點、直線、平面的投影及直線上的點及直線的相對位置關(guān)系、平面上取點線完整版

1、 B1 B2 B3 一、點的投影 1.1.點在一個投影面上的投影點在一個投影面上的投影 A P a P b 點在一個投影面上點在一個投影面上 的投影不能確定點的空的投影不能確定點的空 間位置。間位置。 點是形體最基本的元素，點的投影是線面體投影的基礎(chǔ)。點是形體最基本的元素，點的投影是線面體投影的基礎(chǔ)。 2.2.點的正投影規(guī)律點的正投影規(guī)律 點的第一條正投影規(guī)律點的第一條正投影規(guī)律 一點在兩個投影面上的投影，在投影圖上的連線，一 定垂直于該兩投影面的交線，即垂直于投影軸。 點的第二條正投影規(guī)律點的第二條正投影規(guī)律 空間一點到某 一投影面的距離， 等于該點在任意 一個與該投影面 垂直的投影面上 的

2、投影到其投影 軸的距離。 3.3. 點的三面投影點的三面投影 W H V O X 空間點空間點A A在三個投影面上的投影在三個投影面上的投影 a 點A的正面投影 a 點A的水平投影 a 點A的側(cè)面投影 空間點用大寫字母空間點用大寫字母 表示，點的投影用表示，點的投影用 小寫字母表示。小寫字母表示。 a a a A Z Y WV H X Y Z O V H W A a a a X a aZ a Y 向右翻向右翻 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)90 向下翻轉(zhuǎn)向下翻轉(zhuǎn) 90 不動不動 投影面展投影面展 開開 ay a a az xa a ay Z X Y Y O X Y Z O V H W A a a a 點的投影規(guī)律點的投

3、影規(guī)律 a aOX軸 aax= a az= y = A到V面的距離 a ax= a ay= z = A到H面的距離 aay= a az= x = A到W面的距離 aX aZ aY Y Z aZ a X Y aY O a aX aY a a a OZ軸 點的投影與點的坐標(biāo)的關(guān)系點的投影與點的坐標(biāo)的關(guān)系 a a aX 例例1 1 已知點已知點A A的兩個投影，求第三投影。的兩個投影，求第三投影。 a a a aX az aZ 解法一解法一: : 通過作通過作4545線線 使使a aZ=aaX 解法二解法二: : 用圓規(guī)直接量用圓規(guī)直接量 取取a aZ=aaX a 例例2 2 已知點的兩個投影，求第

4、三投影。已知點的兩個投影，求第三投影。 a b 空間點A在OX軸上 空間點B在OZ軸上 b b Z OXY a a Z O X Y 在哪里？ a 在哪里？ b 空間點A在哪里？ 空間點B在哪里？ 點的直觀圖的做法 兩點的相對位置兩點的相對位置 兩點的相對位置指兩 點在空間的上下、前后、 左右位置關(guān)系。 判斷方法 x 坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上 b a a a b b B點在點在A點之前、點之前、 之右、之下。之右、之下。 X YH YW Z 重影點重影點 空間兩點在某一投 影面上的投影重合為一 點時，則稱此兩點為該 投影面的重影點。 A、C為為H面的重影點面的重影點 a

5、a c c 被擋住的投被擋住的投 影加影加( ) ( ) A A、C C為哪個投為哪個投 影面的重影點影面的重影點 呢呢 a c ？ 直線的投影一般仍為直線。畫直線段的投影時，一般先畫出兩個直線的投影一般仍為直線。畫直線段的投影時，一般先畫出兩個 端點的投影，然后分別將兩端點的同面投影連成直線。端點的投影，然后分別將兩端點的同面投影連成直線。 直線對直線對一個投影面一個投影面的投影的投影特性：特性： A M B a(m)(b) A B a b 直線垂直于投影面直線垂直于投影面 投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性 直線平行于投影面直線平行于投影面 投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=

6、AB 直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面 投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcos A B a b 直線的投影一般仍為直線。畫直線段的投影時，一般先畫出兩個直線的投影一般仍為直線。畫直線段的投影時，一般先畫出兩個 端點的投影，然后分別將兩端點的同面投影連成直線。端點的投影，然后分別將兩端點的同面投影連成直線。 在三投影面體系中，直線有三種位置：在三投影面體系中，直線有三種位置： 投影面平行線投影面平行線 投影面垂直線投影面垂直線 一般位置直線一般位置直線 平行于某一個投影面而對另外兩個投影面傾斜的直線。平行于某一個投影面而對另外兩個投影面傾斜的直線。 垂直于某一個投影面的直線。垂直于某

7、一個投影面的直線。 對三個投影面都是傾斜的直線。對三個投影面都是傾斜的直線。 各種位置直線的投影，都應(yīng)符合各種位置直線的投影，都應(yīng)符合“長對正長對正、高平齊高平齊、寬相等寬相等”的投影規(guī)律。的投影規(guī)律。 平行于水平面的直線稱為水平線。平行于水平面的直線稱為水平線。 平行于正面的直線稱為正平線平行于正面的直線稱為正平線 。 平行于側(cè)面的直線稱為側(cè)平線。平行于側(cè)面的直線稱為側(cè)平線。 平行于水平面的直線稱為水平線。平行于水平面的直線稱為水平線。 平行于正面的直線稱為正平線平行于正面的直線稱為正平線 。 平行于側(cè)面的直線稱為側(cè)平線。平行于側(cè)面的直線稱為側(cè)平線。 正平線的投影特點正平線的投影特點: :

8、正面投影ab為傾斜線段，且反映實長及夾角； 水平投影ab平行于OX軸，小于實長； 側(cè)面投影ab平行于OZ軸，小于實長。 投影面平行線讀圖問題投影面平行線讀圖問題- -舉例舉例 垂直于水平面的直線稱為鉛垂線。垂直于水平面的直線稱為鉛垂線。 垂直于正面的直線稱為正垂線垂直于正面的直線稱為正垂線 。 垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。 垂直于水平面的直線稱為水平線。垂直于水平面的直線稱為水平線。 垂直于正面的直線稱為正垂線垂直于正面的直線稱為正垂線 。 垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。垂直于側(cè)面的直線稱為側(cè)垂線。 正垂線的投影特點正垂線的投影特點: : 正面投影ab成為一個點，有積

9、聚性； 水平投影ab垂直于OX軸，且反映實長； 側(cè)面投影ab垂直于OZ軸，也反映實長。 投影面垂直線讀圖問題投影面垂直線讀圖問題- -舉例舉例 對三個投影面都是傾斜的直線稱為對三個投影面都是傾斜的直線稱為一般位置直線一般位置直線。 對三個投影面都是傾斜的直線稱為對三個投影面都是傾斜的直線稱為一般位置直線一般位置直線。 一般位置直線的投影特性是：一般位置直線的投影特性是：三個投影都是傾斜線段，且都小于實長。 直線上點的投影特性：直線上點的投影特性：直線上點的投影必定在該直線的同面投影上。 同一直線上兩線段實長之比等于其投影長度之比。 由直線上點的投影特性可知：如果點在已知直線上，則可根據(jù)該點的

10、一個投影(投影面垂直線積聚的投影除外)，求出它的另外兩個投影。 例例 判斷點判斷點K K是否在線段是否在線段ABAB上。上。 a b k 因因k 不在不在a b 上故上故 點點K不在不在AB上。上。 a b k a b k 另一判斷法另一判斷法? ? 方法一：方法一： 方法二：方法二： 應(yīng)用定比性：應(yīng)用定比性： 因因 ak/kb a k / k b 所以點所以點K不在不在AB上上。 例例 習(xí)題集習(xí)題集P12 3-9P12 3-9。 三、平面的投影 平面在三投影面體系中的投影，由圍成該平面的點和線的平面在三投影面體系中的投影，由圍成該平面的點和線的 同面投影確定。同面投影確定。 平面對于三投影面

11、的位置可分為平面對于三投影面的位置可分為三類三類 垂直面垂直面 垂直于某一投影面，傾垂直于某一投影面，傾 斜于另兩個投影面斜于另兩個投影面 特殊位置平面特殊位置平面 平行面平行面 平行于某一投影面，平行于某一投影面， 垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面 與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜一般位置平面一般位置平面 投影面投影面垂直面垂直面投影面投影面平行面平行面一般位置平面一般位置平面 1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 1. 1. 投影面垂直面投影面垂直面 c a c a b b c b a 正垂面正垂面、鉛垂面鉛垂面、側(cè)垂面、側(cè)垂面 只垂直正面投影面只垂直正面投影面正垂面正垂面 只垂直

12、水平投影面只垂直水平投影面鉛垂面鉛垂面 只垂直側(cè)面投影面只垂直側(cè)面投影面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑?ABCABC是什是什 么平面么平面？ 積聚性 ABCABC是鉛是鉛 垂面。垂面。 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與 投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。 垂直面的投影特性：垂直面的投影特性： 另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個投影面上的投影有類似性。 投影面垂直面讀圖問題投影面垂直面讀圖問題 - -舉例（面內(nèi)有垂線）舉例（面內(nèi)有垂線） 2. 2. 投影面平行面投影面平行面 a b c

13、a b c a b c 2. 2. 投影面平行面投影面平行面 在它所平行的投影面上的投影反映實形。在它所平行的投影面上的投影反映實形。 另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投 影軸平行的直線。影軸平行的直線。 正平面正平面、水平面水平面、側(cè)平面、側(cè)平面 平行于正面投影面平行于正面投影面正平面正平面 平行于水平投影面平行于水平投影面水平面水平面 平行于側(cè)面投影面平行于側(cè)面投影面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑?ABCABC是什是什 么平面？么平面？ 平行面的投影特性：平行面的投影特性： 水平投影是水平投影是 實形，所以實形，所以 ABCABC是水平面是水平面 實形實形 投影

14、面平行面讀圖問題投影面平行面讀圖問題- -舉例舉例 P為正垂面為正垂面S為鉛垂面為鉛垂面R為正平面為正平面 例例 參照立體圖，說明立體上每個平面相對于投影面的位置。參照立體圖，說明立體上每個平面相對于投影面的位置。 a b c a c b a b c 3. 3. 一般位置平面一般位置平面 三個投影都是類似形。三個投影都是類似形。 投影特性：投影特性： 4. 平面上的直線和點平面上的直線和點 (1)(1)平面上取任意直線平面上取任意直線 若一直線通過平面上的兩點， 則此直線必在該平面內(nèi)。 若一直線通過平面上的一點，且 平行于該平面上的另一直線， 則此直 線在該平面內(nèi)。 方法一：方法一： 方法二：

15、方法二： 如何判斷直線在平面內(nèi)如何判斷直線在平面內(nèi)？ a b c b c a a b c b c a d m n n m d 例例1 1 已知平面由相交的兩直線已知平面由相交的兩直線ABAB、AC AC 所確定，所確定， 試在試在平面內(nèi)平面內(nèi)任作一條直線。任作一條直線。 解法一解法一解法二解法二（利用方法一）（利用方法一） （利用方法二）（利用方法二） 有無數(shù)個解。有無數(shù)個解。 例例2 2 在平面在平面ABC ABC 內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到 H H 面的距離為面的距離為20mm20mm。 n m n m 20 c a b c a b 結(jié)論：結(jié)論：唯一解！唯一解！ 問題：問

16、題：本題有幾個解？本題有幾個解？ (2)(2)平面上取點平面上取點 即：即：找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為找出過此點而又在平面內(nèi)的一條直線作為 輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。輔助線，然后再在該直線上確定點的位置。 例例1 1 面上取點的方法面上取點的方法定點先定線定點先定線 利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解 k b a c c a b 已知已知K K點在平面點在平面ABCABC上，求上，求K K點的水平投影。點的水平投影。 k 例例2 2 e f g e f m g h m h 通過在面內(nèi)作通過在面內(nèi)作 輔助線求解輔助線求解 已知已知M M點在平面點在平面EFGEFG上，

17、求上，求M M點的水平投影。點的水平投影。 k k 例例3 3 如圖所示，已知一般位置平面如圖所示，已知一般位置平面ABCDABCD的正面投影和的正面投影和 ABAB、 ADAD兩條邊的水平投影兩條邊的水平投影ab和和ad，補(bǔ)全該面的水平投影。，補(bǔ)全該面的水平投影。 a b d c a b d 分析：分析：ABCD ABCD 既然是平面，既然是平面， 則它的對角線必相交。則它的對角線必相交。 作圖：作圖： 1 1）連接）連接a、c和和b、d，得交點得交點k； 2 2）連接）連接b b、d d，在，在bd上求出上求出 k，并連接，并連接a、k； 3 3）在）在ak上求出上求出c，連接，連接b、c

18、 和和d、c，即得該平面的水平，即得該平面的水平 投影；投影； c 四四. .兩直線的相對位置兩直線的相對位置 空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉。 (1)兩直線平行 投影特性 空間兩直線平空間兩直線平 行，則其各行，則其各同面投同面投 影影必相互平行，反必相互平行，反 之亦然。之亦然。 a V H c b c d A B C D b d a a b c d c a b d 例例1 1 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 分析：分析： 結(jié)論：結(jié)論： AB/CD 對于一般位置直線， 只要有兩個同名投影 互相平行，空間兩直 線就平行。

19、 b d c a c b a d d b a c 分析：分析： 求出側(cè)面投影后可知： ABAB與與CDCD不平行。不平行。 例例2 2 判斷圖中兩條直線是否平行。判斷圖中兩條直線是否平行。 方法：方法：求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影 如何判斷？如何判斷？ 對于特殊位置直線， 只有兩個同名投影互相 平行，空間直線不一定 平行。 H V A BC DK b c d k a b c k d a a bc d b a c d k k 若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，若空間兩直線相交，則其同面投影必相交， 且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。 交點符合點交點符合點 的投影規(guī)律的投影規(guī)律 (2)兩直線相交 投影特性投影特性 c a b b a c d k k d 例例 過過C C點作點作水平線水平線CDCD與與AB AB 相交。相交