2013年考研數(shù)學(xué)線性代數(shù)李永樂(lè)版電子講義

1、第一節(jié)， 行列式N級(jí)排列概念逆序與逆序數(shù)概念，奇排列，偶排列對(duì)換概念，對(duì)換一次就改變了排列的奇偶性，交換行列式任意兩行或兩列，行列式符號(hào)改變。N階行列式定義注：可以將行定成標(biāo)準(zhǔn)排列，符號(hào)看列逆序數(shù)；或?qū)⒘卸ǔ蓸?biāo)準(zhǔn)排列，符號(hào)看行的逆序數(shù)。上下三角行列式：第二節(jié)行列式的性質(zhì)1. 互換行列式行與列，行列式值不變，即轉(zhuǎn)置矩陣2. 互換兩行（列），其值不變，行列式值變號(hào)若某兩行（列）元素相同，則D=0交換奇數(shù)次行（列），行列式變號(hào)，交換偶數(shù)次，不變號(hào)。3. 行列式某行（列）公因子可以提到行列式之外。若D中有一行（列）元素為0，則D=0若D中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例，則D=04. 若行列式的某行（列）元

2、素均可以為兩個(gè)數(shù)之和，則可以分為兩個(gè)行列式之和。注：常犯的錯(cuò)誤5. 將行列式的某行(列)的K倍加到另一行（列）上，其值不變。利用上述性質(zhì)可以將一個(gè)一般行列式轉(zhuǎn)化為上或下三角行列式：例題：注：從最后一列起，整列除以x加到前一列上消去-1，再將前一列除以x加到它的前一列上消去-1，如此下去，消去所有-1，得到對(duì)角線型行列式。例題：行和相等加列，列和相等加行。行和相等，將其他所有列加到第一列上，得到第一列每個(gè)元素相等，提出公因子。接著劃為下三角行列式。行列式按行（列）展開，代數(shù)余子式行列式按行（列）展開定理注：等于0，證明是利用代數(shù)余子式的值與該元素所在的行與列元素?zé)o關(guān)，而將該行元素?fù)Q成與其他某行相

3、同的元素，使得原行列式有兩行元素相同，結(jié)果為0第三節(jié)：范德蒙行列式：數(shù)學(xué)歸納法推導(dǎo)。利用遞推法計(jì)算行列式計(jì)算方法：克萊姆法則：齊次線性方程組，非齊次線性方程組的解。與ax=b，ax=0有相似的結(jié)論形式。第四節(jié)：矩陣重點(diǎn)：矩陣的乘法運(yùn)算；伴隨矩陣，逆矩陣；初等變換與初等矩陣；矩陣的概念： 行列式與矩陣區(qū)別:矩陣的行，列不一定相等，矩陣是一個(gè)數(shù)表，行列式是n*n數(shù)表對(duì)應(yīng)的數(shù)值同型矩陣與矩陣相等幾個(gè)特殊類型的矩陣：1. 零矩陣，同型的零矩陣才相等，不同型的零矩陣不等。2. 行矩陣，列矩陣3. 方陣，n行n列的矩陣單位陣=E數(shù)量陣對(duì)角陣上或下三角陣（形式與上下三角行列式類似）對(duì)稱陣正交陣矩陣的運(yùn)算1.

4、 線性運(yùn)算（與數(shù)的加減乘運(yùn)算律一致）加減運(yùn)算（要求是同型矩陣）數(shù)乘運(yùn)算（矩陣中每個(gè)元素都乘上K）2. 矩陣相乘矩陣相乘前提條件：A的列數(shù)等于B的行數(shù)矩陣相乘的規(guī)則：A的每一行元素與B的每一列元素相乘，A的第i行乘上B的第j列的結(jié)果做為新的矩陣的第i行j列的元素，新的矩陣是m行s列的矩陣。矩陣的運(yùn)算律：不滿足交換律AB不等于BA，矩陣相乘滿足結(jié)合律A(BC)=(AB)C矩陣乘法不滿足消去律AB=0不能推出A=0或B=0；AB=AC不能推出B=C矩陣與單位陣相乘（滿足相乘條件時(shí)）還是矩陣本身。例題：矩陣不滿足交換律注：矩陣相乘可以得到一個(gè)數(shù)例題：線性方程組的矩陣表示第五節(jié)1. 方陣的乘冪與多項(xiàng)式：

5、乘冪運(yùn)算方陣多項(xiàng)式注：方陣的形式i）只有方陣才有冪（若不是方陣，則不滿足矩陣相乘的規(guī)則）“=”成立條件時(shí)AB=BA,即相乘可以交換數(shù)量矩陣與方陣相乘滿足交換律：注：若不是數(shù)量矩陣而是另一個(gè)方陣B與方陣A的多項(xiàng)式，如下：只有當(dāng)二者相乘可交換才相等.例題：注：AB=常數(shù)，矩陣和常數(shù)相乘滿足交換律矩陣乘冪計(jì)算方法：此法來(lái)源于上例的啟發(fā)2. 對(duì)角化法3. 歸納法4. 拆和法例如：注B的三次冪一直到N次冪都是零方陣矩陣的轉(zhuǎn)置方陣的行列式（只有方陣才有行列式）注：若A,B不為方陣，則AB，BA可能是方陣，但取行列式就不等。如下例：如上例伴隨矩陣：N階行列式各元素的代數(shù)余子式（不是余子式）Aij構(gòu)成的以下n

6、階方陣：注：伴隨陣個(gè)元素是一個(gè)代數(shù)余子式的值，且不是按照矩陣中元素順序排列的。伴隨陣等式：證明：利用行列式按行按列展開定理，行列式值=行列式任一行或列的元素乘上各自代數(shù)余子式的值，再相加。而任一行或列元素乘上另一行或列元素對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式之和為零（代數(shù)余子式與該行或列元素?zé)o關(guān)，可將該行或列換成與另一行或列相同的元素。）結(jié)果就得到矩陣A取行列式之值乘上n階單位陣。注：伴隨陣是由代數(shù)余子式構(gòu)成，而N階行列式的代數(shù)余子式是一個(gè)N-1階行列式，所以矩陣數(shù)乘K后取伴隨陣中的元素（代數(shù)余子式）都含有K的n-1次方，可以提到矩陣之外。例題：注：用到矩陣的等式，等號(hào)兩邊取行列式任然相等。第六節(jié)逆矩陣：若AB=

7、BA=E,A,B為同階方陣，則A與B互逆?？赡鏃l件與求逆公式與數(shù)的倒數(shù)類比注：提供了證明抽象矩陣可逆的方法。例題：將A的多項(xiàng)式劃為（A-E）*（）=E或kE的形式.利用公式:第七節(jié)分塊矩陣：元素為小矩陣1. 分塊矩陣的運(yùn)算：加法：AB,分法要求A,B分法相同。數(shù)乘KA，無(wú)分法要求。矩陣相乘：AB注：只要保證分塊得到的兩新矩陣滿足矩陣相乘規(guī)則既可，前一個(gè)矩陣的列數(shù)=后一個(gè)矩陣的行數(shù)，而前者行數(shù)與后者列數(shù)無(wú)要求。2. 分塊后的轉(zhuǎn)置矩陣：3. 分塊對(duì)角陣的行列式與逆矩陣?yán)}：二階矩陣伴隨陣，主對(duì)角線元素對(duì)調(diào)，副對(duì)角線元素變號(hào)。求逆，再除以矩陣行列式。分塊形式推廣：主對(duì)角相乘不為零副對(duì)角相乘不為零注：

8、按行列式行互換，將其轉(zhuǎn)化為上例情況。4. 兩種常用的分塊方式：按行分塊法，將每一行作為一個(gè)新矩陣按列分塊法，將每一列作為一個(gè)新矩陣。注：1.任意一個(gè)M*N矩陣即可看成M個(gè)N維行向量組成，也可以看成N個(gè)M維列向量組成。第八節(jié)初等變換1. 矩陣的三種初等行（列）變換第i行與第j行交換，或者，第i列與第j列交換，相當(dāng)于把兩個(gè)方程交換第i行同乘一個(gè)非零常數(shù)，或第i列同乘一個(gè)非零常數(shù)。第j行的K倍加到第i行上去，或者，第j列的k倍加到第i列上。注：i)用初等變換解方程時(shí)，只能用行變換，但列交換時(shí)也可以用。ii）初等變換均可逆。可以變回原來(lái)的矩陣。iii）方程組的初等變換保解（解不變），矩陣的初等變換保秩

9、（秩不變）2. 初等矩陣單位陣實(shí)行一次初等變換得到的矩陣初等矩陣。EEij（ij兩行交換或ij兩列交換）Ei（k）（第i行或i列元素乘上k）Eij（k）（第i行的k倍加到第j行上，或第i列的k倍加到第j列上）初等矩陣的作用：對(duì)矩陣實(shí)施一次初等行（或列）變換，相當(dāng)于左（右）乘相應(yīng)的初等矩陣。例題：將矩陣A第一和第二行交換，相當(dāng)于左乘E123. 初等變換的性質(zhì)：注：也即是，如果A可逆，則通過(guò)多次初等行列變換可以將A變成單位陣。也即是在A左右乘上若干初等矩陣注：求A的逆矩陣，將（A,E ）擺好后，化這個(gè)分塊矩陣為（E,B）,則B即為其逆矩陣。第九節(jié)向量組的線性相關(guān)性1.向量的概念與運(yùn)算：運(yùn)算法則：加

10、減法，數(shù)乘2. 向量組的線性相關(guān)性注：i）向量組中的任一向量都可以該向量組線性表示ii)若一各向量可以由該向量組的部分向量線性表示，那么它可以由該向量組線性表示，只不過(guò)向量組中其他向量前的系數(shù)為零。iii）討論一個(gè)向量是否可由一組向量線性表示的一般方法是利用方程組。線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)。若K1=K2=Ks=0時(shí)才有上向量等式成立，則該向量系列線性無(wú)關(guān)。注：1.含有零向量的向量組必定線性相關(guān)。（零向量前系數(shù)不為零，而其他向量錢的系數(shù)均為零，則等式任然成立，故線性相關(guān)。）3. 對(duì)于抽象的向量組線性相關(guān)性用定義討論。4. 另一種方法為同乘一個(gè)矩陣證明線性相關(guān)性。 例題：利用同乘一個(gè)矩陣證明向量組線性相

11、關(guān)或無(wú)關(guān)。同理，可得其他系數(shù)也為零（利用單個(gè)非零向量必線性無(wú)關(guān)）。第十節(jié)3. 向量組線性相關(guān)性基本性質(zhì)注意：至少有一個(gè)的條件而不是所有。注：利用此性質(zhì)可以快速判斷兩個(gè)向量線性相關(guān)性。推論：向量組整體無(wú)關(guān)，則向量組部分無(wú)關(guān)；若向量組部分相關(guān)，則向量組整體相關(guān)。4. 向量組的極大無(wú)關(guān)組與秩就是：找一個(gè)由最少的向量構(gòu)成的無(wú)關(guān)部分向量組，將其他向量用它來(lái)線性表示，進(jìn)而代替它們。秩：上述極大無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)稱為整個(gè)向量組的秩。 注：一個(gè)的向量組的極大無(wú)關(guān)組往往不是唯一的。iii）一個(gè)向量組a1，a2as，每個(gè)向量都是n維列向量，如果Sn,則向量組必定線性相關(guān)。ka=0，方程的個(gè)數(shù)為n，而未知數(shù)個(gè)數(shù)為s，

12、故必定有非零解。5.向量組的等價(jià)：注：但是兩個(gè)向量組的秩相等推不出極大無(wú)關(guān)組等價(jià)第十一節(jié)向量組的秩的性質(zhì)：說(shuō)明：向量組的秩就是向量空間的的維數(shù)：所有三維向量均可以用三維坐標(biāo)系表示，而二維向量也可以由三維坐標(biāo)系線性表示，但反過(guò)來(lái)不行。說(shuō)明：性質(zhì)4是性質(zhì)3的逆否命題。證明向量組線性無(wú)關(guān)的常用方法：1. 用線性無(wú)關(guān)的定義2. 用秩的語(yǔ)言，若向量組的秩為向量的個(gè)數(shù)（即維數(shù)等于向量的個(gè)數(shù)），即它本身就是最大無(wú)關(guān)組，故線性無(wú)關(guān)。矩陣的秩 矩陣的K階子式定義 ：K階子式是一個(gè)行列式 矩陣的秩的定義(所有矩陣都有秩)矩陣秩的性質(zhì):最高階數(shù)的子式是min（m，n）轉(zhuǎn)置行列式值不變K階子式為零，那么K+1階子式一

13、定為零，行列式按行按列展開后代數(shù)余子式為K階行列式，而他們均為零，故有上結(jié)論。對(duì)于N階方陣：秩為零，那么就有一階子式全為零，而一階子式就是矩陣中的每個(gè)元素，因此矩陣為零矩陣，從而矩陣行列式必為零矩陣的性質(zhì)2：1.初等變換不改變矩陣的秩2.矩陣A的秩=按行分塊后的列向量組的秩=按列分塊后的行向量組的秩=A經(jīng)過(guò)初等變換為行階梯型中非零行的個(gè)數(shù)（求矩陣的秩常用方法，按定義求麻煩）3.N階矩陣A的秩為N，說(shuō)明有一個(gè)N階子式不為零，而N階子式就是矩陣A的行列式，因此矩陣A的行列式不為零，也就是A矩陣可逆，也就是A按行分塊后的列向量組線性無(wú)關(guān)，按列分塊后的行向量組線性無(wú)關(guān)?！?”處是做初等變換把B消去，秩

14、不變。例題：無(wú)論給的向量組為行向量還是列向量，都按列排，做行變換。5. 向量空間（數(shù)一）概念內(nèi)積正交概念：兩個(gè)向量?jī)?nèi)積為零。（空間解析幾何中兩個(gè)向量垂直。）向量模：斯密特正交化方法：（只需記到兩個(gè)向量正交化方法）規(guī)范正交基（數(shù)一）注：?jiǎn)挝换笫鼓?正交矩陣,矩陣A乘上(左乘或右乘)它的轉(zhuǎn)置矩陣=E方程組齊次和非齊次方程組的解法。方程組的三種形式：1.2.矩陣形式：3. 向量形式：將系數(shù)矩陣進(jìn)行列分塊，由于有M行，故列向量都是m維的。注：系數(shù)矩陣的行數(shù)=方程的個(gè)數(shù)系數(shù)矩陣的列數(shù)=未知量的個(gè)數(shù)特解通解：當(dāng)Ax0=b，則X0為方程組的一個(gè)特解，方程組的所有解稱為通解。公共解，則它就是兩個(gè)方程組的公

15、共解。奇次方程有非零解的條件和解的結(jié)構(gòu)奇次方程解的判斷：1.只有零解的充要條件是：系數(shù)矩陣的秩r（A）=n，因?yàn)榫仃嚨闹仁菍⒕仃嚱?jīng)過(guò)初等行變換得到的行階梯型矩陣的非零行的行數(shù)，反映到方程組就是有效方程的個(gè)數(shù)（若有零行，則該行確定的方程是0=0的恒等式），而系數(shù)矩陣的列數(shù)就是方程組未知量x的個(gè)數(shù)，只有當(dāng)有效方程的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù)，方程組才有唯一解，對(duì)于奇次，就是只有零解。2.方程組有非零解，即有無(wú)窮解充要條件是r（A）n.特別的1.=0，只有零解0（r（A）=n.等價(jià)于唯一一個(gè)n階子式0） 2.=0，有非零解=0，（r（A）n.等價(jià)于唯一一個(gè)n階子式=0）注:只有零解,則列向量線性關(guān)系式前系

16、數(shù)全為零,方程組只有唯一解,方程組的個(gè)數(shù)等于未知量的個(gè)數(shù),進(jìn)而列向量矩陣秩=未知量的個(gè)數(shù).解題總結(jié)：證明向量組線性相關(guān)性方法：第十三節(jié)1. 齊次解的結(jié)構(gòu)解的性質(zhì)齊次方程組的基礎(chǔ)解系通解對(duì)于齊次的，將方程組的系數(shù)矩陣A做初等行變換行階梯型，（1）若=n，則方程組只有唯一零解（方程個(gè)數(shù)=未知量個(gè)數(shù)），無(wú)基礎(chǔ)解系；（2）若n,則方程組有基礎(chǔ)解系，并進(jìn)一步化行階梯型為行最簡(jiǎn)型（非零行第一個(gè)非零元素為1，而與它同列的其他元素均為零，就可以方便的得到解），寫出等價(jià)方程組（去掉零行無(wú)效方程組），確定自由變量，并把所有變量用自由變量表示，得到基礎(chǔ)解系。（n-r表示：n個(gè)未知量-r個(gè)方程，也即是自由變量個(gè)數(shù)），

17、寫出通解例題：2. 非齊次線性方程組有解的條件及解的結(jié)構(gòu)： 解的情況判定注釋：增廣矩陣經(jīng)過(guò)初等行變換后得到的行階梯型或行最簡(jiǎn)型時(shí)，系數(shù)矩陣的秩不等于增廣矩陣的秩，說(shuō)明一定有矛盾方程0=a（a0）出現(xiàn)，故方程組無(wú)解；若兩者秩相等，則必有解，若秩相等且等于系數(shù)矩陣A的列數(shù)n（即方程組未知量個(gè)數(shù)），那么有唯一解，否則有無(wú)窮解。3.非齊次解的結(jié)構(gòu)：解的性質(zhì)， 非齊次的通解：非齊次通解=對(duì)應(yīng)齊次的通解+非齊次的一個(gè)特解。 求非齊次方程組通解的過(guò)程：1. 用初等行變換化增廣矩陣（A,b）為行階梯型，看r（A）與r（A,b）是否相等？2. 若不等，則一定有矛盾方程，方程組無(wú)解；若相等都等于r，（1）都等于系

18、數(shù)矩陣A的列數(shù)n（未知量個(gè)數(shù)），無(wú)自由變量，則有唯一解。（2）若都小于A的列數(shù)n，則有自由變量n-r個(gè)，按上述通解結(jié)構(gòu)寫出通解。例題：第十五節(jié)重點(diǎn)：特征值，特征向量的求解 方陣對(duì)角化條件，方法1. 相似的概念與性質(zhì)，方陣對(duì)角化的條件。定義：注：相似變換是一種特殊的等價(jià)變換，并且只針對(duì)方陣才有相似變換。相似關(guān)系滿足等價(jià)三性，反身型，對(duì)稱性，傳遞性性質(zhì)：方陣可對(duì)角化條件：推導(dǎo)過(guò)程：為A的特征向量，為A的特征值。P要可逆，秩為n，則對(duì)P進(jìn)行列分塊得到的n個(gè)n維列向量要是線性無(wú)關(guān)的得充要條件：方陣的特征值與特征向量。只有方陣有冪，只有方陣有逆，只有方陣有伴隨，只有方陣有特征值。特征向量不為零向量特征值與特征向量是成對(duì)出現(xiàn)的。一個(gè)特征值可對(duì)應(yīng)多個(gè)特征向量，但一個(gè)特征向量只能對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值。如下：求解過(guò)程：因此: ,幾個(gè)概念：第十五節(jié)例題精講：總結(jié)：1. 上或下三角方陣或?qū)顷嚨奶卣髦禐橹鲗?duì)角線元素2. K重特征值，對(duì)應(yīng)無(wú)關(guān)特征向量個(gè)數(shù)不超過(guò)K個(gè)特征值，特征向量的性質(zhì)性質(zhì)3.A屬于不同特征值的特征向量線性無(wú)關(guān)。，當(dāng)=0時(shí)可以得（2）對(duì)角化的問(wèn)題：N階方陣有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量方陣可對(duì)角化只要對(duì)應(yīng)的K重特征值有K個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量行列式的值是關(guān)于的三階多項(xiàng)式，不能直接展開，常利用上面兩種方法提出公因子。線代大題命題方向：1.方程組和向量2.特征值和二次型實(shí)對(duì)稱陣