高等數學下第七章

1、一、單項選擇題1. 數的定義域是（ ） （A）0 （B） 1 （C） （D）2. 計算（）(A) (B) (C) (D) 不存在3. 下列函數的定義域是有界閉區(qū)域的是（）(A) (B) (C) (D) 4. 偏導數，存在是函數在點連續(xù)的( ) （A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）即非充分以非必要條件.5. 函數在條件下的極值點為（）(A) (B) (C) (D) 6. 偏導數，存在是函數在點可微的( )（A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）即非充分以非必要條件. 7. 函數的定義域是（ ） (A)； (B)； (C)； (D).8. 若二元函數在點可微，則

2、在點下列結論不一定成立的是 ( ) （A）連續(xù)； （B）偏導數存在；（C）偏導數連續(xù)； （D）. 9. 設二元函數有二階連續(xù)偏導數，且，則=（ ） (A)； (B) 0； (C) 1； (D) 2.10. 設可微函數在點取得極小值， 則下列結論成立的是 ( ) （A）在處導數為0 ；（B）在處導數大于0；（C）在處導數小于0；（D）在處導數不存在.11. 在點處具有偏導數是該函數在點連續(xù)的( ) （A）必要條件； （B）充分條件；（C）充要條件； （D）既非充分也非必要條件.12. 設（ ）(A)；(B)； (C)； (D).13. 設, 則（）(A) ； (B) ； (C) ； (D) .1

3、4. （ ）(A) ； (B) ； (C) 不存在； (D) .15. （ ）(A) 不存在； (B) ； (C) ； (D) .16. 設，則( )(A)； (B)； (C)； (D).17. 設函數可微，則，是函數在點處有極值的( ) （A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）即非充分以非必要條件. 18. 二元函數的極小值點為（ ）(A) ; (B) ; (C) ; (D) 19. 已知理想氣體的狀態(tài)方程為pV=RT(R為常數), 則（）(A) 1；(B) -1； (C) 0； (D) 不存在.20. 偏導數，存在是函數在點可微的( ) （A）必要條件；（B）充分條件；（C

4、）充要條件； （D）即非充分以非必要條件. 21. 函數在點連續(xù)是偏導數，存在的( ) （A）充分條件；（B）必要條件；（C）充要條件；（D）即非充分也非必要條件.22. 某公司生產甲,乙兩種型號的產品，總成本為其中x,y,是日產量，分別當時，這兩種型號產品的邊際成本為（）(A) 23,43； (B) 43,23； (C) 43,63； (D) 63,43.23. 過, ，的平面方程是（）(A) (B) (C) (D) .24. 偏導數，存在是函數在點連續(xù)的( ) （A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）即非充分以非必要條件.25. 設 則（） (A) ； (B)； (C) ；

5、 (D) .26. 設 則（） (A)； (B) 0； (C)； (D).27. 設, 則（）(A)； (B)； (C)； (D).28. 偏導數，存在是函數在點連續(xù)的（ ） （A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）既非充分亦非必要條件. 29. 偏導數，在存在且連續(xù)是函數在點可微的（ ） （A）必要條件；（B）充分條件；（C）充要條件； （D）既非充分亦非必要條件. 二、填空題1、 設，則_.2、 設，則_.3、 若, 則= . 4、 在空間坐標系中，過點P (2, 0, 0)，Q(0, 3, 0)，R(0, 0, 1)的平面方程為_.5、 若, 則在點處= .6、 在空間坐

6、標系中，過點，和的平面方程為_.7、若, 則=_. 8、設則=_.9、若, 則=_. 10、設則=_.11、極限_.12、設則_. 13、若, 則=_. 14、，則在點處的全微分 15、, 則 .16、設則=_.17、設，則 18、，則 .19、若, 則=_. 20、設則=_.21、過點P (3, 0, 0)，Q(0, 2, 0)，R(0, 0, 1)的平面方程為_22、若, 則=_. 23、若, 則=_24、若, 則=_. 25、若, 則在點處全微分=_. 26、設則=_.27、二元函數的極小值為_. 28、設, 則=_.29、設,而,則=_. 30、設, 則=_.三、計算題1、設，求四、綜

7、合應用題 1、生產某產品要用A、B兩種材料，設該產品的產量與原料A、B的數量（單位：）之間有關系式.要用15000元購買原料，已知A、B原料的單價分別為100元/t、200元/t，試問購進兩種原料各多少噸可以使產品的產量最大？2、某工廠生產甲、乙兩種小汽車，已知甲的售價為9萬元/臺，乙的售價為10萬/臺，當甲生產臺、乙生產臺時的總成本函數為，問甲、乙兩種產品的產量是多少時，利潤最大？最大值為多少？3、設依次是商品甲、乙的需求量，其需求函數依次為，又設總成本函數為，其中分別是甲、乙的價格，問甲、乙兩種商品的價格定為多少時，可使總利潤最大？4、設某工廠生產甲、乙兩種產品，產量分別為和（單位：千件）

8、，利潤函數為（單位：萬元）已知生產這兩種產品時，每千件產品均需消耗某種原料2000公斤，現有該原料12000公斤，問兩種產品各生產多少千件時，總利潤最大?最大利潤是多少？5、某企業(yè)為銷售產品作兩種形式的廣告宣傳，當廣告宣傳費用分別為、(單位:萬元)時，銷售量是，若銷售產品所得的利潤是銷量的減去廣告費，現要使用15萬元的廣告費，應如何分配使廣告產生的利潤最大，最大利潤是多少？6、某牧場出售牛排和牛皮兩種產品，已知牛排需求量是牛皮需求量的兩倍，牛排和牛皮的需求函數分別為 其中，與分別為牛排和牛皮的價格，與分別為牛排和牛皮的需求量.總成本為 ，試問牛排和牛皮的價格各定為多少時，總利潤最大？7、某公司

9、通過報紙和網絡兩種媒體做廣告，已知銷售收入(單位:萬元)與報紙廣告費(單位:萬元)和網絡廣告費(單位:萬元)之間的關系為若廣告費用總預算是3萬元,求使利潤最大的廣告策略?8、某同學現有400元錢，他決定用來購買張計算機磁盤和盒錄音磁帶。每張磁盤8元，每盒磁帶10元。設效用函數，試用Lagrange乘數法為該同學設計分配400元錢的最佳方案。（注：當效用函數達到最大值時，購物的分配方案最佳）9、某企業(yè)生產兩種產品，產量分別為，總成本函數為,若兩種產品共生產件，問每種產品各生產多少時，可使總成本最??？10、某企業(yè)通過網絡和電視兩種媒體做廣告，已知銷售收入(單位:萬元)與網絡廣告費(單位:萬元)和電

10、視廣告費(單位:萬元)之間的關系為，若廣告費用總預算是3萬元,求最優(yōu)廣告策略? 11、某公司生產的一種產品同時在兩個市場銷售，售價分別為200元與180元,而兩個市場的銷量分別為x，y單位，已知銷售總成本為:試問：如何確定兩個市場的銷量，才能取得最大利潤？最大利潤為多少?12、某廠生產兩種產品，總收入與兩種產品的產量和的函數關系是(元)總成本與產量和的函數關系是(元)限于原料供應情況，兩種產品的總產量限定為30，應如何安排生產，才可獲得最大的利潤？這時的最大利潤是多少？13、 某工廠生產甲、乙兩種產品的日產量分別和件，其總成本函數為： ，若要求每天生產兩種產品的總量為48件，求甲、乙兩種產品各生產多少件時，成本最低？14、某工廠生產甲、乙兩種產品的日產量分別為和萬件,其利潤函數（單位:萬元）為 ，若要求每天生產兩種產品的總量為2萬件，求甲、乙兩種產品各生產多少萬件時，利潤最大？15、設商品及的收益函數分別為： 總成本函數為，為商品及的價格，試問價格取何值時可以使總利潤最大？五、證明題1、設可微，證明在極坐標變換之下，成立 .2、設 ，其中是任意可微函數，證明：.3、設 ，其中是任意可微函數，證明：.4、如果，求證：.5、求證：函數在時滿足，其中.6、已知是可微函數，而，求證：.7、