換元積分法1PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 換元積分法換元積分法1 2021-8-22 第四章 一、第一類換元積分法 二、第二類換元積分法 （Integration by Substitution） 三、小結(jié)與思考題 第1頁/共19頁 2021-8-23 第二類換元法 第一類換元法 xxxfd)()( uufd)( 設(shè) , )()(ufuF)(xu 可導(dǎo), ( )( )dfxxx 故 CxF)( )( d)( xu uuf )( )( xu CuF )(dxFxxxfd)()( 則有 基本思路 第2頁/共19頁 2021-8-24 定理1 ,)(有原函數(shù)設(shè)uf,)(可導(dǎo)xu 則有換元 公式 xxxfd)()( ()d( )(

2、)xfx ( )duf u )(xu (也稱配元法、 湊微分法) 第3頁/共19頁 2021-8-25 2sin2 dx x 提示：令 2ux 例1 求cos2xC 例2 求 1 d 12 x x 提示：令 1 2ux 1 ln |1 2 | 2 xC 例3 求 () d(1 . ) m axbmx 解: 令 ,bxau 則 ,ddxau 故 原式 = m uu a d 1 a 1 Cu m m 1 1 1 1 )( ) 1( 1 m bxa ma C 第4頁/共19頁 2021-8-26 2 2 exxdx 例4 求 答案： 2 e x C 例5 求 tan dcot dx xx x 和 例

3、6 求 22 d . x ax 答案： 1 arctan x C aa 例7 求 22 d (0). x a ax 解: 2 )(1 d a x a x 2 )(1 )(d a x a x C a x arcsin 22 d xa x 例8 求 22 d . x xa 答案： 1 ln 2 xa C axa 第5頁/共19頁 2021-8-27 xbxafd)() 1 ( )(bxaf)(dbxa a 1 xxxf nn d)()2( 1 )( n xf n xd n 1 1 ()(3d) n f xx x )( n xf n xd n 1 n x 1 xxxfdcos)(sin)4( )(s

4、in xfxsind xxxfdsin)(cos)5( )(cos xfxcosd 常用的幾種配元形式: 第6頁/共19頁 2021-8-28 xxxfdsec)(tan)6( 2 )(tan xfxtand xeef xx d)()7( )( x ef x ed x x xfd 1 )(ln)8( )(ln xfxlnd . )ln21 ( d xx x xln21 xlnd 解: 原式 = xln212 1 )ln21 (dx Cx ln21ln 2 1 例9 求 第7頁/共19頁 2021-8-29 .d 3 x x e x 解: 原式 = xe x d2 3 )3d( 3 2 3 xe

5、 x Ce x 3 3 2 例11 求 .dsec 6 xx 解: 原式 = xdxx 222 sec) 1(tan xtand xxxtand) 1tan2(tan 24 x 5 tan 5 1 x 3 tan 3 2 xtanC 例10 求 第8頁/共19頁 2021-8-210 . 1 d x e x 解法1 x e x 1 d x e ee x xx d 1 )1 ( xd x x e e 1 )1 (d xCe x )1ln( 解法2 x e x 1 d x e e x x d 1 x x e e 1 )1 (d Ce x )1ln( )1(ln)1ln( xxx eee 兩法結(jié)果一

6、樣 例12 求 第9頁/共19頁 2021-8-211 .dsec xx 解法1 例13 求 xxsin1 1 sin1 1 2 1 xxdsec x x x d cos cos 2 x x 2 sin1 sind dsin x xsin1ln 2 1 Cxsin1ln C x x sin1 sin1 ln 2 1 第10頁/共19頁 2021-8-212 xxtansec xxdsec x x d sec xxtansec )tan(secxx x xx xxx d tansec tansecsec 2 )tan(secdxx Cxxtansecln 同樣可證 xxdcscCxxcotcsc

7、ln 或 xxdcscC x 2 tanln 解法 2 第11頁/共19頁 2021-8-213 2 22 d )( 2 1 2 3 x ax .d )( 2 3 22 3 x ax x 解: 原式 = 2 3 )( 22 ax 22 dxx 2 1 222 )(aax 2 1 )( 2 1 22 ax)(d 22 ax 2 3 )( 2 22 2 ax a )(d 22 ax 22 ax 22 2 ax a C 例14 求 第12頁/共19頁 2021-8-214 )2cos2cos21 ( 2 4 1 xx .dcos 4 xx 解: 422 cos(cos)xx由 2 ) 2 2cos1

8、 ( x )2cos21 ( 2 4cos1 4 1x x )4cos2cos2( 2 1 2 3 4 1 xx 4 cosdx x 得xxxd)4cos2cos2( 2 1 2 3 4 1 4 1 xd 2 3 )2d(2cosxx )4(d4cos 8 1 xx x 8 3 x2sin 4 1 x4sin 32 1 C 例15 求 第13頁/共19頁 2021-8-215 .d3cossin 22 xxx 解: 22 sincos 3xx 2 2 1 )2sin4(sinxx xxxx2sin2sin4sin24sin 2 4 1 4 1 2 4 1 )8cos1 ( 8 1 x xx2c

9、os2sin 2 )4cos1 ( 8 1 x 故原式 = xd 4 1 )8d(8cos 64 1 xx )2(sind2sin 2 2 1 xx )4d(4cos 32 1 xx x 4 1 x8sin 64 1 x2sin 3 6 1 x4sin 32 1 C 例16 求 第14頁/共19頁 2021-8-216 常用簡化技巧: (1) 分項(xiàng)積分: (2) 降低冪次: (3) 統(tǒng)一函數(shù): 利用三角公式 ; 配元方法 (4) 巧妙換元或配元 等xx 22 cossin1 ; )2cos1 (sin 2 1 2 xx; )2cos1 (cos 2 1 2 xx 萬能湊冪法 xxxf nn d

10、)( 1nn n xxfd)( 1 x x xf n d 1 )( n x n n xxf n d)( 11 利用積化和差; 分式分項(xiàng); 利用倍角公式 , 如 第15頁/共19頁 2021-8-217 思考與練習(xí) 1. 下列各題求積方法有何不同? x x 4 d ) 1 ( 2 4 d )2( x x x x x d 4 )3( 2 x x 4 )4(d 2 2 2 2 1 )(1 )d( x x 2 2 2 1 4 )4(d x x x x x d 4 )4( 2 2 2 4 d )5( x x x x d 4 4 1 2 4 1 xx 2 1 2 1 xd 2 4 d )6( xx x 2 )2(4x )2(dx 第16頁/共19頁 2021-8-218 x x xd 1 1 ) 1 3 2 ) 1(d 1 1 3 1 3 3 x x Cx1 3 2 3 x xx x d 21 32 )2 2 x xx d 21 2 5)22(x 2 2 21 )21d( xx xx 5 2 ) 1(2 x ) 1d( x 2 212xx C x 2 1 arcsin5 2. 求下列積分: 第17頁/共19頁 2021-8-219 求不定積分 解： .d si