一個數(shù)學問題的解決及其推廣.doc

1、請下載支持！羈肀羃羇薀羀膄 一個數(shù)學問題的解決及其推廣膀螅膇肈膀羆蠆 浙江省麗水市景寧中學（323500）陳孟興薇芆袀薄蒄衿葿 一、問題的解決蒆蟻螄芅肈芀蚄貴刊 2009 年第 11 期刊出數(shù)學問題335，原題為：已知數(shù)列 an中，腿襖袃膈螈螄肄a1 1, a2 2,an n(an 1 an2 )(n 3), 試求數(shù)列an的通項公式。肅蚅莈薀羃袆蚆 現(xiàn)解答如下：膃薈膈膃莄袆羈解：當 n2 時，蚇罿莃芆羅蕿芃 an 1(n2)an an(n1)an 1 (1)螁蒃螃膅莀莃羄反復應用（ 1）式可得，螞薅蕿袈薂螆袇an 1(n2)an(1) n（2）肅蝿蝕螂莄肇艿當 n=1 時，（2）式仍然成立。n

2、羈羋羂膆芇肁袂（2）式兩邊同時除以 345(n2), 即除以(k 2), 得k1聿肂蚃莆蚈羂裊令b1 a11,bnan(n2)n 1(k2)n芁蒅薆蒀膂蚆肈則 bn 1 bnk 1k11()bn(bnbn 1 ) (bn 1bn 2 )(b2b1 ) b1n 11n 21 )( 1)羃螆羈莁芄羋袁 ()(1k 1k2k 1k23n 1m1(k)1m 1 k 12請下載支持！當 n2 時， nn 1n 1 m3 4 5n2)袆螀薁肆蒈荿蒁a(n 2)b(ii 1m 1 k 1(1 ) 1k21(n1)n 1薁蟻薃蚇膁薁裊綜上，an(i 2)i 1n 1mm 1 k 1(1 ) 1 (n 2)k2

3、袁蒞螇蚈螁蚆肅 二、問題的推廣羃羇薀羀膄葿腿 我們把滿足公式an 2 p( n)an 1 q(n)an（3）膇肈膀羆蠆羈肀的數(shù)列 an 稱為二階變系數(shù)線性遞推數(shù)列。求由（3）式給出的遞推數(shù)列的通項公式，一般采用拆項的思想方法，將p(n),q(n)分別拆成袀薄蒄衿葿膀螅 P(n)=f(n+1)+g(n)和 q(n)=-f(n)g(n),然后利用下面的結論來求（先轉化為一階線性遞推數(shù)列） 。螄芅肈芀蚄薇芆 定理 :已知 a1 , a2 ,袃膈螈螄肄蒆an 2f (n 1) g(n) an 1 f (n) g(n) an ,蟻(4)莈薀羃袆蚆腿襖 且對任意 nN * , f (n) 0, 則數(shù)列 a

4、n 的通項公式為：a1 (n1)n 1n 1manf (i )i 1m 1k 1膈膃莄袆羈肅蚅g(k 1)2)（5）a1 , (nf (k)莃芆羅蕿芃膃薈其中， g(0)=a2-f(1)a1螃膅莀莃羄蚇罿證明：（4）式變形，得蕿袈薂螆袇螁蒃an 2 f (n1)an 1g(n) an 1 f (n)an 。（6）蝕螂莄肇艿螞薅 反復應用（ 6）式，得 n2 時：請下載支持！n 1羂膆芇肁袂肅蝿 所以an 1f (n)ang(k ) 。(7)k 0蚃莆蚈羂裊羈羋又因為 f(n) 0,(7) 式兩邊同除以 f (1)f (2) f (n) , 得an 1an薆蒀膂蚆肈聿肂f (1) f (2)f ( n)f (1) f (2)an羈莁芄羋袁芁蒅令 b1 a1 , bnf (1) f (2) f (nng (k 1) ，（8）f (n 1) k 1f (k )( n2), 由（ 8）式得到1)ng(k1)bn 1bn薁肆蒈荿蒁羃螆k 1f (k)。薃蚇膁薁裊袆螀 所以當 n2 時，anf (1) f (2)f (n1)bnn 1n 1mf (i )i 1m 1k 1螇蚈螁蚆肅薁蟻g(k 1)a。f (k)1薀羀膄葿腿袁蒞 參考文獻：1、膀羆蠆羈肀羃羇 高中數(shù)