條件極值對自變量有附加條件的極值問題PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1 條件極值對自變量有附加條件的極值問條件極值對自變量有附加條件的極值問 題題 , , ,fMx y u v設(shè)設(shè) 在在點(diǎn)點(diǎn)取取到到極極值值，則則 01 ffff dfdxdydudv xyuv 02 gggg dgdxdydudv xyuv 03 hhhh dhdxdydudv xyuv 11,2,3 ， 然然后后相相加加，得得 第1頁/共22頁 04 fghfgh dxdy xxxyyy fghfgh dudv uuuvvv ,. 稱稱 為為 拉拉 格格 朗朗 日日 系系 數(shù)數(shù) ， 也也 稱稱 為為 待待 定定 系系 數(shù)數(shù) , 0, , D g h D u v 由由于于總總能能求求得得

2、不不全全為為零零的的數(shù)數(shù) 和和 使使 05 fgh uuu 06 fgh vvv 第2頁/共22頁 (4) 04 fghfgh dxdy xxxyyy 這這時(shí)時(shí)式式化化為為 , 07 08 dxdy fgh dx xxx fgh dy yyy 由由于于和和是是相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的 要要使使上上式式成成立立，必必須須 第3頁/共22頁 , , , , , (5),(6),(7),(8)0,0. fx y u vM x y u v gh 所所以以函函數(shù)數(shù)在在某某點(diǎn)點(diǎn)達(dá)達(dá)到到條條件件極極值值 則則在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處應(yīng)應(yīng)滿滿足足及及 ,:L現(xiàn)現(xiàn)在在引引入入函函數(shù)數(shù)它它稱稱為為拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) ,

3、 , , , , , , , ,L x y u vfx y u vg x y u vh x y u v L函函數(shù)數(shù) 的的直直接接極極值值的的必必要要條條件件為為 0,0,0,0 xyuv LLLL 5 , 6 , 7 , 8 . 00, , ,. ghf Mx y u v 這這正正好好是是方方程程從從這這四四個(gè)個(gè)方方程程再再加加上上 和和可可解解出出函函數(shù)數(shù) 的的可可能能有有條條件件極極值值點(diǎn)點(diǎn) 和和待待定定系系數(shù)數(shù) 第4頁/共22頁 下下面面進(jìn)進(jìn)一一步步討討論論充充分分條條件件. . , , ,0 , , ,0 g x y u v h x y u v 設(shè)設(shè)從從方方程程組組 ,uu x yvv

4、 x y中中確確定定了了唯唯一一一一組組函函數(shù)數(shù) , , , , , L L x y u vL x y u x yv x yfx y u x yv x y 把把它它們們代代入入拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) 中中得得 xyuv dfdLL dxL dyL duL dv 由由一一階階微微分分形形式式不不變變性性, ,有有 第5頁/共22頁 22 222 xyuuvv d fd L dLdxdLdydLduL d udLdvL d v 從從而而 2 2 , , ,0, , , ,0, d L x y z t d L x y z t 若若有有極極小小值值； 若若有有極極大大值值。 .n注注： 該該方方法法

5、可可推推廣廣到到一一個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)受受 個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)約約束束的的條條件件 第6頁/共22頁 拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù) ),(yxfz 在條件在條件 0),( yx 下的可能下的可能 極值點(diǎn)極值點(diǎn), , 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ( , )( , )( , )L x yf x yx y ，其中，其中 為某一常數(shù)，可由為某一常數(shù)，可由 ( , )( , )0, ( , )( , )0, ( , )0. xxx xyy Lfx yx y Lfx yx y x y 解出解出 , , yx，其中，其中yx ,就是可能的極值點(diǎn)就是可能的極值點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo). . 第7頁/共22頁 拉格朗日乘

6、數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個(gè)的情況： 要找函數(shù)要找函數(shù) ),(tzyxfu 在條件在條件 ( , , , )0g x y z t ， ( , , , )0h x y z t 下的極值。下的極值。 ( , , , )0, ( , , , )0, ( , , , )0, ( , , , )0, ( , , , )0, ( , , , )0. x y z t Lx y z t Lx y z t L x y z t L x y z t g x y z t h x y z t 求解方程組求解方程組解出解出 x, y, z, t 即得即得 可能極值點(diǎn)的坐標(biāo)可能極值

7、點(diǎn)的坐標(biāo). 12 12 , , , , , , , , , ,L x y z tfx y z tg x y z th x y z t 構(gòu)構(gòu)造造函函數(shù)數(shù)（其其中中都都是是常常數(shù)數(shù)） 第8頁/共22頁 , , ,x y z t在在可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn) 2 2 , , ,0, , , ,0, d L x y z t d L x y z t 若若有有極極小小值值； 若若有有極極大大值值。 2222 22 2 xxyyzzxyxz yz d LL dxL dyL dzL dxdyL dxdz L dydz 計(jì)計(jì)算算 第9頁/共22頁 4 1.fxyzt xyztc 例例求求函函數(shù)數(shù)在在限限制制條條件

8、件 下下的的極極值值. . 4 : Lxyztxyztc 解解 作作拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù) 4 10 10 10 10 x y z t Lyzt Lxzt Lxyt Lxyz xyztc 令令 第10頁/共22頁 3 1 ,.xyzc c 解解得得 , , ,.c c c c于于是是點(diǎn)點(diǎn)是是可可能能的的極極值值點(diǎn)點(diǎn) 4 3 1 ,Lxyztxyztc c 由由于于 3 1 dLdxdydzdtyztdxxztdyxytdzxyzdt c 故故 , , ,c c c cL在在點(diǎn)點(diǎn)處處的的二二階階微微分分 第11頁/共22頁 2 2 d Ldxdydydzdxdzdt dxdydz c 4 ,

9、, , 0 xyztcc c c c dxdydzdt dtdxdydz 將將方方程程兩兩端端微微分分 在在點(diǎn)點(diǎn)處處有有 即即 2 2222 1 0d Ldxdydzdxdydz c 所所以以 第12頁/共22頁 , , ,4 .fc c c cc因因此此函函數(shù)數(shù) 在在點(diǎn)點(diǎn)達(dá)達(dá)到到極極小小值值 極極小小值值為為 至至于于實(shí)實(shí)際際問問題題，可可由由實(shí)實(shí)際際意意義義來來判判斷斷是是否否有有極極值值. . 第13頁/共22頁 解解 2 (22 )0 (22 )0 (22 )0 2220 x y z Lyzyz Lxzxz Lxyyx xyyzxza 則則 例例2 求表面積為求表面積為 a2 而體積為

10、最大的長方體的體積而體積為最大的長方體的體積. 設(shè)長方體的長、寬、高為設(shè)長方體的長、寬、高為 x , y，z. 體積為體積為 V . 則問題就是條件則問題就是條件 求函數(shù)求函數(shù)的最大值的最大值.)0, 0, 0( zyxxyzV 令令 2 ( , , )(222),L x y zxyzxyyzxza 0222 2 axzyzxy下下 ， 第14頁/共22頁 即即 )4( 0222 )3( )(2 )2( )(2 )1( )(2 2 axzyzxy yxxy zxxz zyyz , 0 , 0 , 0 zyx因因由由(2), (1)及及(3), (2)得得 , zy zx y x , zx yx

11、 z y 于是，于是， . zyx 代入條件，代入條件， 得得 第15頁/共22頁 . 0222 2 axxxxxx ,6 22 ax 解得解得, 6 6 ax , 6 6 ay . 6 6 az . 36 6 6 6 6 6 6 63 max aaaaV 這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn) 。 因?yàn)橛蓡栴}本身可知，因?yàn)橛蓡栴}本身可知， 所以所以 ， 最大值就在此點(diǎn)處取得最大值就在此點(diǎn)處取得 。 故，最大值故，最大值 最大值一定存在，最大值一定存在， 第16頁/共22頁 例例 3 3 將正數(shù)將正數(shù) 1212 分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)zyx , ,之和之和 使得使得 zyxu 23 為最大

12、為最大. . 解解 令令 )12(),( 23 zyxzyxzyxF , , 12 0 02 03 23 3 22 zyx yxF yzxF zyxF z y x 則則 )4( ,12 )3( , )2( ,2 )1( ,3 23 3 22 zyx yx yzx zyx 由由 (1)，(2) 得得(5) , 3 2 xy 由由 (1)，(3) 得得(6) , 3 1 xz 第17頁/共22頁 即，得唯一駐點(diǎn)即，得唯一駐點(diǎn)) 2 , 4 , 6 (， .6912246 23 max u 將將 (5)，(6) 代入代入 (4) ： 12 3 1 3 2 xxx 于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z 這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn) 。 因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，因?yàn)橛蓡栴}本身可知，最大值一定存在，所以所以 ， 最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。 故，最大值故，最大值 第18頁/共22頁 解解 22 220 420 10 x y Lxx Lyy xy 則 22 22 ( , )2 1 f x yxy xy 例例4 4求求函函數(shù)數(shù)在在方方程程 約約束束條條件件下下的的最最大大與與最最小小值值。 2222 ( , )2(1)L x yxyxy 構(gòu)構(gòu)造造拉拉格格朗朗日日函函數(shù)數(shù)， 0 1 , 01 , 1 0 ,1 0 解解得得可