H圓錐曲線拋物線方程

1、-作者xxxx-日期xxxxH圓錐曲線拋物線方程【精品文檔】(文)如圖，過拋物線y22PX(P0)的焦點F的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向準線L作垂線，垂足分別為M1、N1 ()求證：FM1FN1:()記FMM1、FM1N1、FN N1的面積分別為S1、S2、，S3，試判斷S224S1S3是否成立，并證明你的結論。 本小題主要考查拋物線的概念，拋物線的幾何性質等平面解析幾何的基礎知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力（滿分13分）答案：(1)證法1：由拋物線的定義得 2分如圖，設準線l與x的交點為 而即故證法2：依題意，焦點為準線l的方程為設點M,N的坐標分別為直線MN的方程為

2、，則有由 得于是，故（）成立，證明如下：證法1：設，則由拋物線的定義得，于是 將與代入上式化簡可得 ，此式恒成立。故成立。證法2：如圖，設直線M的傾角為，則由拋物線的定義得于是在和中，由余弦定理可得由（I）的結論，得即，得證。來源：09年高考湖北卷題型：解答題，難度：較難在平面直角坐標系xOy中，點P到點F（3，0）的距離的4倍與它到直線x=2的距離的3倍之和記為d，當P點運動時，d恒等于點P的橫坐標與18之和 （）求點P的軌跡C；（）設過點F的直線I與軌跡C相交于M，N兩點，求線段MN長度的最大值。 OFx=2yx答案：（）設點P的坐標為（x，y），則3x-2由題設 當x2時，由得化簡得 當

3、時 由得化簡得 故點P的軌跡C是橢圓在直線x=2的右側部分與拋物線在直線x=2的左側部分（包括它與直線x=2的交點）所組成的曲線，參見圖1（）如圖2所示，易知直線x=2與，的交點都是A（2，），B（2，），直線AF，BF的斜率分別為=，=.當點P在上時，由知. 當點P在上時，由知 若直線l的斜率k存在，則直線l的方程為（i）當k，或k，即k-2 時，直線I與軌跡C的兩個交點M（，），N（，）都在C 上，此時由知MF= 6 - NF= 6 - 從而MN= MF+ NF= （6 - ）+ （6 - ）=12 - ( +)由 得 則，是這個方程的兩根，所以+=*MN=12 - （+）=12 - 因為

4、當 當且僅當時，等號成立。（2）當時，直線L與軌跡C的兩個交點 分別在上，不妨設點在上，點上，則知，設直線AF與橢圓的另一交點為E所以。而點A，E都在上，且有（1）知 若直線的斜率不存在，則=3，此時綜上所述，線段MN長度的最大值為來源：09年高考湖南卷題型：解答題，難度：較難 如圖，已知拋物線與圓相交于A、B、C、D四個點。（）求r的取值范圍（）當四邊形ABCD的面積最大時，求對角線AC、BD的交點P的坐標。答案：解：（）將拋物線代入圓的方程，消去，整理得.（1）拋物線與圓相交于、四個點的充要條件是：方程（1）有兩個不相等的正根即。解這個方程組得.（II） 設四個交點的坐標分別為、。則由（I

5、）根據(jù)韋達定理有，則 令，則 下面求的最大值。方法1：由三次均值有： 當且僅當，即時取最大值。經(jīng)檢驗此時滿足題意。法2：設四個交點的坐標分別為、則直線AC、BD的方程分別為解得點P的坐標為。設，由及（）得 由于四邊形ABCD為等腰梯形，因而其面積則將，代入上式，并令，等，令得，或（舍去）當時，；當時；當時，故當且僅當時，有最大值，即四邊形ABCD的面積最大，故所求的點P的坐標為。 來源：09年高考全國卷一題型：解答題，難度：中檔已知拋物線C:x2=2py(p0)上一點A(m,4)到其焦點的距離為.（I）求p與m的值；（II）設拋物線C上一點P的橫坐標為t(t0)，過P的直線交C于另一點Q，交x

6、軸于點M，過點Q作PQ的垂線交C于另一點N.若MN是C的切線，求t的最小值.答案：解析（）由拋物線方程得其準線方程：，根據(jù)拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。則，當 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為 21世紀教育網(wǎng) ，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得：，或，而拋物線在點N處切線斜率：MN是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，來源：09年高考浙江卷題型：解答題，難度：中檔已知拋物線：上一點到其焦點的距離為.（I）求與的值；（II）設拋物線上一點的橫坐標為，過的直線交于另一

7、點，交軸于點，過點作的垂線交于另一點.若是的切線，求的最小值.答案：（）由拋物線方程得其準線方程：，根據(jù)拋物線定義點到焦點的距離等于它到準線的距離，即，解得拋物線方程為：，將代入拋物線方程，解得（）由題意知，過點的直線斜率存在且不為0，設其為。則，當 則。聯(lián)立方程，整理得：即：，解得或，而，直線斜率為，聯(lián)立方程整理得：，即： ，解得：，或，而拋物線在點N處切線斜率：MN是拋物線的切線， 整理得，解得（舍去），或，來源：09年高考浙江卷題型：解答題，難度：較難已知拋物線y2=4ax(0a1的焦點為F，以A(a+4,0)為圓心，AF為半徑在x軸上方作半圓交拋物線于不同的兩點M和N，設P為線段MN的

8、中點.（1）求MF+NF的值；（2）是否存在這樣的a值，使MF、PF、NF成等差數(shù)列?如存在，求出a的值，若不存在，說明理由.答案：（1）F（a,0）,設，由 ， （2）假設存在a值，使的成等差數(shù)列，即 ，P是圓A上兩點M、N 所在弦的中點，由得，這是不可能的.假設不成立.即不存在a值，使的成等差數(shù)列.來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：較難拋物線x2=4y的焦點為F，過點(0，1)作直線L交拋物線A、B兩點，再以AF、BF為鄰邊作平行四邊形FARB，試求動點R的軌跡方程.（12分）答案：設R(x,y),F(0,1), 平行四邊形FARB的中心為，L:y=kx1,代入拋物線方程得

9、x24kx+4=0, 設A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+x2=4k,x1x2=4，且=16k2160，即|k|1 ，C為AB的中點. ，消去k得x2=4(y+3),由 得，故動點R的軌跡方程為x2=4(y+3)( ).來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔已知點A（2，8），B（x1，y1），C（x2，y2）在拋物線上，ABC的重心與此拋物線的焦點F重合（如圖）（1）寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；（2）求線段BC中點M的坐標；（3）求BC所在直線的方程.答案：（1）由點A（2，8）在拋物線上，有，解得p=16. 所以拋物線方程為，焦點F的坐標為（8，0）.（2）

10、如圖，由于F（8，0）是ABC的重心，M是BC的中點，所以F是線段AM的定比分點，且，設點M的坐標為，則，解得，所以點M的坐標為（11，4）.（3）由于線段BC的中點M不在x軸上，所以BC所在的直線不垂直于x軸.設BC所在直線的方程為：由消x得，所以，由（2）的結論得，解得因此BC所在直線的方程為：來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔求以拋物線的頂點，焦點及拋物線上縱坐標為4的點為頂點的 的周長。答案：設 因為P是拋物線上的一點 所以 根據(jù)提題意 所以 即 來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔動點到點（0，8）的距離比到直線的距離大 1，求動點的軌跡方程。答

11、案：動點到點（0，8）的距離比到直線的距離大 1 所以動點到點（0，8）的距離等于到直線的距離所以P的軌跡是以（0，8）為焦點，為準線的拋物線所以動點的軌跡方程為來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：中檔已知拋物線上的一點到焦點的距離為5，求這點的坐標。答案：設因為P是拋物線上的一點，所以P到焦點的距離等于P到準線的距離即 所以 代入拋物線方程得所以來源：09年福建省福州市月考一題型：解答題，難度：容易已知曲線C:y=與直線l:x-y+2=0交于兩點A(xA,yA)和B(xB,yB)，且xAxB.記曲線C在點A和點B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域（含邊界）為D.設點P(s,

12、t)是L上的任一點，且點P與點B均不重合.（1）若點Q是線段AB的中點，試求線段PQ的中點M的軌跡方程； （2）若曲線G:-2ax+-4y+a2+=0與有公共點，試求的最小值.答案：（1）聯(lián)立與得，則中點，設線段的中點坐標為，則，即，又點在曲線上，化簡可得，又點是上的任一點，且不與點和點重合，則，即，中點的軌跡方程為（）.xAxBD （2）曲線，即圓：，其圓心坐標為，半徑由圖可知，當時，曲線與點有公共點；當時，要使曲線與點有公共點，只需圓心到直線的距離，得，則的最小值為.來源：09年高考廣東卷題型：解答題，難度：較難設兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線，（1）當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的

13、焦點F？證明你的結論；（2）當時，求直線的方程.（3）當直線的斜率為2時，求在軸上截距的取值范圍。答案：（）法一兩點到拋物線的準線的距離相等.拋物線的準線是x軸的平行線，不同時為0，上述條件等價于， 上述條件等價于 即當且僅當時，l經(jīng)過拋物線的焦點F.法二拋物線，即，焦點為（1）直線的斜率不存在時，顯然有 （2）直線的斜率存在時，設為k，截距為b即直線：y=kx+b 由已知得： 即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點 所以當且僅當=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F （2）當時，直線的斜率顯然存在，設為：y=kx+b 則由（）得： 所以直線的方程為（3）設l在y軸上的截距為b，依題意得l的方程為；過點A、B

14、的直線方程可寫為，所以滿足方程得；A，B為拋物線上不同的兩點等價于上述方程的判別式即設AB的中點N的坐標為，則由即得l在y軸上截距的取值范圍為（）來源：09年浙江紹興月考一題型：解答題，難度：較難過拋物線的對稱軸上一點的直線與拋物線相交于M、N兩點，自M、N向直線作垂線，垂足分別為、。 （）當時，求證：；（）記、 、的面積分別為、，是否存在，使得對任意的，都有成立。若存在，求出的值；若不存在，說明理由。答案：解：依題意，可設直線MN的方程為，則有21世紀教育網(wǎng) 由消去x可得 從而有 于是 又由，可得 （）如圖1，當時，點即為拋物線的焦點，為其準線此時 可得證法1： 21世紀教育網(wǎng) 證法2： (

15、)存在，使得對任意的，都有成立，證明如下：證法1：記直線與x軸的交點為,則。于是有 將、代入上式化簡可得上式恒成立，即對任意成立 證法2：如圖2，連接,則由可得,所以直線經(jīng)過原點O，同理可證直線也經(jīng)過原點O又設則來源：09年高考湖北卷題型：解答題，難度：較難如圖，已知三角形PAQ頂點P（-3，0），點A在y軸上，點Q在x軸正半軸上，。（I）當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡E的方程；（II）設直線與軌跡E交于B、C兩點，點D（1，0），若BDC為鈍角，求k的取值范圍。答案：解：（I）設 則 又2分 又 4分 由6分 （II）設 BDC為鈍角， 8分 由消去y得： 則 10分 代入得：，此時

16、，k的范圍是12分來源：題型：解答題，難度：較難設F（1，0），M點在x軸上，P點在y軸上，且（）當點P在y軸上運動時，求N點的軌跡C的方程；（）設A（），B（），D（）是曲線C上的三點，且成等差數(shù)列，當AD的垂直平分線與x軸交于E（3，0）時，求B點的坐標答案：解：（），故P為MN中點1分 又，P在y軸上，F(xiàn)為（1，0），故M在x軸的負方向上，設N（x，y）則M（x，0），（x0），2分 ，3分 又故4分 即 是軌跡C的方程5分（）拋物線C的準線方程是x1，由拋物線定義知6分 成等差數(shù)列，7分 又，故，8分 AD的中垂線為9分 而AD中點在其中垂線上，即11分由B點坐標為（1，2）或（1，2

17、）12分來源：題型：解答題，難度：較難已知二次函數(shù)y=f1(x)的圖象以原點為頂點且過點(1,1),反比例函數(shù)y=f2(x)的圖象與直線y=x的兩個交點間距離為8,f(x)= f1(x)+ f2(x). (1) 求函數(shù)f(x)的表達式；(2) 證明:當a3時,關于x的方程f(x)= f(a)有三個實數(shù)解.答案：【解】(1)由已知,設f1(x)=ax2,由f1(1)=1,得a=1, f1(x)= x2.設f2(x)=(k0),它的圖象與直線y=x的交點分別為A(,)B(,)由=8,得k=8,. f2(x)=.故f(x)=x2+.(2) 【證法一】f(x)=f(a),得x2+=a2+, 即=x2+

18、a2+.在同一坐標系內作出f2(x)=和f3(x)= x2+a2+的大致圖象,其中f2(x)的圖象是以坐標軸為漸近線,且位于第一、三象限的雙曲線, f3(x)與的圖象是以(0, a2+)為頂點,開口向下的拋物線.因此, f2(x)與f3(x)的圖象在第三象限有一個交點,即f(x)=f(a)有一個負數(shù)解.又f2(2)=4, f3(2)= 4+a2+當a3時,. f3(2)f2(2)= a2+80,當a3時,在第一象限f3(x)的圖象上存在一點(2,f(2)在f2(x)圖象的上方.f2(x)與f3(x)的圖象在第一象限有兩個交點,即f(x)=f(a)有兩個正數(shù)解.因此,方程f(x)=f(a)有三個

19、實數(shù)解.【證法二】由f(x)=f(a),得x2+=a2+,即(xa)(x+a)=0,得方程的一個解x1=a.方程x+a=0化為ax2+a2x8=0,由a3,=a4+32a0,得x2=, x3=,x20, x1 x2,且x2 x3.若x1= x3,即a=,則3a2=, a4=4a,得a=0或a=,這與a3矛盾, x1 x3.故原方程f(x)=f(a)有三個實數(shù)解.來源：題型：解答題，難度：較難已知點B（1，0），C（1，0），P是平面上一動點，且滿足（1）求點P的軌跡C對應的方程；（2）已知點A（m,2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD，AE，且AD，AE的斜率k1、k2滿足k1k2=2.

20、求證：直線DE過定點，并求出這個定點.答案：（1）設來源：題型：解答題，難度：較難如圖，過點A（-1，0），斜率為k的直線l與拋物線C：交于P、Q兩點。（1）若曲線C的焦點F與P，Q，R三點按如圖順序構成平行四邊形PFQR，求點R的軌跡方程；（2）設P，Q兩點只在第一象限運動，（0，8）點與線段PQ中點的連線交x軸于點N，當點N在A點右側時，求k的取值范圍。答案：解：（1）由已知，消x得直線l交C于兩點P、Q，得或。設，M是PQ中點，M點縱坐標，將其代入l方程，得，PFQR是平行四邊形，R、F中點也是M，而F（1，0），消k得。又，點R的軌跡方程為（2）P、Q在第一象限 ，結合（1）得 （0，

21、8）點與PQ中點所在直線方程為令，得N點橫坐標N在點A右側 令，得。解之得或 綜合，k的取值范圍是。來源：題型：解答題，難度：較難已知點H（0，3），點P在x軸上，點Q在y軸正半軸上，點M在直線PQ上，且滿足，。（1）當點P在x軸上移動時，求動點M的軌跡曲線C的方程；（2）過定點A（a，b）的直線與曲線C相交于兩點S、R，求證：拋物線S、R兩點處的切線的交點B恒在一條直線上。答案：（1）解：設P（a,0），Q（0，b）則： 設M（x,y） （2）解法一：設A(a,b)，（x1x2）則：直線SR的方程為：，即4y = (x1+x2)xx1x2A點在SR上，4b=(x1+x2)ax1x2 對求導得

22、：y=x拋物線上S、R處的切線方程為：即4 即4 聯(lián)立，并解之得 ，代入得：ax2y2b=0故：B點在直線ax2y2b=0上解法二：設A(a,b)當過點A的直線斜率不存在時l與拋物線有且僅有一個公共點，與題意不符，可設直線SR的方程為yb=k(xa)與聯(lián)立消去y得：x24kx+4ak4b=0設，（x1x2）則由韋達定理：又過S、R點的切線方程分別為：， 聯(lián)立，并解之得 （k為參數(shù)）消去k，得：ax2y2b=0故：B點在直線2axyb=0上來源：題型：解答題，難度：較難4y=x2y=x2如圖，求由兩條曲線y=x2，4y=x2及直線y=1所圍成圖形的面積.答案：4y=x2y=x2解：（理）由對稱性

23、，所求圖形面積為位于y軸在側圖形面積的2倍2分由得C（1，1）同理得D（2，1）5分所求圖形的面積 12分來源：題型：解答題，難度：難過拋物線外一點P（），向拋物線作兩條切線，切點分別為A、B。（1）求直線AB的方程；（2）設拋物線的焦點為F。求證：。答案：（1）設切點A（），B（），則過A（）處切線方程為，同理過B（）處切線方程為。又P（）在上述兩切線上，過A、B兩點的直線方程為：，即 。 （6分）（2）聯(lián)立， （12分）來源：06武漢調考題型：解答題，難度：較難 設曲線：（)上的點（，)，過作曲線的切線與x軸交于Q，過Q作平行于y軸的直線與曲線c交于P（，），然后再過作曲線c的切線交x軸于

24、，過作平行于y軸的直線與曲線c交于（，），依次類推，作出以下各點：，已知，設（，）（N) ()求出過點的切線方程； ()設（），求（）的表達式； ()設，求. 答案：解：()，過點P的切線方程為 4分()，過P的切線方程為（）6分將Q（，）的坐標代入方程得：（）8分故是首項為，公比為的等比數(shù)列f(n)=2（），即f(n)（）10分()Sn=4(1-)=4來源：題型：解答題，難度：較難已知RtOAB的三頂點O、A、B都在拋物線上(如圖),OAOB.若直線OA的斜率為2,|AB|=,求拋物線C的方程；若A(x1,y1),B(x2,y2),求證:x1x2與y1y2均為定值.答案：解：(1)由 (1分

25、) 同理可得B (8P,-4P) (2分) 由|AB|=5得 (3分) (4分)p0, p=2. (5分) C的方程為 (2) (7分)又OAOB, (9分)= (11分) (12分)來源：題型：解答題，難度：中檔已知動圓過定點P（1，0），且與定直線相切，點C在l上. （）求動圓圓心的軌跡M的方程；（）設過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A，B兩點.（i）問：ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標；若不能，說明理由；（ii）當ABC為鈍角三角形時，求這種點C的縱坐標的取值范圍.答案：解：（）依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準線的拋物線，所以曲線M的方程為.（）（i）由題意得，直線A

26、B的方程為消y得所以A點坐標為，B點坐標為（3，），假設存在點C（1，y），使ABC為正三角形，則|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即 由得但不符合，所以由，組成的方程組無解.因此，直線l上不存在點C，使得ABC是正三角形.（ii）解法一：設C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由，即當點C的坐標為（1，）時，A，B，C三點共線，故.又， ， . 當，即， 即為鈍角. 當，即，即為鈍角. 又，即， 即. 該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角. 因此，當ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是. 解法二： 以AB為直徑的圓的方程為. 圓心到直線的距離為， 所以，以AB為直徑的圓與直線l

27、相切于點G. 當直線l上的C點與G重合時，ACB為直角，當C與G 點不重合，且A，B，C三點不共線時， ACB為銳角，即ABC中ACB不可能是鈍角. 因此，要使ABC為鈍角三角形，只可能是CAB或CBA為鈍角. 過點A且與AB垂直的直線方程為. 過點B且與AB垂直的直線方程為. 令. 又由，所以，當點C的坐標為（1，）時，A，B，C三點共 線，不構成三角形. 因此，當ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標y的取值范圍是來源：03北京市春題型：解答題，難度：較難已知拋物線y2=2px(p0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足

28、為B,OB的中點為M.(1)求拋物線方程;(2)過M作MNFA, 垂足為N,求點N的坐標;(3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當K(m,0)是x軸上一動點時,丫討論直線AK與圓M的位置關系.答案：(1) 拋物線y2=2px的準線為x=-,于是4+=5, p=2. 拋物線方程為y2=4x. (2)點A是坐標是(4,4), 由題意得B(0,4),M(0,2), 又F(1,0), kFA=;MNFA, kMN=-, 則FA的方程為y=(x-1),MN的方程為y-2=-x,解方程組得x=,y=, N的坐標(,).(1) 由題意得, ,圓M.的圓心是點(0,2), 半徑為2,當m=4時, 直線AK的方程

29、為x=4,此時,直線AK與圓M相離.當m4時, 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0,圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d2,解得m1當m1時, AK與圓M相離; 當m=1時, AK與圓M相切; 當m0,對于一切t成立，過點M的任意一條直線li與C恒有公共點。(3)設，由定比分點坐標公式得：，消去bi得來源：06年湖南省三月大聯(lián)考題型：解答題，難度：較難設a0，曲線C的方程為R）.點P是曲線C上橫坐標為的點，點Q是曲線C的頂點.（I）當，且直線PQ的斜率是2時，求實數(shù)a的值；（II）設直線l經(jīng)過點P且與曲線C有且只有一個公共點，記直線l交x軸于點.答案：（1）

30、解：當時，P（1，1+a），依題意得，4分（2）證明：當直線l的斜率不存在時，其方程為，直線l與曲線C有且只有一個公共點適合題意，此時.6分當直l的斜率存在時，設其方程為代入依題意，得即9分直線l方程為：令y=0，得11分 ，當且僅當a=0時，綜上，14分來源：題型：解答題，難度：中檔拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 00)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足.（）求拋物線C的焦點坐標和準線方程；（）設直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上；（）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），

31、求PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍.答案：（）解：由拋物C的方程，準線方程為（）證明：設直線PA的方程，直線PB的方程為.的坐標是方程組的解、將式代入式得的解、將式代入式得 則將式和式代入上式得（）解：因為點P（1，1）在拋物線上，所以由式知式得因此，直線PA、PB分別與拋物線C的交點A、B的坐標為于是 因PAB為鈍角且P、A、B三點互不相同，故必有即 求得k1的取值范圍為又點A的縱坐標所以，PAB為鈍角時點A的縱坐標y1的取值范圍為來源：05天津高考題型：解答題，難度：較難在平面直角坐標系中，分別為直線與軸的交點，為的中點. 若拋物線過點，求焦點到直線的距離.答案：由已知可得 ， 3分解

32、得拋物線方程為 . 6分于是焦點 . 9分 點到直線的距離為 . 12分來源：08年春季高考上海卷題型：解答題，難度：容易在拋物線y2=16x開口內有一點G(4，4)，拋物線的焦點為F，若以F、G為焦點作一個與拋物線相交且長軸最短的橢圓，求此橢圓的方程答案：解：如圖，過G作x軸的平行線交拋物線于P，交準線于Q，設P為拋物線上異于P的任一點，過P作x軸的平行線交準線于Q，顯然有PG+PF=PG+PQGQ點P為所求橢圓與已知拋物線的一個交點，且使所求橢圓長軸最短此時，PF+PG=PQ+PG=GQ=8又由FG=4可知a=4，c=2b2=12，又橢圓的中心為GF的中點(4，2) 故所求橢圓方程為來源：

33、題型：解答題，難度：較難過拋物線(為不等于2的素數(shù))的焦點F,作與軸不垂直的直線交拋物線于M,N兩點,線段MN的垂直平分線交MN于P點,交軸于Q點.(1),求PQ中點R的軌跡L的方程;(2),證明:L上有無窮多個整點,但L上任意整點到原點的距離均不是整數(shù).答案：(1)拋物線的焦點為,設的直線方程為.由得,設M,N的橫坐標分別為則,得,而,故PQ的斜率為,PQ的方程為.代入得.設動點R的坐標,則,因此,故PQ中點R的軌跡L的方程為.(2),顯然對任意非零整數(shù),點都是L上的整點,故L上有無窮多個整點.反設L上有一個整點(x,y)到原點的距離為整數(shù)m,不妨設,則,因為是奇素數(shù),于是,從可推出,再由可

34、推出,令,則有,由,得,于是,即,于是,得,故,有,但L上的點滿足,矛盾!因此,L上任意點到原點的距離不為整數(shù).來源：1題型：解答題，難度：較難已知拋物線 y 2 = x與直線 y = k ( x + 1 )相交于A、B兩點, 點O是坐標原點. (1) 求證: OAOB; (2) 當OAB的面積等于時, 求k的值.答案：解: (1) 當k = 0時直線與拋物線僅一個交點, 不合題意, 1分k 0由y = k (x+1)得x = 1 代入y 2 = x 整理得: y 2 +y 1 = 0 ， 2分設A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 則y 1 + y 2 = , y 1y

35、2 = 1. 2分A、B在y 2 = x上, A (, y 1 ), B (, y 2 ) ， kOAkOB = 1 OAOB. 3 分 (2) 設直線與x軸交于E, 則 E ( 1 , 0 ) |OE| = 1 ， SOAB =|OE|(| y 1| + | y 2| ) =| y 1 y 2| =， 4分解得k = . 來源：題型：解答題，難度：中檔xyOAB圖4在平面直角坐標系中，拋物線上異于坐標原點的兩不同動點、滿足（如圖所示）（）求得重心（即三角形三條中線的交點）的軌跡方程；（）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由答案：解法一：（）直線的斜率顯然存在，設直

36、線的方程為，依題意得， ，即 ， 由得，設直線的方程為可化為 ， ， 設的重心G為，則 ， ，由得 ，即，這就是得重心的軌跡方程（）由弦長公式得把代入上式，得 ，設點到直線的距離為，則， ， 當，有最小值，的面積存在最小值，最小值是 解法二：（） AOBO, 直線，的斜率顯然存在，設AO、BO的直線方程分別為，設，依題意可得由得，由得，設的重心G為，則 ， ， 由可得，即為所求的軌跡方程.（）由（）得，當且僅當，即時，有最小值，的面積存在最小值，最小值是 .解法三:（I）設AOB的重心為G(x , y) ，A(x1, y1)，B(x2 , y2 )，則 （1）不過OAOB ，即， （2）又點A

37、，B在拋物線上，有，代入（2）化簡得，所以重心為G的軌跡方程為，（II），由（I）得，當且僅當即時，等號成立，所以AOB的面積存在最小值，存在時求最小值1 來源：05年廣東題型：解答題，難度：中檔過拋物線C：上兩點M，N的直線l交y軸于點P（0，b）.（）若MON是鈍角（O為坐標原點），求實數(shù)b的取值范圍；（）若b=2，曲線C在點M，N處的切線的交點為Q.證明：點Q必在一條定直線上運動.答案：解：（）設點M，N坐標分別為1分由題意可設直線l方程為y=kx+b,（）當b=2時，由（）知函數(shù)y=x2的導數(shù)y=2x，7分拋物線在兩點處切線的斜率分別為在點M，N處的切線方程分別為來源：題型：解答題，難

38、度：較難設拋物線y=x2過一定點A(a, a2)(a)，P(x, y)是拋物線上的動點.（I）將表示為關于x的函數(shù)f(x)，并求當x為何值時，f(x)有極小值；（II）設（I）中使f(x)取極小值的正數(shù)x為x0，求證：拋物線在點P0(x0, y0)處的切線與直線AP0垂直.答案：解：（I）當當當 當有極小值.10分（II）由（I）知，則直線AP0的斜率12分又拋物線y=x2在點P0(x0, y0)處的切線的斜率拋物線在點P0(x0, y0)處的切線與直線AP0垂直.14分來源：題型：解答題，難度：中檔設f(x)=ax2+bx+c(abc),f(1)=0,g(x)=ax+b.（1）求證：函數(shù)y=

39、f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點；（2）設f(x)與g(x)的圖象交點A、B在x軸上的射影為A1、B1，求A1B1的取值范圍；（3）求證：當x時，恒有f(x)g(x).答案：（1）證明：由 y= f(x )= ax2+bx+c y= g(x) = ax+b得ax2+(ba)x+(cb)=0 (*) =(ba)24a (cb) f(x)=ax2+bx+c, f(1)=0 f(1)=a+b+c=0 3分又abc 3aa+b+c3c即a0,c0ba0,cb0,a0=(ba)24a(cb)0故函數(shù)y=f(x)與y=g(x)的圖象有兩個交點；5分（2）解：設A、B的坐標分別為（x1,y1）、（x2

40、，y2），則x1、x2是方程（*）的兩根故x1+x2=,x1x2=,所以A1B1=x1x2=又a+b+c=0,故b=(a+c)因而(ba)24a(cb)=(2ac)24a(a+2c)=c24ac故A1B1= 8分abc,a+b+c=0a(a+c)c 2A1B1的取值范圍是（，2） 10分.(3)證明：不妨設x1x2,則由（2）知：x1x22 x1+x2=1由abc得：1,故011 12分又2,故13,因而01即0x1x2 由、得：x20,即方程（*），也就是方程f(x)g(x)=0的較小根的范圍是（，0.又a0,故當x時，f(x)g(x)0恒成立，即當x時，恒有f(x)g(x) 14分.來源：

41、題型：解答題，難度：較難已知拋物線C的方程為為焦點，直線與C交于A、B兩點，P為AB的中點，直線過P、F點。（1）求直線的斜率關于的解析式，并指出定義域；（2）求函數(shù)的反函數(shù)；（3）（理）解不等式。 （文）求與的夾角的取值范圍。答案：解：（1） （2） （3）（理），原不等式為 當時，； 當時，顯然，時，；時，。 （文）來源：題型：解答題，難度：較難已知拋物線過動點M（，0）且斜率為1的直線與該拋物線交于不同的兩點A、B，（）求的取值范圍；（）若線段AB的垂直平分線交軸于點N，求面積的最大值答案：解：（）直線的方程為，將 ，得 2分設直線與拋物線兩個不同交點的坐標為、，則4分又， 6分，解得 8分（）設AB的垂直平分線交AB于點Q，令坐標為，則由中點坐標公式，得，10分 又 為等腰直角三角形， ， 12分 即面積最大值為14分來源：01春季高考題型：解答題，難度：中檔如圖,拋物線關于x軸對稱,它的頂點在坐標原點, 點P(1,2), A(x1,