極限的存在準則PPT學習教案

1、會計學1 極限的存在準則極限的存在準則 1 2 12 , , max, , , ,lim. n n nn nnn nn n nNya nNza NNNnN ayaaza nNayxza xaxa 當當時時恒恒有有 當當時時恒恒有有 取取時時上上述述兩兩式式同同成成立立. . 即即 當當時時 恒恒有有 即即成成立立 上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限上述數(shù)列極限存在的準則可以推廣到函數(shù)的極限 第1頁/共28頁 準則準則 如果當如果當)( 0 0 xUx ( (或或Mx ) )時時, ,有有 ,)(lim,)(lim)2( ),()()()1( )()( 00 AxhAxg xhxfxg

2、x xx x xx 那末那末)(lim )( 0 xf x xx 存在存在, , 且等于且等于A. . 注意注意 : : ( )( ) ,( ) ( ) n nnn y zg xh xyzg x h x 利利用用夾夾逼逼準準則則求求極極限限關關鍵鍵是是構(gòu)構(gòu)造造出出 與與 （或或與與）并并且且 與與 （或或與與 ）的的極極限限是是容容易易 求求得得的的。 準則準則 I和和準則準則 I稱為稱為夾逼準則夾逼準則 或稱為或稱為兩邊夾定理兩邊夾定理 。 有人形象地稱之為有人形象地稱之為“Sandwich Theorem”。 第2頁/共28頁 例例1 ). 1 2 1 1 1 (lim 222 nnnn

3、n 求求 解解 2 22 22 2 2 2 2 1 lim01,2, 111 lim() 12 111 limlimlim0 12 . 1 lim1, 1 , 11 n n nnn n kn nk nnnn nn n k n n n n n nk 倘倘若若我我們們由由 根根據(jù)據(jù)極極限限的的四四則則運運算算法法則則得得 那那就就錯錯了了 由由于于所所以以我我們們感感覺覺到到在在時時 所所以以做做放放大大、縮縮小小就就有有相相當當于于了了方方向向了了。 第3頁/共28頁 22 11 1, 1 1 lim1, 1 n nn nn nnn n n 又又 由夾逼定理由夾逼定理 得得 222 111 li

4、m()1. 12 n nnnn 222 1,2,(1) ,knnnkn 關鍵在于放大、縮關鍵在于放大、縮 小的尺度把握得當小的尺度把握得當 ！ 222 1 2 22 1 1 , 1 , 11211 ,2, n k n k nn nnnkn nnn nknk 不不過過注注意意放放、縮縮方方案案不不唯唯一一 如如 但但是是 放放得得太太大大、縮縮得得太太小小當當然然都都是是不不行行的的! !如如 則則 第4頁/共28頁 例例2 1 lim 39 xx x x 求求 解解 1 1111 11 1 (9 )(39 )(9 )2 , 9(39 )9 2 , lim(39 ) 21 9 xxxx x xx

5、xx xx xx xx x x x （） 第5頁/共28頁 A C 1 sin lim 0 x x x ,(0) 2 ,. , sin,tan, OAOBxx ACO OABxOABBD xBD xABxAC 設設單單位位圓圓圓圓心心角角 作作單單位位圓圓的的切切線線 得得 扇扇形形的的圓圓心心角角為為的的高高為為 于于是是有有弧弧 x o B D 2. 第一個重要極限第一個重要極限 第6頁/共28頁 2 22 2 00 000 sintan , 0.0, 22 0cos11cos2sin2(), 222 lim0,lim(1cos )0, 2 sin limcoslim s 11,lim1

6、in cos1, . xx xxx xxx xx xxx xx x x x x x x x x 即即 上上式式對對于于也也成成立立當當時時 第7頁/共28頁 例例 3(1) . cos1 lim 2 0 x x x 求求 解解 22 2 2 000 2 2sinsinsin 111 222 limlimlim() 222 () 22 xxx xxx xx x 原原式式 例例 3(2) 33 00 2 0 sin1costansin limlim cos sin1cos11 lim cos2 xx x xxxx xxx xx xxx 3 0 tansin lim x xx x 求求 第8頁/共2

7、8頁 例例4 劉徽劉徽割圓術(shù)：割圓術(shù)：用漸近的方法求圓的面積用漸近的方法求圓的面積A A3 An表示圓內(nèi)接正表示圓內(nèi)接正6 2n-1邊形面積邊形面積, 顯然顯然n越大越大, An越接近于越接近于A. . 1 2 1 11 1 6 2cossin 6 26 2 si3 2 3 n 2 n nn n n n ARR R 1 22 2 1 3 sin limlim 2 3 2 , n n n nn ARR AR 由由 圓圓的的面面積積公公式式為為 . . 第9頁/共28頁 口頭練習題口頭練習題: 00 2 0 sin2 1.lim_,2.limcot3_, sin3 1 sin 1cos2 3.li

8、m_,4.lim_ sin1 xx xx x xx x x x x xxx 第10頁/共28頁 x 1 x 2 x 3 x 1 n x n x 3. 單調(diào)有界收斂準則單調(diào)有界收斂準則 滿足條件滿足條件如果數(shù)列如果數(shù)列 n x , 121 nn xxxx單調(diào)增加單調(diào)增加 , 121 nn xxxx單調(diào)減少單調(diào)減少 單調(diào)數(shù)列單調(diào)數(shù)列 準則準則 單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)有界數(shù)列必有極限. 幾何解釋幾何解釋: AM 第11頁/共28頁 1 11 11 ,; 33,3,3333, ;lim. 3,limlim3, 113113 3,() 22 113 lim. 2 nnn kkk nn n nnnn n

9、n n n xxx xxxx xx xxxx AAAA x 顯顯然然是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的 又又假假定定 是是有有界界的的存存在在 解解得得舍舍去去？ .) (333 的極限存在的極限存在式式 重根重根證明數(shù)列證明數(shù)列nxn 例例5 證證 第12頁/共28頁 e x x x ) 1 1(lime n n n ) 1 1(lim , 1 lim,lim(1)(2.7182 1 ) 8 (1 ) n n n nn n n x xe e n x n 可可以以證證明明：是是有有界界的的 且且是是單單調(diào)調(diào)遞遞增增的的。 存存 記記 在在 記記為為 1727年，瑞士數(shù)學家年，瑞士數(shù)學家 L.Euler（

10、17071783） 最先研究了這一個數(shù)列的收斂性，并且用其姓氏的最先研究了這一個數(shù)列的收斂性，并且用其姓氏的 第一個字母第一個字母 e 表示了這個無理數(shù)。表示了這個無理數(shù)。 4. 第二個重要極限第二個重要極限 第13頁/共28頁 1 0 lim(1) x x xe 1 lim(1)x x e x 1 lim 1 lim(1)(1) x x x x x e x e 可可以以證證明明： 1 0 11 ,lim(1)lim(1) x t xt tte xx 令令 第14頁/共28頁 例例6 1 lim(1) , x x x 求求 解解 1 111 lim(1)lim 1 (1) x xx xxe x

11、 原原式式 2 3 lim() 2 x x x x 求求 2 242 11 lim(1) (1) 22 x x e xx 原原式式 第15頁/共28頁 0 111 10 0 , (1),(1) . (12), (1) ( ), (1) t t n n nt nt rA AAr tAAr n r AA n r t n r AA n 0 00 0 利利息息的的計計算算問問題題是是一一種種。假假設設銀銀行行存存 款款年年利利率率為為 年年初初本本金金為為 則則一一年年末末本本利利合合計計 為為= =+ +年年末末本本利利合合計計為為= =+ + 若若一一年年計計算算利利息息 次次 若若按按月月計計利

12、利就就是是次次 則則一一年年末末本本利利合合計計為為= =+ +每每一一記記利利周周 期期的的利利率率就就是是年年末末本本利利合合計計為為 = =+ + 增增長長問問題題 連連續(xù)續(xù)復復利利計計算算問問題題 第16頁/共28頁 0 0 00 0 0 () 0 , lim(1)lim(1) , n r rt ntr r rt t nn rA t t rr A tAAAe n AAe n r t n 在在經(jīng)經(jīng)濟濟學學上上，所所謂謂連連續(xù)續(xù)復復利利是是理理解解為為：計計算算 利利息息的的次次數(shù)數(shù)時時的的利利息息。 所所以以如如果果年年利利率率為為那那么么 考考慮慮 是是正正整整數(shù)數(shù)正正有有理理數(shù)數(shù)正正

13、 （ 年年末末的的連連續(xù)續(xù)復復利利 本本利利合合計計為為 （ ) )= =+ + + ) )= = 實實數(shù)數(shù) 如如果果 0 ( )() rt A tA erR 第17頁/共28頁 0 rt A tA e（ ) )= = 0 ( ) , , , rt Malthus A tA e 連連續(xù)續(xù)復復 例例如如以以后后我我們們將將用用其其他他方方法法討討論論的的 的的人人口口題題 放放射射性性物物質(zhì)質(zhì)由由于于 衰衰變變導導致致質(zhì)質(zhì)量量的的變變 利利函函數(shù)數(shù)是是 化化規(guī)規(guī)律律等等等等 有有許許多多事事 物物的的數(shù)數(shù)量量 一一個個常常見見 變變化化規(guī)規(guī)律律 的的 增增長長問問 都都服服從從 增增 長長函函數(shù)

14、數(shù) 此此規(guī)規(guī)律律。 第18頁/共28頁 簡單練習題簡單練習題: 1 2 0 11 2 00 1 1.lim(1) ,2.lim(), 3.lim(12 ) ,3.lim(1), x x xx xx xx x x x xx 第19頁/共28頁 1.兩個準則兩個準則 2.兩個重要極限兩個重要極限 夾逼準則夾逼準則; 單調(diào)有界準則單調(diào)有界準則 . 1 00 , sin 1 lim1;2lim(1).e 某某過過程程某某過過程程 設設為為自自變變量量的的某某過過程程中中的的無無窮窮小小 第20頁/共28頁 例例7 求極限求極限 23 lim,0. 1111 n n n a a aaaa 23 11 2

15、3 23 01,0, 1111 1 1,0, 1111 ,;. lim0,0 01 . 1,0, 1111 n n n nn nnn n n n nn n a aa aaaa aa a aaaaaaa n a a aaaa aaa a 解解 此處需要討論此處需要討論 a 的范圍的范圍,并且要用并且要用夾逼準則夾逼準則. 第21頁/共28頁 lim0,lim1. n nn nn xax 如如果果= =證證明明= =例例8 該命題的證明比較復雜，所以該命題的證明比較復雜，所以 在此證明從略在此證明從略 .但如果我們?yōu)g覽一下但如果我們?yōu)g覽一下 該證明過程的話，就可以看到其中該證明過程的話，就可以看到

16、其中 還提及如下結(jié)論還提及如下結(jié)論 0,lim1. n n cc 若若則則 這是以后極限計算過程這是以后極限計算過程 中常要用到的結(jié)論。中常要用到的結(jié)論。 第22頁/共28頁 01 10 22 12 lim0,0, 2 3 ,. 222 lim0, ,0. 3 max(,), 22 1,lim1.lim1. n n nn n n n nnn n n n n nn a xaN aaa nNxax xa NnNx aa nNNx ccx = =對對于于 有有 = =由由極極限限的的保保號號性性知知 有有 有有 下下面面要要證證明明:=:= 由由此此可可知知= = lim0,lim1. n nn n

17、n xax 如如果果= =證證明明= = 證明證明 第23頁/共28頁 1 11 33 1,lim1. 1,1,0, 1 (1)11(1),1, 11 0,1, 1 ,1,lim1. n n n n nn n nn n cc cc c cnn ca n cc an n c NnNcc 先先證證明明 記記則則 由由得得 任任給給要要只只要要或或 所所以以, ,取取則則當當時時即即 適當放大適當放大 12 1 01,1()lim 3 max(,), 22 3 limlim1lim1 1. . 22 nnn n nnn n n n n n nn aa n c NNx aa x nc c 有有根根據(jù)據(jù)

18、 若若 , , 由由= =知知 限限的的夾夾逼逼 = = 極極性性 第24頁/共28頁 1 1.lim() , 2.lim(123 ) . xnn n xn xa xa 例例9 求極限求極限 解解 2 li 2 m 2 2 2 2 2 2 2 1.lim()lim(1) , 0,1, 2 0,l 2 im(1) 2 lim (1 lim(1) ) , ,lim(), x xx xx x a ax x a x a a ax a x a x ax x a x a a x a xa x x xaa xaxa a a a xa a xa e xa e xa a xa 若若則則原原 若若則則原原 綜綜合合起起來來 就就是是 第25頁/共28頁 1 1 1 2.lim(123 ) 12 lim 3 ( )1) 33 12 3lim( )1)3 33 nn n n