì) 于大量分子，其速率的分布從整體上會(huì)出現(xiàn)一些統(tǒng)計(jì)規(guī)于大量分子，其速率的分布從整體上會(huì)出現(xiàn)一些統(tǒng)計(jì)規(guī) 律。律。 40 （ii）如果我們考察的對(duì)象，不是個(gè)別的具體的分子，而是）如果我們考察的對(duì)象，不是個(gè)別的具體的分子，而是 大量分子的整體，例如我們考察：在某一平衡態(tài)下，分布在大量分子的整體，例如我們考察：在某一平衡態(tài)下，分布在 各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)各個(gè)速率區(qū)間內(nèi)的分子數(shù) ，占總分子數(shù)占總分子數(shù)N的

42、百分比的百分比這這 時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它是存在確切的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，按照這個(gè)思路考時(shí)就會(huì)發(fā)現(xiàn)，它是存在確切的統(tǒng)計(jì)規(guī)律的，按照這個(gè)思路考 慮下去，就可得到麥?zhǔn)纤俾史植悸?。慮下去，就可得到麥?zhǔn)纤俾史植悸伞?、麥克斯韋、麥克斯韋(1859年）速率分布函數(shù)年）速率分布函數(shù) 將氣體分子的所有可能的速率，按照從小到大分隔成一將氣體分子的所有可能的速率，按照從小到大分隔成一 系列相等的速率間隔，即系列相等的速率間隔，即v1v1+ v, v2v2+ v,然后考察然后考察 分布在速率間隔分布在速率間隔v+ v內(nèi)的分子數(shù)內(nèi)的分子數(shù) N占總分子數(shù)的百分比占總分子數(shù)的百分比 N/N, 為了進(jìn)一步消除速率間隔為了進(jìn)一步消除速率間

43、隔 v的影響，將比值的影響，將比值 N/N除除 以以 v,即得即得 N/N v 取極限，并令極限值為以取極限，并令極限值為以f(v)表示，表示， 其是速率其是速率v的確定函數(shù)。即的確定函數(shù)。即 41 dv dN NvN N vf v 1 0 lim)( 這就是麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)。這就是麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)。 ）速率分布函數(shù)的物理意義）速率分布函數(shù)的物理意義 一定質(zhì)量的氣體，在給定溫度下，在平衡態(tài)時(shí)，一定質(zhì)量的氣體，在給定溫度下，在平衡態(tài)時(shí)， 。單單位位速速率率間間隔隔內(nèi)內(nèi)的的概概率率 率率v v附附近近其其分分子子的的速速率率分分布布在在速速一一個(gè)個(gè)分分子子, , 總總分分子子數(shù)數(shù)的的百百分分比比

44、速速率率間間隔隔內(nèi)內(nèi)分分子子數(shù)數(shù)占占分分布布在在速速率率v v附附近近單單位位 或或 ； 42 ）分布函數(shù)的歸一化條件）分布函數(shù)的歸一化條件 dvvNfN v v )( 2 1 則則 表示分布在表示分布在v1-v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)。 ）麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)式：）麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)式： 2 2 23 2 2 4ve kT m vf kT mv / )()( dvvNfdN)(：可可得得由由 dv dN N vf 1 )( 式中式中m是分子的質(zhì)量，是玻爾茲曼恒量。是分子的質(zhì)量，是玻爾茲曼恒量。 43 2 1 )( v v dvvf N N 10分布在分布在v1-v2區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)

45、的百分比區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比 （或一個(gè)分子的速率處于（或一個(gè)分子的速率處于v 1v2區(qū)間內(nèi)的概率）區(qū)間內(nèi)的概率） 1)( 00 N dN dvvf N 分布在 分布在0 速率區(qū)間內(nèi)所有的分子，其與總分子數(shù)的比速率區(qū)間內(nèi)所有的分子，其與總分子數(shù)的比 值是值是1，即，即 1)( 0 dvvf 這就是分布函數(shù)的歸一化條件的數(shù)學(xué)表示。這就是分布函數(shù)的歸一化條件的數(shù)學(xué)表示。 (一個(gè)分子的速率分布在一個(gè)分子的速率分布在0 的所有可能區(qū)間的概率當(dāng)然是的所有可能區(qū)間的概率當(dāng)然是1) 44 二、麥?zhǔn)纤俾史植记€二、麥?zhǔn)纤俾史植记€ 若以若以v為橫軸，為橫軸，f（v）的值為縱軸，以分布函數(shù)作曲線，這）

46、的值為縱軸，以分布函數(shù)作曲線，這 就是麥?zhǔn)纤俾史植记€。就是麥?zhǔn)纤俾史植记€。 1、 圖中小方塊面積的物理意義圖中小方塊面積的物理意義 小方塊的面積為小方塊的面積為 vvf)( 表示分子速率分布在表示分子速率分布在v附近，附近，vv+v區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總 分子數(shù)分子數(shù)N的百分比，的百分比， )( vN N vf v f(v) vp N N 45 2、曲線下總面積、曲線下總面積 由小方塊面積可知，曲線下總面積為由小方塊面積可知，曲線下總面積為 0 )(dvvf 由歸一化條件可知，曲線下總面積之總和為由歸一化條件可知，曲線下總面積之總和為1，是一個(gè)常數(shù)，是一個(gè)常數(shù) ，雖然曲線形狀

47、與溫度等有關(guān)，但總面積將保持不變。，雖然曲線形狀與溫度等有關(guān)，但總面積將保持不變。 3、最概然速率、最概然速率vp 與氣體分子速率分布曲線極大值對(duì)應(yīng)的速率叫做氣體分子與氣體分子速率分布曲線極大值對(duì)應(yīng)的速率叫做氣體分子 的最概然速率的最概然速率vp 。 物理意義是：物理意義是：對(duì)所有相同的速率區(qū)間而言，速率在含有對(duì)所有相同的速率區(qū)間而言，速率在含有v vp p 區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比最大。 或：氣體分子的速率取或：氣體分子的速率取vp附近值的概率為最大附近值的概率為最大。 46 三、麥克斯韋速度分布律三、麥克斯韋速度分布律 前面討論的分子速率分布未

48、考慮分子速度方向，要找出分前面討論的分子速率分布未考慮分子速度方向，要找出分 子按速度的分布，就是要找出速度分量在子按速度的分布，就是要找出速度分量在vxvx +dvx，vyvy +dvy ，vzvz+dvz 區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。區(qū)間的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比。 麥克斯韋推導(dǎo)出了速度分布律麥克斯韋推導(dǎo)出了速度分布律 )( 2 2/ 3 222 ) 2 (),( zyx vvv kT m zyx e kT m vvvF zyx vvv kT m dvdvdve kT m N dNzyx )( 2 2/ 3 222 ) 2 ( 在速度空間單位體積元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比，在速度空

49、間單位體積元內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的百分比， 即稱之為氣體分子的速度分布函數(shù)，為即稱之為氣體分子的速度分布函數(shù)，為 47 三、分子速率的三種統(tǒng)計(jì)（平均）值三、分子速率的三種統(tǒng)計(jì)（平均）值 1 1、平均速率、平均速率v N v v N i 將麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)式代入得將麥?zhǔn)纤俾史植己瘮?shù)式代入得 dvve kT m dvvvfv kT mv 3 0 2 23 0 2 2 4 / )()( m kT v 8 N vdN 0 N dvvvNf 0 )( 0 )(dvvvf mol M RT 8 mol M RT 60. 1 48 2、方均根速率、方均根速率 N v v N i 2 2 m kT dvve

50、kT m v kT mv 3 ) 2 (4 4 0 2 2/32 2 m kT v 3 2 N dNv 0 2 N dvvNfv 0 2 )( 0 2 )(dvvfv mol M RT3 mol M RT 73. 1 49 2 2 2/3 2 ) 2 (4ve kT m dv d kT mv kT mv kT mv ev kT m vev kT m 2 2 2 2/3 22 )2( 2 2) 2 (4 0| ) 2 1 (2) 2 (4 2 2 2/3 2 p vv kT mv kT mv ev kT m m kT v p 2 3、最概然速率、最概然速率 將函數(shù)將函數(shù)f(v) f(v) 對(duì)對(duì)v

51、 v求導(dǎo)得求導(dǎo)得0 p vv dv df mol M RT2 mol M RT 41. 1 50 以上各種速率各有用處，以上各種速率各有用處， 分布函數(shù)的特征由分布函數(shù)的特征由v vp p表示；表示； 討論分子的平均平動(dòng)能用討論分子的平均平動(dòng)能用 2 v 討論平均自由程用討論平均自由程用v （）溫度與分子速率（）溫度與分子速率 Tv M RT v p mol p 即 2 f(v) v m相同 ( (設(shè)它們的溫度分別為設(shè)它們的溫度分別為 73K,273K,1273K)73K,273K,1273K) 51 （）質(zhì)量與分子速率（）質(zhì)量與分子速率 m v m kT v pp 12 即 f(v) v T

52、相同, m3m2vvvp p 的分子的平均速率表達(dá)式為的分子的平均速率表達(dá)式為 。 p v dvvf 0 解解 : : (1)表示速率分布在表示速率分布在0vp區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的區(qū)間內(nèi)的分子數(shù)占總分子數(shù)的 百分比百分比 p p v v dvvf dvvvfv2 54 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)：分子速率在幾百米前面已經(jīng)說(shuō)過(guò)：分子速率在幾百米/秒的數(shù)量級(jí)，但為什秒的數(shù)量級(jí)，但為什 么食堂炸油餅時(shí)并不能馬上聞到油香味呢？么食堂炸油餅時(shí)并不能馬上聞到油香味呢？ 原來(lái)分子速率雖高，但分子在運(yùn)動(dòng)中還要和大量的分子碰撞。原來(lái)分子速率雖高，但分子在運(yùn)動(dòng)中還要和大量的分子碰撞。 55 一、分子

53、的有效直徑一、分子的有效直徑d d 分子有效直徑并非分子自身的線度，后者比分子有效直徑并非分子自身的線度，后者比d小些。小些。 d 分子的一種最簡(jiǎn)單的模型：將分子看成是具有一定體積分子的一種最簡(jiǎn)單的模型：將分子看成是具有一定體積 的彈性小球。的彈性小球。 則分子的有效直徑則分子的有效直徑d定義為：定義為：兩個(gè)分子質(zhì)心之間所能允許的兩個(gè)分子質(zhì)心之間所能允許的 最小距離。最小距離。 56 二、分子的平均自由程和平均碰撞頻率二、分子的平均自由程和平均碰撞頻率 、自由程、自由程： 平均自由程：平均自由程： 、 碰撞頻率：碰撞頻率： 指一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)指一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi) 與其它分子相碰的次數(shù)與其

54、它分子相碰的次數(shù)Z。 、 三者間的關(guān)系：三者間的關(guān)系：vz, )( T zv 由平均速度的定義有由平均速度的定義有 z v 或或 分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)歷的直線路徑分子在連續(xù)兩次碰撞之間所經(jīng)歷的直線路徑 分子在連續(xù)兩次碰撞之間分子在連續(xù)兩次碰撞之間 所經(jīng)歷的直線自由程的平均所經(jīng)歷的直線自由程的平均 值值 。 平均碰撞頻率平均碰撞頻率： 一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)受到的碰撞次數(shù)的平均值一個(gè)分子在單位時(shí)間內(nèi)受到的碰撞次數(shù)的平均值 。z 57 三、決定 和 的因素： z udnz 2 這樣，在這樣，在A A分子運(yùn)動(dòng)的路徑上，凡分子中心與分子運(yùn)動(dòng)的路徑上，凡分子中心與A A分子中心的分子中心的 距離小于

55、或等于分子有效直徑距離小于或等于分子有效直徑d d的分子都會(huì)與的分子都會(huì)與A A分子發(fā)生碰撞。分子發(fā)生碰撞。 為此我們以為此我們以A A分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，以分子直徑分子中心的運(yùn)動(dòng)軌跡為曲線，以分子直徑d d為為 半徑，做一曲折圓柱體，那么，凡分子中心在圓柱體內(nèi)的分半徑，做一曲折圓柱體，那么，凡分子中心在圓柱體內(nèi)的分 子，都會(huì)與子，都會(huì)與A A分子發(fā)生碰撞，分子發(fā)生碰撞， 假定氣體中只有一個(gè)分子（例如假定氣體中只有一個(gè)分子（例如A A分子）以平均相對(duì)速率分子）以平均相對(duì)速率 運(yùn)動(dòng)，而其它分子認(rèn)為是靜止不運(yùn)動(dòng)的。運(yùn)動(dòng)，而其它分子認(rèn)為是靜止不運(yùn)動(dòng)的。 u A u u 58 理論證明：氣體分子

56、的平均相對(duì)速率理論證明：氣體分子的平均相對(duì)速率 與平均速率與平均速率 間有間有 uv vu2 vdnz 2 2 ndz v 2 2 1 n（） 這說(shuō)明：平均自由程這說(shuō)明：平均自由程 與分子數(shù)密度與分子數(shù)密度 成反比。成反比。 （）對(duì)于理想氣體）對(duì)于理想氣體 kT p nnkTp即 59 Pd kT 2 2 kT Pvd z 2 2 或 60 例例310在無(wú)外力場(chǎng)作用的條件下，處于平衡態(tài)的氣體在無(wú)外力場(chǎng)作用的條件下，處于平衡態(tài)的氣體 分子按速度分布的規(guī)律，可用分子按速度分布的規(guī)律，可用- -分布律來(lái)描 分布律來(lái)描 述。如果氣體處于外力場(chǎng)中，氣體分子在空間的分布規(guī)律述。如果氣體處于外力場(chǎng)中，氣體分子在空間的分布規(guī)律 可用可用- -分布律來(lái)描述。 分布律來(lái)描述。 麥克斯韋麥克斯韋 玻爾茲曼玻爾茲曼 61 例例3 31111 (1)分子的有效直徑數(shù)量級(jí)是分子的有效直徑數(shù)量級(jí)是_ (2)在常溫下，氣體分子的平均速率數(shù)量級(jí)是在常溫下，氣體分子的平均速率數(shù)量級(jí)是_ (3)在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的碰撞頻率的數(shù)量級(jí)是在標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)下，氣體分子的碰撞頻率的數(shù)量級(jí)是_ T=300K(1) 10-10m (2) 102103m/s mol M RT v6 . 1 (3) 108109s-1 Pd kT z v 2 2 kT Pvd z