必修4第二章平面向量

1、 必修4第二章 平面向量背景資料向量進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)的背景分析1、從幾何的歷史和發(fā)展看向量的地位：幾何的歷史和發(fā)展大約經(jīng)歷了如下幾個階段，實(shí)驗(yàn)幾何、演繹幾何（綜合幾何）、代數(shù)幾何、拓?fù)?、分析幾何直到現(xiàn)代的整體微分幾何和大范圍分析和代數(shù)拓?fù)浣⒃谀硞€代數(shù)結(jié)構(gòu)或一般集合上的幾何結(jié)構(gòu)的研究是大的方向，即幾何代數(shù)化是幾何研究發(fā)展的必然趨勢同時，幾何、代數(shù)和分析也越來越相互關(guān)聯(lián)，互為工具幾何處理的“向量化”，也就是幾何代數(shù)化的一個方面2、目前我國中學(xué)數(shù)學(xué)中幾何代數(shù)化的處理：包括代數(shù)方程，如這樣的形式，再加上坐標(biāo)幾何的學(xué)習(xí)但由于代數(shù)曲線和曲面的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和研究更為抽象，如果中學(xué)階段的學(xué)習(xí)和研究僅停留在二維平面

2、中的圓錐曲線分析上，以此為基礎(chǔ)很難發(fā)展到高次、高維曲線和曲面的代數(shù)結(jié)構(gòu)分析和分類，代數(shù)幾何的發(fā)展要求是中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)向量的必然原因3、向量的雙重性：向量是一個具有幾何和代數(shù)雙重身份的概念，同時向量代數(shù)所依附的線性代數(shù)是高等數(shù)學(xué)中一個完整的體系，具有良好的分析方法和完整結(jié)構(gòu)通過向量的運(yùn)用對傳統(tǒng)問題的分析，可以幫助學(xué)生更好地建立代數(shù)與幾何的聯(lián)系，也為中學(xué)數(shù)學(xué)向高等數(shù)學(xué)過渡奠定了一個直觀的基礎(chǔ)4、認(rèn)識向量的另外角度：把平面和空間看出是一個向量場，可以培養(yǎng)學(xué)生對結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)的認(rèn)識，比如在學(xué)習(xí)平面向量基本定理后，可以發(fā)展學(xué)生把平面看成一個2維的代數(shù)系統(tǒng)，這個系統(tǒng)就是由兩個不平行向量的線性組合得到，同樣在空間上

3、可以使學(xué)生認(rèn)識到3維擴(kuò)建就是一個有3個不共面的向量生成的一個代數(shù)結(jié)構(gòu)而結(jié)構(gòu)數(shù)學(xué)是現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展的主要方向5、“數(shù)、量與運(yùn)算”的擴(kuò)大：從“數(shù)、量和運(yùn)算”發(fā)展的角度理解“向量”，把向量的加法（減法）、數(shù)乘以向量和向量的數(shù)量積看作新的運(yùn)算，使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)、量和運(yùn)算的形式在不斷的發(fā)展6、數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在向量中的體現(xiàn)：數(shù)學(xué)和物理學(xué)的關(guān)系在中學(xué)階段應(yīng)該得到重視和發(fā)展，向量在力學(xué)中的應(yīng)用即使在中學(xué)階段也是不難發(fā)現(xiàn)的7、數(shù)學(xué)“機(jī)械化”與向量的關(guān)系：吳文俊先生在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題一文中明確指出：數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化問題就是機(jī)械化問題8、向量的教學(xué)實(shí)踐過程可行性問題：在中學(xué)階段引入是完全可以接受的第一，學(xué)生有初步的平

4、面坐標(biāo)幾何的基礎(chǔ)；第二，教師有良好的立體幾何的教學(xué)背景，教師在把傳統(tǒng)的綜合幾何轉(zhuǎn)移到向量代數(shù)處理立體幾何時有很好的直觀背景，并可以使之遷移到學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中去除此之外，現(xiàn)代化技術(shù)（包括多媒體教學(xué)技術(shù)和后PC時代的掌上技術(shù)）在向量的“教與學(xué)”中可以幫助教師和學(xué)生利用圖形計(jì)算器、計(jì)算機(jī)和動態(tài)幾何軟件不僅可以解決幾何“直觀性”的問題，同時也使得學(xué)生的向量學(xué)習(xí)入門更容易理解9、對向量的認(rèn)識誤區(qū)：向量進(jìn)入我國中學(xué)數(shù)學(xué)課程是一個不可逆轉(zhuǎn)的趨勢，但在整個發(fā)展過程種也不可避免地出現(xiàn)了一些在這個問題上的認(rèn)識誤區(qū)認(rèn)為向量就是把立體幾何簡化論和解題方法的多樣性的確，向量的引入有助于平面幾何與立體幾何某些問題的解決，

5、同時也為其它一些初等數(shù)學(xué)問題的解決提供了更多的選擇但問題的關(guān)鍵不能僅僅停留在這個層次上來看待向量在中學(xué)數(shù)學(xué)中的引入，而應(yīng)該從更大的范圍和角度認(rèn)識向量，最為重要的是較為全面地把握向量的發(fā)展與其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的關(guān)系2.1 向量的線性運(yùn)算2.1.1向量的概念一、問題探究：問題1 我們知道物理學(xué)中“力”是既有大小又有方向的量，結(jié)合生活實(shí)際，請比較這類量與長度這類量的區(qū)別？進(jìn)一步談?wù)勎灰啤⑾蛄颗c矢量的區(qū)別與聯(lián)系，并體會什么是“自由向量”，舉例說明；答：位移是自由向量，向量分成自由向量和有作用點(diǎn)的向量矢量是物理學(xué)中的向量問題2 類比實(shí)數(shù)的性質(zhì)，向量怎么表示？能不能說兩個向量相等？進(jìn)一步我們就像知道它是不是有加

6、減乘除運(yùn)算？答：有向線段是向量的直觀形象用表示有向線段方向相同，長度相等的向量是相等向量，可以用一條有向線段表示只是方向相同的向量，不能用一條線段表示關(guān)于向量的線性運(yùn)算我們下一節(jié)課將深入學(xué)習(xí)。問題3 實(shí)數(shù)中有0，有1，有互為相反數(shù)的數(shù)，在向量體系中有沒有對應(yīng)的概念？答：有零向量，長度為零，方向不確定的向量，與任何向量都共線，也與任何向量都垂直有單位向量，就是模長為1的向量，模長相等，方向相反的向量就是相反向量。二、例題分析圖2-1例題1 如圖2-1，在等腰梯形ABCD中，ABCD， E、F分別是對角線AC和BD的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向量中（1）找出與共線的向量；（2）

7、找出與相等的向量；（3）找出與相等的向量分析：向量的平行與共線是同一個概念，因此在判斷時要注意與平面幾何中的區(qū)別，并且抓住“方向相同或相反”；與、的方向無關(guān)解：（1）與共線的向量有：、；（2）與相等的向量有：；（3）與相等的向量有：、例題2 （1）設(shè)，為三個平面向量，下列命題： 若，則； 若，則； 若，則； 若，則正確的為（ B ）（A）（B）（C）（D）（2）下列命題正確的是（ C ）（A）與共線，與共線，則與也共線（B）任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)（C）向量與不共線，則與都是非零向量（D）有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行（3）給出下列命題：若，則；的充要條件是

8、且；且是=的既不充分也不必要條件；共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同；任一向量與它的相反向量不相等其中不正確的命題是_練習(xí)A1下列物理量中，不能稱為向量的是（ A ）（A）質(zhì)量 （B）速度 （C）位移 （D）力2下列命題中，正確的是（ 沒有正確選項(xiàng) ）（A）若，則（B）若向量與是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在同一條直線上（C）若，則（D）若，則3在四邊形ABCD中，=，且|=|，則四邊形ABCD是（ D ）（A）平行四邊形 （B） 正方形 （C） 矩形 （D）菱形圖2-24如圖2-2，D、E、F依次是等邊三角形ABC的邊AB、BC、AC的中點(diǎn)，在以A、B、C、D、E、F為起點(diǎn)或終點(diǎn)的向

9、量中（1）找出與相等的向量；（2）找出與共線的向量答案：（1）、；（2）、5如圖2-3，四邊形ABCD為平行四邊形，對角線AC與BD相交于點(diǎn)O，則（ C ）圖2-3（A） （B） （C）與共線（D）圖2-46如圖2-4，O是正六邊形ABCDE的中心，且，在以A，B，C，D，E，O為端點(diǎn)的向量中：（1）與相等的向量有 ；、（2）與相等的向量有 ；、（3）與相等的向量有 、練習(xí)B1在ABC中，AB=AC，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則（ B ）（A）與共線 （B）與共線（C）與相等 （D）與相等2設(shè)、都是非零向量，下列四個條件中，使成立的充分條件是（ C ）（A） （B） （C） （D）且3在四

10、邊形ABCD中，=，且|=|，則四邊形ABCD是（ A ）（A）平行四邊形 （B）正方形 （C） 矩形 （D）菱形4設(shè)，都為零向量，都為單位向量，則（ A ）（A）且 （B）且（C）且 （D）且2.1.2、2.1.3、2.1.4向量的線性運(yùn)算一、問題探究問題1 類比實(shí)數(shù)的運(yùn)算，請你結(jié)合物理學(xué)中的力的合成與分解，探究向量加法和減法，構(gòu)建向量的運(yùn)算體系，并請研究這種運(yùn)算的性質(zhì)。參考：教師向?qū)W生滲透三角形法則與四邊形法則的關(guān)系，向量加法的運(yùn)算法則有哪些？怎么驗(yàn)證？答：首尾相連的兩個向量相加用三角形法則，起點(diǎn)相同的兩個向量的加法用平行四邊形法則，平行四邊形法則可以理解為，通過平移將起點(diǎn)相同的兩個向量變

11、成首尾相連的兩個向量，然后利用三角形法則指向終點(diǎn)交換律，結(jié)合律教材第82頁如何理解向量減法與加法的關(guān)系？答：減法是一個向量加上另外一個向量的相反向量減法有無三角形法則、平行四邊形法則？答：當(dāng)起點(diǎn)相同的兩個向量作減法時，利用三角形法則，指向被減，當(dāng)兩個向量首尾相連作減法是，利用平行四邊形法則三角形法則與多邊形法則的關(guān)系？答：三角形法則是基礎(chǔ)，多個首尾的向量的加法就是三角形法則的推廣，核心思想是指向終點(diǎn)問題2 在實(shí)數(shù)中，乘法可以看成是相同數(shù)的加法，那么在向量中，我們怎么定義相同向量的加法？并請?zhí)骄窟@種運(yùn)算的性質(zhì)。參考：教師注意滲透下面幾個方面數(shù)乘向量的幾何意義是什么？這里的“數(shù)”指的是什么數(shù)？答：

12、把向量沿著的方向（或反方向）放大或者縮小實(shí)數(shù)思考教材第89頁的思考與討論答：能，一致數(shù)乘向量的運(yùn)算律確保向量的哪些運(yùn)算？答：能做與整式相同的運(yùn)算二、例題分析圖2-5例題1 如圖，在平行四邊形ABCD中，O為對角線的交點(diǎn)化簡分析：根據(jù)圖形的特征，研究最佳的解題方法，這里雖然可以應(yīng)用法則化簡，但不利于進(jìn)一步化簡現(xiàn)在我們根據(jù)平行四邊形的特性，進(jìn)行轉(zhuǎn)化為圖（1）（2），解題過程簡練方法一：因?yàn)?，四邊ABCD為形平行四邊形， O為對角線的交點(diǎn)，所以，于是，方法二：因?yàn)?，四邊ABCD為形平行四邊形， O為對角線的交點(diǎn)，所以，于是，例題2 求證在三角形ABC中，例題3 化簡：分析：與不能直接計(jì)算，那么我們首

13、先想能否重新結(jié)合，使之能運(yùn)算，；利用相反向量的概念，把向量的減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法；利用解法一： 解法二： 解法三： 。例題4 已知ABCD，它的頂點(diǎn)A，B，C，D，相對于點(diǎn)O的位置向量分別記作，求證：。例題5 在ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分ACB，若， ， ，求解：如圖，由角平分線的性質(zhì)知，D是線段AB的三分點(diǎn)，拓展：找規(guī)律，如果D分AB成BD占份，AD占份，則例題6 設(shè)是未知量，解方程解：，練習(xí)A1在四邊形ABCD中，=+，則（ D ）（A）ABCD是矩形 （B）ABCD是菱形 （C）ABCD是正方形 （D）ABCD是平行四邊形2在矩形中，則向量的長等于（ D ）（A）2 （B） （C）3 （D）43向量（+）+（+）+化簡后等于（ C ）（A） （B） （C） （D）4若，則的取值范圍是（ C ）（A） （B） （C） （D）5化簡（）+（）的結(jié)果是（ C ）（A） （B） （C）（D）6在ABC中，若，則的值為（ B ）（A）0 （B）1 （C） （D）27已知，則下列命題正確的是（ C ）（A）（B）（C）（D）8若化簡（ D ）（A） （B） （