變化的電磁場-習題課

1、第第1717章章 變化的電磁場變化的電磁場 磁通量變化磁通量變化磁場能量磁場能量 感應電動勢感應電動勢 動生電動勢動生電動勢感生電動勢感生電動勢 自感電動勢自感電動勢互感電動勢互感電動勢 自感磁能自感磁能互感磁能互感磁能 1 d 2 m WB H V 21I IM 2 2 1 LI t I M d d 2 1 t I L L d d sL S t B lE dd 感感 t d d L lBv d)( 電磁感應電磁感應 磁場能量密度磁場能量密度 BHH B w m 2 1 2 1 2 1 2 2 d D j t D d I t d d 麥克斯韋方程組麥克斯韋方程組 電磁場理論電磁場理論 SL S

2、 SL S S t D jlH SB S t B lE qSD d)(d 0d dd d 0 0 位移電流密度位移電流密度 位移電流位移電流 一、基本概念一、基本概念 1、 感應電動勢感應電動勢 動生電動勢（洛倫茲力）動生電動勢（洛倫茲力） 感生電動勢（感應電場）感生電動勢（感應電場） 2、感應電場；、感應電場； 3、自感；、自感； 4、互感；、互感； 5、位移電流、位移電流 二、基本規(guī)律二、基本規(guī)律 1、法拉第電磁感應定律、法拉第電磁感應定律 t N t t d d d d d d , 2、 楞次定律（判定感應電流和感應電動勢的方向）楞次定律（判定感應電流和感應電動勢的方向） 三、計算類型三

3、、計算類型 1、 感應電動勢的計算：感應電動勢的計算： ）。線線部部分分的的）式式求求。（此此時時需需輔輔助助再再用用（ 輔輔助助線線構(gòu)構(gòu)成成（閉閉合合），）中中的的（一一段段）也也可可加加）（ 閉閉合合）： （一一段段）： 感感生生）（ ）：閉閉合合 （一一段段）： 動動生生）（ 閉閉合合）：法法拉拉第第電電磁磁感感應應定定律律（）（ 方方法法小小結(jié)結(jié)：求求 感感 感感 01 32 ( 3 )( )( 2 1 SL b a ab b a ab Sd t B ldE ldE ldBv ldBv dt d （4）自感電動勢的計算：）自感電動勢的計算： （5）互感電動勢的計算：）互感電動勢的計算：

4、 L I L t d d 2 1 I M t d d 2、自感和互感的計算：、自感和互感的計算： 2 2 m W L II 3、 磁場能量的計算：磁場能量的計算： 21 2 22 2 11 2 1 2 1 IMIILILWm 2 2 1 LIWm HBBHH B w m 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 VHBW V m d 2 1 2112 12 M II 四、幾個特殊的結(jié)論四、幾個特殊的結(jié)論 無限長螺線管的自感無限長螺線管的自感 VnL 2 同軸電纜的自感同軸電纜的自感 1 2 ln 2R Rl L t Br E 2 感感內(nèi)內(nèi) t B r R E 2 2 感外感外 圓柱形空間內(nèi)均勻變

5、化的均勻磁場產(chǎn)生的感應電場：圓柱形空間內(nèi)均勻變化的均勻磁場產(chǎn)生的感應電場： 典型選擇題典型選擇題: 1、 在一自感線圈中通過的電流在一自感線圈中通過的電流I 隨時間隨時間 t 的變化規(guī)律如圖的變化規(guī)律如圖(a) 所示，若以所示，若以I 的正方向作為的正方向作為的正方向，則代表線圈內(nèi)的正方向，則代表線圈內(nèi)自感自感 電動勢電動勢 隨時間變化規(guī)律的曲線為下圖中的哪一個隨時間變化規(guī)律的曲線為下圖中的哪一個? (a) O I t I L t d d O )(A t t O )(C t O )(D t O )(B 2.2.在感應電場中電磁感應定律可寫成在感應電場中電磁感應定律可寫成 , , 式中式中 為為

6、 感應電場的電場強度感應電場的電場強度 。此式表明：。此式表明： A A）閉合曲線）閉合曲線 L 上上 處處相等處處相等. . B B）感應電場是保守力場）感應電場是保守力場. . C C）感應電場的電力線不是閉合曲線）感應電場的電力線不是閉合曲線. . D D）在感應電場中不能像對靜電場那樣引入電勢的概念）在感應電場中不能像對靜電場那樣引入電勢的概念. . d d d i L El t i E i E 3.3.用線圈的自感系數(shù)用線圈的自感系數(shù)L來表示載流線圈磁場能量的公式來表示載流線圈磁場能量的公式 2 1 2 m WLI (A)只適用于無限長密繞螺線管只適用于無限長密繞螺線管. (B)只適

7、用于單匝圓線圈只適用于單匝圓線圈. (C)只適用于一個匝數(shù)很多只適用于一個匝數(shù)很多,且密繞的螺線管且密繞的螺線管. (D)適用于自感系數(shù)適用于自感系數(shù) L 一定的任意線圈一定的任意線圈. 4. 在真空中一個通有電流的線圈在真空中一個通有電流的線圈a 所產(chǎn)生的磁場內(nèi)有另一個線圈所產(chǎn)生的磁場內(nèi)有另一個線圈 b，a和和b相對位置固定，若線圈相對位置固定，若線圈b中沒有電流通過，則線圈中沒有電流通過，則線圈b與與a間間 的互感系數(shù)的互感系數(shù): (A)(A)一定為零一定為零 (B)(B)一定不為零一定不為零 (C)(C)可以不為零可以不為零 (D)(D)不可確定不可確定 5、一導體棒、一導體棒ab在均勻

8、磁場中沿金屬導軌向右作勻加速運動，磁在均勻磁場中沿金屬導軌向右作勻加速運動，磁 場方向垂直導軌所在平面。若導軌電阻忽略不計，并設(shè)鐵芯磁場方向垂直導軌所在平面。若導軌電阻忽略不計，并設(shè)鐵芯磁 導率為常數(shù)，則達到穩(wěn)定后在電容器的導率為常數(shù)，則達到穩(wěn)定后在電容器的M 極板上：極板上： A A）帶有一定量的正電荷。）帶有一定量的正電荷。 B B）帶有一定量的負電荷。）帶有一定量的負電荷。 C C）帶有越來越多的的正電荷。）帶有越來越多的的正電荷。D D）帶有越來越多的負電荷。）帶有越來越多的負電荷。 M N b a v B 鐵芯鐵芯 H L1 L2 1 d L lH 2 d L lH (B) 1 d

9、L lH 2 d L lH (C) 0d 1 L lH (D) 6. 如圖，平板電容器如圖，平板電容器(忽略邊緣效應忽略邊緣效應)充電時，沿環(huán)路充電時，沿環(huán)路L1的磁場強的磁場強 度度 的環(huán)流與沿環(huán)路的環(huán)流與沿環(huán)路L2 的磁場強度的磁場強度 的環(huán)流兩者，必有：的環(huán)流兩者，必有： H H (A) 2 d L lH 1 d L lH 7.一閉合正方形線圈放在均勻磁場中，繞通過其中心且與一邊平行一閉合正方形線圈放在均勻磁場中，繞通過其中心且與一邊平行 的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)軸 OO 轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸與磁場方向垂直，轉(zhuǎn)動角速度為轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)軸與磁場方向垂直，轉(zhuǎn)動角速度為，如圖所如圖所 示。用下述哪種方法可以使線圈中感應電流

10、的示。用下述哪種方法可以使線圈中感應電流的幅值幅值增加到原來的增加到原來的 兩倍兩倍(電阻不可忽略電阻不可忽略)? (A)把線圈匝數(shù)增加到原來的兩倍把線圈匝數(shù)增加到原來的兩倍. (B)把線圈的面積增加到原來的兩倍把線圈的面積增加到原來的兩倍,而形狀不變而形狀不變. (C)把切割磁力線的兩條邊增長到原來的兩倍把切割磁力線的兩條邊增長到原來的兩倍. (D)把線圈的角速度增大到原來的兩倍把線圈的角速度增大到原來的兩倍. O O B 8、對位移電流，有下列四種說法，請指出哪一種說法正確、對位移電流，有下列四種說法，請指出哪一種說法正確? A ) 位移電流是由變化的電場產(chǎn)生的。位移電流是由變化的電場產(chǎn)生

11、的。 B ) 位移電流是由線性變化的磁場產(chǎn)生的。位移電流是由線性變化的磁場產(chǎn)生的。 C ) 位移電流的熱效應服從焦耳位移電流的熱效應服從焦耳楞次定律。楞次定律。 D ) 位移電流的磁效應不服從安培環(huán)路定理。位移電流的磁效應不服從安培環(huán)路定理。 12.如圖如圖,一長直導線中通有電流一長直導線中通有電流I，有一與長直導線共面垂直于，有一與長直導線共面垂直于 導線的細金屬棒導線的細金屬棒AB，以速度，以速度v 平行于長直導線作勻速運動平行于長直導線作勻速運動,問問: I AB v (1)金屬棒金屬棒A、B兩端的電勢哪一個高兩端的電勢哪一個高? (2)若電流反向，則又如何若電流反向，則又如何? (3)

12、若將金屬棒與導線平行放置，結(jié)若將金屬棒與導線平行放置，結(jié) 果又如何果又如何? 10.一自感線圈中一自感線圈中, 電流強度在電流強度在0.002s內(nèi)均勻地由內(nèi)均勻地由10A增加到增加到12A, 此過程中線圈內(nèi)自感電動勢為此過程中線圈內(nèi)自感電動勢為400V, 則線圈自感系數(shù)則線圈自感系數(shù)L H 0.4 11.自感系數(shù)自感系數(shù)L=0.3H的螺線管中通以的螺線管中通以I=8A的電流時，螺線管存的電流時，螺線管存 儲的磁場能量儲的磁場能量 W= J 9.6 A B A、B電勢相等電勢相等 9.長為長為L=40cm的直導線，在均勻線圈磁場中以的直導線，在均勻線圈磁場中以v=5 m/s的速度的速度 沿垂直于

13、磁感線的方向運動時，導線兩端的電動勢為沿垂直于磁感線的方向運動時，導線兩端的電動勢為0.3V， 則該磁場的磁感應強度則該磁場的磁感應強度B= T0.15 例例11一半徑為一半徑為r2，電荷線密度為，電荷線密度為的均勻帶電圓環(huán)，里面有一的均勻帶電圓環(huán)，里面有一 半徑為半徑為r1總電阻為總電阻為R的導體環(huán)，兩環(huán)共面同心的導體環(huán)，兩環(huán)共面同心(r2r1)，當大環(huán)，當大環(huán) 以變角速度以變角速度=(t) 繞垂直于環(huán)面的中心軸旋轉(zhuǎn)時，求小環(huán)中繞垂直于環(huán)面的中心軸旋轉(zhuǎn)時，求小環(huán)中 的感應電流，其方向如何的感應電流，其方向如何? 解解:等效電流為等效電流為: 2 )( 2 2 )( 2 rt r T q I

14、t 在圓心處形成的磁場為在圓心處形成的磁場為: 2 )( 2 )( 2 0 2 20 2 0 t r rt r I B 2 1 0 1 0 2 )( 2 )( r t S t BS dt tdr dt d)( 2 2 10 1 r 2 r )(t dt td R r R i )( 2 2 10 OR a E l d B t Br ERr 2 : 感感 t B r R ERr 2 : 2 感感 l dEd 感感 cos 2 2 dl t B r R d t BR rd t B r R 22 22 d t BR d 2/ 2/ 2 2 t BR 2 2 t BR 2 2 例例22在半徑為在半徑為R

15、的圓柱形空間內(nèi)的圓柱形空間內(nèi), ,充滿磁感應強度為充滿磁感應強度為B的均勻磁的均勻磁 場場, ,B B 的方向與圓柱的軸線平行的方向與圓柱的軸線平行, ,有一無限長直導線在垂直有一無限長直導線在垂直 于圓柱中心軸線的平面內(nèi)于圓柱中心軸線的平面內(nèi), ,兩線相距為兩線相距為a，aR，如圖所示如圖所示, , 已知磁感應強度隨時間的變化率為已知磁感應強度隨時間的變化率為 , ,求長直導線中的求長直導線中的 感應電動勢感應電動勢, ,并討論其方向并討論其方向. . tB / 解法解法1 1: :設(shè)設(shè) 為正為正, ,則感應電場的方向為逆時針方向則感應電場的方向為逆時針方向: :tB / 方向從左向右方向從

16、左向右 若若 t B 為負，則電動勢方向從右到左。為負，則電動勢方向從右到左。 法法22 2 2 1 )(R t B BS tdt d 與上述結(jié)果一致與上述結(jié)果一致 OR a B E 如圖，選取過軸線而平行于給定的無限長如圖，選取過軸線而平行于給定的無限長 直導線的一條無限長直導線與給定的無限直導線的一條無限長直導線與給定的無限 長直導線構(gòu)成閉合回路（在無限遠處閉合）。長直導線構(gòu)成閉合回路（在無限遠處閉合）。 則則在過軸線的無限長直導線上，因場強處處與之垂直在過軸線的無限長直導線上，因場強處處與之垂直， 所以，電動勢為零。而在無限遠處所以，電動勢為零。而在無限遠處 ， 故此回路中的故此回路中的

17、 電動勢就是給定的無限長直導線中的電動勢。電動勢就是給定的無限長直導線中的電動勢。 0E 該回路的磁通量：該回路的磁通量： BR 2 2 1 例例3電量電量Q均勻分布在半徑為均勻分布在半徑為a、長為、長為L（L a ）的絕緣薄壁長）的絕緣薄壁長 圓筒表面上，圓筒以角速度圓筒表面上，圓筒以角速度 繞中心轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。一半徑為繞中心轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)。一半徑為 2a、電阻為、電阻為R 的單匝圓形線圈套在圓筒上。若圓筒轉(zhuǎn)速按的單匝圓形線圈套在圓筒上。若圓筒轉(zhuǎn)速按 照照 = 0( 1 t / t0 ) 的規(guī)律隨時間線性減小，求圓形線圈中的規(guī)律隨時間線性減小，求圓形線圈中 感應電流的大小和方向。感應電流的大小和方向。

18、 a a2 解：薄壁長圓筒表面的電荷旋轉(zhuǎn)時等效解：薄壁長圓筒表面的電荷旋轉(zhuǎn)時等效 于密繞螺線管：于密繞螺線管： 。 式中式中nI 為單位長度上的圓電流的電流強度。為單位長度上的圓電流的電流強度。 nIB 0 單位長度帶電：單位長度帶電： L Q 單位長度的電流：單位長度的電流： L Q nI 22 故圓筒內(nèi)：故圓筒內(nèi)： L Q B 2 0 單匝圓線圈的磁通量：單匝圓線圈的磁通量： L Qa aBBS 2 2 02 0 2 00 2Lt aQ dt d RLt aQ R I 0 2 00 2 電流方向：與長圓筒電荷運動的繞向一致。電流方向：與長圓筒電荷運動的繞向一致。 例例44半徑為半徑為R 的

19、長直螺線管單位長度上密繞有的長直螺線管單位長度上密繞有n 匝線圈，在管匝線圈，在管 外有一包圍著螺線管、面積為外有一包圍著螺線管、面積為S的圓線圈，其平面垂直于螺的圓線圈，其平面垂直于螺 線管軸線。螺線管中電流線管軸線。螺線管中電流i 隨時間作周期為隨時間作周期為T 的變化的變化. . 求求: : 圓線圈中的感生電動勢圓線圈中的感生電動勢i 。畫出。畫出i- t 曲線，注明時間坐標。曲線，注明時間坐標。 R S i in 解：螺線管內(nèi)磁感應強度為：解：螺線管內(nèi)磁感應強度為：niB 0 圓線圈的磁通量為：圓線圈的磁通量為： niRRB 2 0 2 感生電動勢：感生電動勢： dt di nR dt

20、 d 2 0 由圖知：由圖知： .) 4 7 4 5 , 4 3 4 ( 4 .) 4 5 4 3 , 4 0( 4 TTTT t T I TTT t T I dt di m m O I t m I 4 T m I 4 3T T .) 4 7 4 5 , 4 3 4 ( 4 .) 4 5 4 3 , 4 0( 4 2 0 2 0 TTTT t T IRn TTT t T IRn m m 4 T 4 3T 4 5T t A dx B II x r2 r1 O b a x 解：對這類題目主要類型有：解：對這類題目主要類型有： I不變，線圈以不變，線圈以v運動；運動；I變化，變化， 線圈不動；線圈不

21、動；I變化，線圈運動。都變化，線圈運動。都 應先求出應先求出B分布，然后求出分布，然后求出(t), 最后求出最后求出d /dt. 選順時針方向為選順時針方向為的正方向，取的正方向，取 面元面元dS=adx BadxBdSSdBd )(22 21 00 rrx I x I B )ln(ln 2 ) 11 ( 2 2 2 1 10 21 0 1 1 r br r brIa dx rrxx Ia br r )ln(lncos 2 2 2 1 10 r br r br t Ia dt d 例例55如圖，兩條平行導線和一個矩形導線框共面，且導線框如圖，兩條平行導線和一個矩形導線框共面，且導線框 的一個邊

22、與長導線平行，到兩長導線的距離分別為的一個邊與長導線平行，到兩長導線的距離分別為r1、 r2， 已已 知兩導線中電流都為知兩導線中電流都為II0sint。 I0、為常數(shù)。導線框長為為常數(shù)。導線框長為a， 寬為寬為b。求導線框中電動勢。求導線框中電動勢。 當當cost0時，時，0, 沿逆時針方向；沿逆時針方向； 當當cost0, 沿順時針方向沿順時針方向。 例例66如圖，長直導線如圖，長直導線AB中的電中的電 流流I沿導線向上，并以沿導線向上，并以dI/dt=2A/s 的變化率均勻增長，導線附近放的變化率均勻增長，導線附近放 一個與之同面的直角三角形線框，一個與之同面的直角三角形線框， 其一邊與

23、導線平行，位置及尺寸其一邊與導線平行，位置及尺寸 如圖，求線框中的感應電動勢的如圖，求線框中的感應電動勢的 大小和方向。大小和方向。 B A b I x y x dx d h h=20cm d=5cm b=10cm 解：與上題類似，只是計算解：與上題類似，只是計算的的 難度要增加。難度要增加。 以三角形直角頂點為原點建立坐標系，規(guī)定順時針以三角形直角頂點為原點建立坐標系，規(guī)定順時針 方向為正。方向為正。 SdBd 而直角三角形斜邊的方程為而直角三角形斜邊的方程為 y = -2x+h = -2x+0.2 )(2 d d,dd, )(2 00 xd xIy xyS xd I B I x xx xI

24、 x x xI x x xI xd xyI xd xIy bb bbb 8 0 0 0 0 0 0 0 00 0 1059. 2 d) 05. 0 15. 0 05. 0 05. 0 (d 05. 0 1 . 0 d 05. 0 2 . 02 2 d 2)(2 d V. dt dI . dt d 88 1018510592 其方向為逆時針方向其方向為逆時針方向。 17-4 因因Rr 可將通過小線圈的可將通過小線圈的B視為相等，等于在軸線上的視為相等，等于在軸線上的B 23 22 2 0 2xR IR B 由于由于xR，有，有 3 2 0 2x IR B 所以所以 t x x ISR t d d

25、 3 2d d 4 2 0 而而 v t x d d 因此因此 x=NR 時，時， 24 2 0 2 3 RN vrI 部分課后題解答：部分課后題解答： 17-5 解解 圓盤可看成無數(shù)由中心向外的導線構(gòu)成的，每個導圓盤可看成無數(shù)由中心向外的導線構(gòu)成的，每個導 線切割磁感線運動且并聯(lián)，因此有線切割磁感線運動且并聯(lián)，因此有 2 0 2 1 dd)(BRrrBlBv R L 感 因電動勢大于零，且積分方向由圓心至邊緣，所以邊緣處因電動勢大于零，且積分方向由圓心至邊緣，所以邊緣處 電勢高電勢高(或由右手定則判斷或由右手定則判斷) 代入數(shù)據(jù)得：代入數(shù)據(jù)得： 2 1 30 0 6 0 150 2 2 .V

26、 17-7 解解 由動生電動勢公式有由動生電動勢公式有 A O lBv d)( OA A O lrBdsin A O LBl sinsind 22 1 2 BL sin 故故A點電勢高（或用右手定則判斷）點電勢高（或用右手定則判斷） 0 OA A O lrBdcos 17-11解解 取微元取微元 , 則則dS處的處的B為為 laSdd )(2 0 lx i B la lx i d 2 dd 0 SB x bxai la lx i b ln 2 d 2 0 0 0 )lncos( d d 2 ln d d 2d d 0 00 x bx tI t a x bx i t a t t xbx bv x bx t a